Основные формулы и обозначения

Расчет любой разветвленной цепи можно произвести, пользуясь двумя правилами Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа (для узлов цепи):

 

                                                   (44)

 

где  – алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле: сила тока, текущего к узлу, входит в уравнение (44) со знаком «+», а тока, текущего от уз-ла, – со знаком «–».

Второе правило (для замкнутых контуров цепи):

 

                                          (45)

 

где  – номер неразветвленного участка контура, который характеризуется током силой , полным сопротивлением  и падением напряжения ;

   – алгебраическая сумма ЭДС контура: если направления обхода контура и действия сторонних сил внутри источника совпадают, то ЭДС входит в уравнение (45) со знаком «+», если противоположны, – со знаком «–»;

   – алгебраическая сумма падений напряжения в контуре: если направления обхода контура и тока на участке совпадают, то сила тока входит в уравнение (45) со знаком «+», если противоположны, – со знаком «–».

При решении задач на расчет разветвленной цепи необходимо:

1) произвольно выбрать и указать стрелкой направление тока на каждом неразветвленном участке цепи;

2) для цепи, содержащей N  узлов, записать первое правило Кирхгофа для  узлов (например, если , то для одного любого узла);

3) определить число  независимых уравнений, которые могут быть    составлены на основе первого и второго правил Кирхгофа, оно равно числу неразветвленных участков цепи (числу различных токов);

4) определить число независимых замкнутых контуров в цепи:   (например, если , а , то );

5) найти любые М независимых контуров (например, если , а , то любые два контура);

6) произвольно выбрать направление обхода каждого взятого контура (по ходу часовой стрелки или против него);

7) для каждого взятого контура записать второе правило Кирхгофа;

8) решить полученную систему уравнений (она имеет решение, если число независимых уравнений равно числу неизвестных), например, методом Гаусса или методом Крамера.

Если значение силы тока на каком-то участке окажется отрицательным, то в действительности ток течет на этом участке в противоположном направлении.

 

4.2.2. Примеры решения задач

З а д а ч а  18. В схеме на рис. 16  В,  В,  В,  Ом,  Ом,  Ом, внутренние сопротивления источников тока пренебрежимо малы. Определить силы токов, текущих через сопротивления.

Дано:  В;  В;  В;  Ом;  Ом;  Ом. Найти:

Решение. Рис. 16

Для расчета с помощью правил Кирхгофа выберем направление тока на каждом неразветвленном участке цепи (они указаны стрелкой на схеме рис. 16). Запишем первое правило Кирхгофа для любого из двух узлов, например, для узла А:

 

                                      (46)

 

Сила тока  входит в уравнение со знаком «+», так как этот ток втекает в узел, силы тока  – со знаком «–», так как эти токи вытекают из узла.

Для данной цепи на основе первого и второго правил Кирхгофа может быть составлено три независимых уравнения, так как она содержит три неразветвленных участка. Следовательно, с учетом уравнения (46) достаточно рассмотреть два независимых контура, например, контуры AGBDА и AFBGА. Выбранные произвольно направления обхода этих контуров («по часовой стрелке») указаны на схеме. Уравнения, составленные по второму правилу Кирхгофа для контуров AGBDА и AFBGА соответственно, имеют вид:

 

                                           (47)

 

                                            (48)

 

ЭДС  входит в уравнение (47), а  – в уравнение (48) со знаком «+», так как направления обхода контуров и действия сторонних сил внутри источника на соответствующих участках совпадают (см. рис. 16). ЭДС  входит в уравнение (47), а  – в уравнение (48) со знаком «–», так как направления обхода контура и действия сторонних сил противоположны. Силы тока  и  входят в уравнение (47), а сила тока  – в уравнение (48) со знаком «+», так как направления обхода контура и тока на соответствующих участках совпадают. Сила тока  входит в уравнение (48) со знаком «–», так как направления обхода контура и тока на соответствующем участке противоположны.

Подставляя известные численные значения сопротивлений участков цепи и ЭДС источников тока в уравнения (46) – (48), получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

 

                                      (49)

 

Решение такой системы дается формулами Крамера:

 

                                         (50)

 

где  – определитель системы (49);  – определитель при неизвестном  

Определители вычисляются по значениям коэффициентов системы (49):

 

    ; ;

   ; .

 

Подставив в формулу (50) значения соответствующих определителей, получим:  А,  А,  А.

Заметим, что при решении системы  (49) методом подстановок удобно выразить силы тока  через  используя соответственно второе и третье уравнения системы:

;                                            (51)

                                                               (52)

и, подставив выражения в первое уравнение:  найти силу тока  После подстановки значения  А в соотношения (51), (52) вычисляются значения сил тока .

Ответ:  А;  А;  А.

 

Библиографический список

1. Т р о ф и м о в а Т. И. Краткий курс физики / Т. И. Т р о ф и м о в а. М., 2012. 352 с.

2. Д е т л а ф А. А. Курс физики / А. А. Д е т л а ф, Б. М. Я в о р с к и й. М., 2014. 720 с.

3. С а в е л ь е в И. В. Курс общей физики: В 5 т. Т. 2. Электричество и магнетизм / И. В. С а в е л ь е в. СПб, 2011. 348 с.

4. Практикум по физике. Часть 2. Электричество и магнетизм. Колебания: Методические указания к решению задач по физике / Т. А. А р о н о в а, С. В. Вознюк  и др. / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2014. 40 с.

5. К р о х и н  С. Н. Контрольная работа № 2 по физике для студентов заочного факультета: Методические указания к решению задач и выполнению контрольных работ для студентов заочного факультета / С. Н.  К р о х и н, Ю. М.  С о с н о в с к и й / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2012. 36 c.

 

 

Учебное издание

 

 

КУРМАНОВ Рамиль Султангареевич, ТОДЕР Георгий Борисович

 

ПОСТОЯННЫЙ  ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ  ТОК.

ПРИМЕРЫ  РЕШЕНИЯ  ЗАДАЧ

Учебно-методическое пособие

Редактор  Н. А. Майорова

 

 

***

Подписано в печать  13.10.2016. Формат 60 ´ 84 ¹/₁₆.

Офсетная печать. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,7. Уч.-изд. л. 1,9.

Тираж 800 экз. Заказ       .

 

**

Редакционно-издательский отдел ОмГУПСа

Типография ОмГУПСа

 

*

644046, г. Омск, пр. Маркса, 35