ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ



Понятие экстремума формулируется так же, как для функций одной переменной.

Определение 15. Говорят, что в точке M0 функция f(M) принимает максимальное (соответственно минимальное) значение, если существует такая окрестность V точки M0, что ("MÎV)(f(Mf(M0)) (соответственно ("MÎV)(f(Mf(M0))).

Максимальные и минимальные значения вместе называются экстремальными или просто экстремумами.

В очередной раз отметим. что введенное понятие локальное. То, как функция ведет себя на некотором удалении от точки M0, на экстремумы не влияет.

Для функций одной переменной необходимым условием экстремума дифференцируемой функции является обращение производной в 0. Многомерный аналог этого результата следующее утверждение.

Теорема 15. Если дифференцируемая функция n переменных f(M) имеет экстремум в точке M0, то  при всех i .

Доказательство. Все очень просто. Рассмотрим в качестве примера i =1. Пусть M0(x01,x02,...,x0n),  g(t)=f(t , x02,...,x0n). Функция g(t) имеет экстремум в точке x01, поскольку f(M) имеет экстремум в точке M0. Отсюда  что и требовалось.

Иначе заключение теоремы можно представить в форме
grad f=0. Точки, в которых grad f=0, называются критическими или стационарными (как и в одномерном случае).

Уже для функций одной переменной это условие не является достаточным. Стандартный пример функция x3 в точке 0. Поведение функций нескольких переменных может быть более разнообразным. Например, у функции z = x2-y2 обе частные производные в точке (0,0) равны 0. При этом, по переменной x функция в этой точке имеет минимум, а по переменной y максимум. Подобные точки называются седловыми. Таковы перевалы в горах.

Еще об отличиях одномерного и многомерного случая. Для функции одной переменной между двумя минимумами есть максимум. У функции двух (и более) переменных может быть множество минимумов и ни одного максимума. Рассмотрим, например, функцию f(x , y)=x2-cos y . Градиент этой функции равен нулю в точках (0,pk), причем в точках (0,2pk) функция минимальна (в этих точках f(x , y)=-1, при этом f(x , y)³-1), а точки (0,2pk+p) седловые (в направлении оси абсцисс функция возрастает, а в направлении оси ординат убывает).

Для получения достаточных условий требуется привлечение частных производных второго порядка.

Нам понадобятся некоторые сведения о квадратичных формах. Квадратичная форма это функция g:Rn®R следующего вида.

Квадратичная форма называется симметричной, если aij = aji при всех i , j. Матрица квадратичной формы имеет вид  Используя матрицу, квадратичную форму можно представить так:

Выделяют несколько видов квадратичных форм, эта классификация нужна для исследования функций на экстремум.

Форма называется положительно (соответственно отрицательно) определенной, если g(x1,x2,...,xn)>0 (соответственно g(x1,x2,...,xn)<0) на любом ненулевом векторе (x1,x2,...,xn). Пример: g(x1,x2)=x12+x22 (соответственно g(x1,x2)=-(x12+x22)). Эти формы называются невырожденными.

Форма называется знакопеременной, если она принимает значения разных знаков. Пример: g(x1,x2)=x12-x22.

Форма называется положительно (соответственно отрицательно) полуопределенной, если g(x1,x2,...,xn)³0 (соответственно g(x1,x2,...,xn)£0), причем на некотором ненулевом векторе принимает нулевое значение. Пример: g(x1,x2)=(x1-x2)2.

Приведенная классификация переносится на матрицы квадратичных форм. В линейной алгебре приводятся критерии (например, Сильвестра) положительной и отрицательной определенности матриц. Простейший способ проверки вида матриц основан на выделении полных квадратов.

Приведем некоторые нужные в дальнейшем свойства квадратичных форм.

Предложение 2. g(lx1,lx2,...,lxn)=l2g(x1,x2,...,xn).

Действительно,  что и требовалось.

Теорема 16. Для всякой положительно определенной квадратичной формы g(x1,x2,...,xn) существует такое положительное число c , что g(x1,x2,...,xnc(x12+x22+...+xn2). Для отрицательно определенной формы аналогично g(x1,x2,...,xn)£-c(x12+x22+...+xn2).

Доказательство. Рассмотрим случай положительно определенной формы. Как уже отмечалось, сфера x12+x22+...+xn2=1 множество компактное. Квадратичная форма - непрерывная функция (многочлен), по теореме Вейерштрасса она достигает на сфере минимального значения c. По определению положительной определенности формы c>0. Рассмотрим произвольную точку (x1,x2,...,xn). Для точки с нулевыми координатами доказываемое неравенство, очевидно, выполняется (в форме равенства). Пусть точка ненулевая. Точка (x1/l,x2/l,...,xn/l), где  лежит на сфере, следовательно, g(x1/l,x2/l,...,xn/l)³c . Тогда по предложению g(x1,x2,...,xn)=l2g(x1/l,x2/l,...,xn/l)³cl2=c(x12+x22+...+xn2). Теорема доказана.

Вернемся к вопросу об экстремумах функций нескольких переменных.

Второй дифференциал  есть квадратичная функция от приращений (дифференциалов) dx1,dx2,...,dxn. Матрица этой квадратичной формы имеет вид

она называется матрицей Гессе функции f . Отметим, что матрица Гессе это матрица Якоби градиента функции как отображения из Rn в Rn. Если все вторые частные производные непрерывны, то квадратичная форма симметрическая.

    Теорема 17. Пусть в стационарной точке M0 функции f(M) все третьи частные производные функции ограничены. Если матрица Гессе функции в точке M0 положительно определенная, то M0 точка минимума, если отрицательно определенная, то максимума, если знакопеременная, то экстремума нет (седловая точка).

Доказательство. Воспользуемся формулой Тейлора для функции f(M) в точке M0 при k =2:

df(M0)=0, поскольку точка M0 стационарная. Пусть все третьи частные производные функции f(M) в точке M0 по модулю не превосходят числа H . Тогда

Здесь число c из теоремы 16, r, как и раньше, равно (dx12+dx22+...+dxn2)1/2, использовано неравенство |dx i|£r.

Пусть матрица Гессе положительно определена. Тогда из формулы Тейлора следует, что

При r<(3c)/(Hn3) (радиус шаровой окрестности точки M0) выполняется неравенство f(Mf(M0), т.е. M0 точка минимума. При отрицательно определенной матрице Гессе рассуждения схожие. А можно просто рассмотреть функцию -f(M). Для знакопеременной формы нужно провести подобные рассуждения по отдельности для каких-нибудь векторов (dx1,dx2,...,dxn), на которых квадратичная форма положительная и отрицательная. Теорема доказана.

Условия теоремы можно ослабить ценой усложнения доказательства. Теорема не дает ответа на вопрос, что будет при положительно или отрицательно полуопределенной матрице Гессе. В этом случае может быть что угодно. Например, у трех функций x14+x24, -(x14+x24), x14-x24 матрица Гессе в стационарной точке (0,0) нулевая (т.е. форма одновременно и положительно, и отрицательно полуопределенная), при этом у первой функции в точке (0,0) минимум, у второй максимум, у третьей седловая точка.

Исследуем отдельно случай функции двух переменных. Для этого рассмотрим симметрическую квадратичную форму с матрицей  Важнейшую роль в определении вида квадратичной формы играет определитель этой матрицы D=AC - B2.

Теорема 18. Если D>0, то квадратичная форма с матрицей G знакоопределенная (положительно определенная при A>0, в этом случае A и C одного знака, и отрицательно определенная при A<0), знакопеременная при D<0 и полуопределенная при D=0.

Доказательство.

1. Пусть D>0, A>0. Квадратичная форма имеет вид Ax2+2Bxy + Cy2. Преобразуем квадратичную форму так:  Очевидно, что поскольку D=AC - B2>0,  A>0 эта функция положительна при любом ненулевом векторе (x , y). Случай A<0 исчерпывается переходом к форме -(Ax2+2Bxy + Cy2).

2. Пусть D<0. Если A = C=0, то B ¹0 и форма имеет вид 2Bxy, на векторах (1,1) и (-1,1) она принимает значения разных знаков. Пусть A>0 (другие случаи сводятся к рассматриваемому перестановкой переменных и/или умножением формы на -1. Применяя то же преобразование, что и выше, приведем форму к виду  Эта форма принимает положительное значение на векторе (1,0) и отрицательное на векторе . Анализ случая D=0 оставляем читателю.

Из теорем 17, 18 следует, что алгоритм нахождения точек экстремума достаточно «хорошей» функции двух переменных таков.

1. Найти стационарные точки функции, т.е. решить систему

2. В каждой стационарной точке вычислить вторые частные производные .

3. Вычислить D=AC - B2.

4. Точки, в которых:

D>0, A>0 точки минимума,

D>0, A<0 точки максимума,

D<0 седловые точки (экстремума нет).

При D=0 требуется дополнительное исследование, основанное на использовании производных более высоких порядков.

Пример. Найти экстремумы функции f(x , y)=lx 2 + y2-2x-2y . Стационарные точки находятся из системы  При l=0 стационарных точек нет, при l¹0 единственная стационарная точка (1/l,1). Вычисляя вторые производные, получим: A=2l, B=0, C=2. Отсюда D=4l. Таким образом, при l>0 экстремум есть, причем минимум (A>0), при l<0 экстремума нет (стационарная точка является седловой).

Замечание. Из приведенного рассуждения следует, что квадратичная форма от двух переменных положительно определенная, если a11>0 (или a22>0) и определитель матрицы формы положительный. Для положительной полуопределенности требуется выполнение нестрогих неравенств. Это частный случай критерия Сильвестра.

Отметим, что среди критических точек экстремумы встречаются довольно редко, причем тем реже, чем больше переменных. Например, из функций ±x12±x22±...±xn2 при всевозможных знаках (всего функций 2n) критическая точка (0,...,0) является максимумом одной функции (когда все знаки +) и одной минимумом (когда все знаки -); для остальных функций точка (0,...,0) седловая.

Как и для функций одной переменной, часто возникают задачи нахождения максимального или минимального значения функции нескольких переменных на заданном множестве, если таковые существуют. Они заведомо существуют, если множество компактное, а функция непрерывная. В предположении дифференцируемости функции на некотором открытом множестве, охватывающем данное, заметим, что искомые значения могут достигаться либо в стационарных точках, внутренних для данного множества, либо в граничных точках множества.

Пример. Среди всех треугольников, вписанных в окружность радиуса R, найти треугольник с максимальной площадью.

Решение. Треугольники разбиваются на два класса: содержащие и не содержащие центр окружности. Проверьте, что максимальную площадь не может иметь треугольник второго вида. Обозначим через x , y , z центральные углы, опирающиеся на стороны треугольника (рис. 3).

 

Рис. 3

 

Тогда x + y + z=2p. Если S - площадь треугольника, то
2S = R2(sinx+siny+sinz). Подставим в эту формулу z=2p-x-y . Получим функцию двух переменных 2S = R2(sinx+siny+sin(2p-x-y))= = R2(sinx+siny-sin(x+y)). Необходимо найти наибольшее значение функции на множестве {(x , y):p³x³0, p³y³0}. Найдем стационарные точки функции f(x , y)=sinx+siny-sin(x+y). Получаем систему

Отсюда cosx=cosy . Поскольку на отрезке [0, p] каждое значение косинус принимает один раз, то x=y . Тогда cosx=cos2x =2cos2x-1. Квадратное уравнение 2cos2x-cosx-1=0 имеет решения cosx =1, cosx =-1/2. Первый корень означает, что x =у=0 - вырожденный треугольник не может быть решением (площадь обращается в 0). Второй корень означает, что x =у=2p/3, тогда и z =2p/3 - равносторонний треугольник.

Исследуем теперь границу множества. При x =у=0 площадь нулевая, при x =p (или у=p) получаем f(p, y)=sinp+siny+sin(p+y)=0+ +siny-siny =0. Таким образом, на границе максимум не достигается, т.е. треугольник максимальной площади, вписанный в окружность равносторонний. Общий результат таков: среди всех n -угольников, вписанных в окружность, максимальная площадь у правильного n -угольника.

 

Контрольные вопросы

1. Что называется экстремумом функции нескольких переменных?

2. Каковы необходимые условия экстремума,

3. Что такое седловая точка?

4. Какая функция называется квадратичной формой?

5. Какие бывают квадратичные формы?

6. Как оценить снизу значения положительно определенной квадратичной формы?

7. Каковы достаточные условия экстремума? Всегда ли они применимы?

8. Как находятся наибольшие и наименьшие значения функции на множестве?

 

Упражнения

1. Исследовать на экстремум функции

- z=x2+y3,

- z=(x+y+2)2,

-

2. Найти наибольшее и наименьшее значения

- функции z =3x+4y +5 на множестве {(x , y):x³0,y³0,x+y£1},

- функции z = x2+xy + y2 на множестве {(x , y):|x |+|y |£1}.

3. Пусть функция f(x , y) имеет в точке (0,0) минимум на любой прямой, проходящей через (0,0). Обязательно ли функция f(x , y) имеет в точке (0,0) минимум? (Модифицируйте пример из п. 3,4.)

4. Число 12 разбить на три слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей; на три неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратных корней из них была наибольшей.

5. При каких размерах открытая прямоугольная ванна заданного объема имеет минимальную поверхность?

6. В данный полушар вписать параллелепипед максимального объема.

 

НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим уравнение f(x1,x2,...,xn , y)=0. Будем считать, что неизвестной здесь является переменная y , т.е. речь идет о функции g(x1,x2,...,xn) такой, что f(x1,x2,...,xn , g(x1,x2,...,xn))=0 при (x1,x2,...,xnVÌRn. Такая функция называется неявной. Таким образом, этот термин скорее относится к способу задания функции, а не к функции как таковой. Речь не идет об аналитическом описании функции g(x1,x2,...,xn) - даже при вполне приличной функции f(x1,x2,...,xn , y) такое описание чаще всего невозможно. Простой пример: 2x +ex+y-cosy=0. Попробуйте отсюда извлечь y! Естественно поставить задачу о существовании и единственности (в некотором смысле) такой функции g(x1,x2,...,xn).

В рамках математического анализа нас интересует локальная задача: пусть f(x10,x20,...,xn0, y0)=0, т.е. g(x10,x20,...,xn0)=y0. Существует ли функция y = g(x1,x2,...,xn) в некоторой окрестности точки (x10,x20,...,xn0)? Единственна ли она? Какими свойствами обладает? Какую-нибудь одну точку иногда найти легко. Например, в приведенном примере это (0,0), т.е. g(0)=0. Верно ли, что функция g существует и в некоторой окрестности 0? Вопрос не так прост. Рассмотрим, например, уравнение x2+y2+u2=1. Это уравнение сферы (рис. 4) Рассмотрим точку M0(x0,y0,u0) на сфере. В некоторой окрестности точки (x0,y0) неявная функция задается уравнением  Иная ситуация с точкой M1(x1,y1,u1): ни в какой окрестности точки (x1,y1) неявная функция не определена (вспомним, что окрестность это шар или параллелепипед с центром в точке, для плоскости - круг или прямоугольник). В чем разница между точками?

 

 

 

Рис. 4

 

Утверждение выглядит довольно сложно.

Теорема 19. Пусть функция f(x1,x2,...,xn , y)

- имеет непрерывные частные производные в некоторой окрестности точки (x10,x20,...,xn0, y0) такой, что f(x10,x20,...,xn0, y0)=0;

-  (это условие главное!).

Тогда для достаточно малого e>0 существует единственная функция g(x1,x2,...,xn), определенная на некоторой окрестности V точки (x10,x20,...,xn0Rn такая, что

- f(x1,x2,...,xn,g(x1,x2,...,xn))º0;

- g(x10,x20,...,xn0)=y0;

- |g(x1,x2,...,xn)-y0|<e при (x1,x2,...,xnV;

- функция g(x1,x2,...,xn) является дифференцируемой в точке (x10,x20,...,xn0).

Доказательство. Рассуждения проведем для n=1 - в общем случае идейно все делается так же, только букв больше. По теореме о сохранении знака непрерывной функции, частной производной, из условия  (будем для определенности считать производную положительной) следует, что производная положительная и в некоторой окрестности точки (x0,y0). Пусть в этой окрестности расположена кубическая (квадратная) окрестность точки (x0,y0) {(x,y):|x-x0|<a ,|y-y0|<a}. «Достаточно малое e» из формулировки теоремы означает теперь «не превосходящее a». Выберем положительное e£a. Рассмотрим функцию f(x , y) на отрезке, соединяющем точки (x0,y0-e), (x0,y0+e). Поскольку частная производная функции f(x , y) по y положительная, то функция f(x0, y) на этом отрезке возрастает с ростом y . При этом f(x0,y0)=0. Это означает, что f(x0,y0-e)<0, f(x0,y0+e)>0. Функция f(x , y) имеет непрерывные частные производные, значит, она непрерывна. Отсюда по теореме о сохранении знака непрерывной функции следует, что при некотором d>0 на интервале u с концами (x0-d,y0-e), (x0+d,y0-e) функция f(x , y) отрицательная, а на интервале v с концами (x0-d,y0+e), (x0+d,y0+e) положительная. Окрестность V из формулировки теоремы это d-окрестность точки x0. Пусть x0-d<x < x0+d. По построению, точки (x,y0-e), (x,y0+e) расположены соответственно на интервалах u и v , т.е. функция f(x , y) в этих точках соответственно отрицательная и положительная. В силу непрерывности, по теореме о промежуточном значении в некоторой точке (x , g(x)) функция f(x , y) обращается в 0. Такая точка единственная, поскольку на интервале с концами (x,y0-e), (x,y0+e) функция f(x , y) возрастающая. Функция g(x) построена. Построение проиллюстрировано на рис. 5.

 

                                

Рис. 5

 

Может создаться ложное впечатление, что для каждого e построена своя функция. На самом деле в силу единственности это одна и та же функция, рассматриваемая на разных окрестностях точки x0. Этому тезису можно придать строгий смысл, но все понятно и так. Осталось проверить дифференцируемость построенной функции.

Вначале отметим, что функция g(x) непрерывна в точке x0. Действительно, для каждого e>0 построена такая d-окрестность точки x0, что при |x-x0|<d справедливо неравенство |g(x)-y0|<e, причем y0=g(x0), что и означает непрерывность. (На самом деле, функция g(x) непрерывна и в некоторой окрестности точки.)

Рассмотрим точку x0+Dx . Пусть g(x0+Dx)=y0+Dy . Поскольку функция f(x , y) дифференцируема в точке (x0,y0) (частные производные непрерывные, см. теорему 9), справедливо равенство  где a,b®0 при Dx ,Dy®0 или, поскольку Dy®0 при Dx®0 вследствие непрерывности функции g(x), можно считать, что a,b®0 при Dx®0. Далее, f(x0, y0)=0, f(x0+Dx , y0+Dy)=f(x0+Dx , g(x0+Dx))=0. Тогда

откуда  При достаточно малых Dx знаменатель дроби отличен от 0, поскольку частная производная ненулевая (главное условие!), а b®0 при Dx®0; предел дроби при Dx®0 равен , поскольку a,b®0 при Dx®0. По определению предела  где g®0 при Dx®0. Получили равенство  которое означает дифференцируемость функции g(x)=y(x) в точке x0, причем

Аналогично для функций любого числа переменных. Так, если f(x , y , z)=0 и f ¢ z(x0, y0, z0)¹0, то

Дополнительно к доказательству теоремы получены формулы дифференцирования неявной функции. Впрочем, производные можно вычислять и без этих формул, дифференцируя обе части уравнения, помня о неявной зависимости.

Замечание. Теперь ясно, почему в точке M0 все хорошо, а в точке M1 нет: в первой точке главное условие выполняется, а во второй нарушается.

Отдельно рассмотрим случай n =1. Если f(x , y)=0, то в точках, где f ¢ y(x , y)¹0 задана неявная функция y(x). Ее производная вычисляется по формуле  

Отметим, что условие f ¢ y(x , y)¹0 достаточно, но не необходимо для существования неявной функции. Например, если f(x , y)=8x3-y3, то f(0,0)=0, f ¢ y(0,0)=0, т.е. главное условие теоремы не выполняются. В то же время, уравнение f(x , y)=0 равносильно равенству y =2x , функция дифференцируемая.

Примеры. 1. Пусть x , y связаны соотношением  Найти y ¢ x.

Положим  

Теперь покажем, как то же самое можно осуществить без использования формулы. Продифференцируем обе части равенства  по x , учитывая зависимость, y(x). Получаем

В результате получим линейное уравнение относительно y ¢ x, решив его, получим то же самое выражение.

2. Пусть  Найти частные производные z по x , y . Положим  вычислим производные  Отсюда,

 при z ¹0.

3. (Обратная функция). Пусть x = f(y). Найти  Отсюда,  Это известная из первой части курса математического анализа формула для вычисления производной обратной функции. Иначе ее можно записать в виде

4. Пусть f(x , y , z)=0. Тогда  Отсюда  
    На базе полученных формул можно вычислять и производные высших порядков. При этом, надо учитывать уже полученные производные (эти формулы в процессе вычисления используются дважды).

Пример. 4. Вернемся к примеру 2. Вычислим  Из решения примера 2,  Подставляя сюда z ¢ x, окончательно получим:  Как и следовало ожидать, в формулу переменные x и y входят равноправно. Такие простые наблюдения позволяют избежать некоторых ошибок!

Вернемся к уравнению касательной плоскости. Пусть поверхность задана уравнением f(x , y , z)=0, и на поверхности взята точка (x0, y0, z0), в некоторой окрестности которой функция удовлетворяет условиям теоремы. Тогда это уравнение можно рассматривать в как неявную функцию z(x , y), определенную в некоторой окрестности точки (x0, y0). Частные производные этой функции вычисляются по предыдущим формулам. Уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид  (см. п. 6). Подставляя сюда выражения для частных производных, получим  Умножив это равенство на частную производную по z , после переноса всех слагаемых в левую часть получим уравнение касательной плоскости в форме

Это уравнение равноправно относительно переменных - в исходном уравнении переменная z занимала особое положение. Уравнение плоскости получено в предположении f ¢ z(x0, y0, z0)¹0. Исходное уравнение f(x , y , z)=0 можно считать неявной функцией x(y , z) или y(x , z). Если хотя бы одна частная производная функции f(x , y , z) в точке (x0, y0, z0) ненулевая, то можно поступить точно так же, в результате получим, как легко убедиться, то же самое уравнение касательной плоскости. Нормальный вектор к касательной плоскости (к поверхности) имеет координаты (f ¢ x(x0, y0, z0),f ¢ y(x0, y0, z0),f ¢ z(x0, y0, z0)), т.е равен градиенту функции f(x , y , z). Таким образом, градиент обладает еще одним замечательным свойством. Надо только, чтобы градиент был отличен от 0! Точки, в которых градиент нулевой, называются особыми точками поверхности. В них касательной плоскости может и не существовать.

Пример. Поверхность задана уравнением F(x , y , z)=x2+y2-z2=0. gradF =(F ¢ x, F ¢ y, F ¢ z)=(2x ,2y ,-2z). Градиент ненулевой в каждой точке поверхности (x0, y0, z0). кроме (0,0,0), уравнение касательной плоскости (после сокращения на 2) x0(x-x0)+y0(y-y0)-z0(z-z0)=0 или x0x-x02+y0y-y02-z0z+z02=0. Поскольку x02+y02-z02=0 (точка лежит на поверхности), окончательно получаем уравнение касательной плоскости x0x+y0y-z0z=0. Данная поверхность круговой конус, (0,0,0) его вершина. Разумеется, касательной плоскости к конусу в вершине не существует.

Рассмотрим функцию f(x , y , z). Поверхности f(x , y , z)=c называются поверхностями уровня функции. Их можно задать и уравнениями f(x , y , z)-c=0. Нормальный вектор к поверхности, заданной таким уравнением, также является градиентом функции f(x , y , z). Это справедливо и для функции двух переменных. Например, на географические карты наносятся изогипсы - кривые, в точках которых высота над уровнем моря постоянна, т.е. линии уровня функции высоты f(x , y). Градиент этой функции в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, нормаль легко нанести на карту. Вспомним, что направление градиента это направление наискорейшего роста функции, так что если вы хотите круче всего забираться в гору (подумайте, надо ли это делать), двигайтесь перпендикулярно касательной к изогипсе в соответствующей точке.

 

Вопросы для самопроверки

1. Как определяется неявная функция?

2. При каких условиях неявная функция существует?

3. Как вычисляются частные производные неявной функции?

4. Как выглядит уравнение касательной плоскости в общем случае?

5. Как связан градиент функции f(x , y , z) с нормальным вектором к поверхности f(x , z)=с?

 

Упражнения

1. Найти y¢, y¢¢ в заданной точке, если функция y(x) задана уравнением

- x2+xy2-y3=1, (1,1);

-  (0,1).

2. Найти все частные производные второго порядка функции z(x , y), заданной неявно уравнением x2+2y2+3z2+xy-z=9 в точке (1,-2,1).

3. Найти первые и вторые частные производные функции z(x , y), заданной равенством

- F(x+y+z,x2+y2+z2)=0,

- G(x,x+y,x+y+z)=0

(функции F , G дважды дифференцируемые).

4. Доказать, что касательные плоскости к поверхности  отсекают на координатных осях отрезки, сумма которых постоянна.

5. Найти проекции эллипсоида x2+ y2+ z2-xy =1на координатные плоскости.

6. Найти экстремумы функции z(x , y), заданной неявно уравнением x2+ y2+ z2-2x +2y-4z-10=0

НЕЯВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

Рассмотрим более общую задачу о неявном отображении. Пусть задана система уравнений

Допустим эти уравнения обращаются в равенство в точке (x10,...,xn0,y10,...,ym0Rn + m. Естественно возникает вопрос: при каких условиях в некоторой окрестности точки (x10,...,xn0Rn определены функции y1=g1(x10,...,xn0),..., ym=gm(x10,...,xn0) - решение системы, т.е. такие, что fi(x10,...,xn0,g1(x10,...,xn0),...,gm(x10,...,xn0))=0 при i =1,...,n?

Особо отметим случай n =0. Это означает, что из системы

на некотором множестве можно однозначно найти переменные y1,...,ym . Если система является линейной, то ответ известен из линейной алгебры: для существования единственного решения необходима и достаточна невырожденность матрицы системы.

    Еще один частный случай. Пусть уравнения системы представлены в виде

(m = n). Такая система задает отображение некоторого подмножества Rm в пространство Rm. Существование неявной функции означает, что каждой точке (x1,...,xm) из некоторого множества сопоставляется точка (y1,...,ym). Такое отображение обратное к исходному.

    Теорема, естественно, должна быть похожа на теорему 19. Интригующий вопрос: как выглядит аналог (обобщение) главного условия?

Теорема 20. Пусть функции fi(x1,...,xn, y1,...,ym) (i =1,...,m)

- имеют непрерывные частные производные в некоторой окрестности точки (x10,...,xn0,y10,...,ym0) такой, что fi(x10,...,xn0,y10,...,ym0)=0 (i =1,...,m);

- якобиан  в точке (x10,...,xn0, y10,...,ym0) (главное условие для этого случая).

Тогда для достаточно малого e>0 существует единственное семейство функций gj(x1,x2,...,xn) (j=1,...,m), определенных на некоторой окрестности V точки (x10,x20,...,xn0Rn, со следующими свойствами:

- fi(x1,x2,...,xn, g1(x1,x2,...,xn),...,gm(x1,x2,...,xn))º0 при i=1,...,m;

- gj(x10,x20,...,xn0)=yj0 при j=1,...,m;

- |gj(x1,x2,...,xn)-yj0|<e при (x1,x2,...,xnU;

- функции gj(x1,x2,...,xn) являются дифференцируемыми в точке (x10,x20,...,xn0).

Доказательство проведем в частном случае n =1, m =2. От n ничто не зависит, при m>2 доказательство основано на методе математической индукции и теории определителей. Итак, рассматриваются уравнения f1(x,y1,y2)=0, f2(x,y1,y2)=0, где функции f1, f2 имеют непрерывные частные производные в некоторой окрестности точки (x0,y10,y20), координаты которой удовлетворяют данным уравнениям,  в точке (x0,y10,y20). В определителе есть ненулевые элементы (В противном случае определитель равен 0). Пусть для определенности отличен от 0 элемент в первой строке и в первом столбце.

Для функции f1(x,y1,y2) и точки (x0,y10,y20) выполняются все условия теоремы 19 относительно переменной y1, т.е. в некоторой окрестности точки (x0,y20) существует единственная дифференцируемая функция y1=h(x,y2) такая, что y10=h(x0,y20), f1(x,h(x,y2),y



Последнее изменение этой страницы: 2021-04-04; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.55.22 (0.017 с.)