Производные и дифференциалы высших порядков

Частная производная  является функцией n переменных, значит, от нее можно взять производную , она называется частной производной второго порядка по соответствующим переменным. Обозначается аналогично производным функций одной переменной . Если j = i, то обозначение упрощается: . При j ¹ i производная называется смешанной. Производные высших порядков определяются индуктивно: если определены производные k -го порядка, то производные (k +1)-го порядка это производные от производных k -го порядка.

 

 

Так выглядит схема частных производных первого и второго порядка функции двух переменных.

Пример. f (x, y)= x^y.

                      

 

   

Смешанные производные оказались равными. Возникает вопрос: это случайность? Вообще говоря, это не всегда так. Рассмотрим пример функции, у которой одна из смешанных производных существует, а другая нет. Модификация этого примера дает пример функции, обе смешанные производной которой существуют, но не равны. Пусть

 поскольку f (x, y)=0 при x Î(-| y |,| y |) (y ¹ 0), f (x, 0)=0 при любом x. Отсюда  При этом  не существует при x ¹ 0 (функция разрывная). А тогда не существует и

Тем не менее, для широкого класса достаточно «хороших» функций смешанные производные совпадают.

Теорема 13. Пусть в некоторой окрестности точки M ₀(x ₀, y ₀) функция f (x, y) имеет частные производные  причем производные второго порядка непрерывны в точке M ₀. Тогда  Про вторые производные  ничего не утверждается, даже существование!

Доказательство. Выберем такое число h, что квадрат [ x ₀, x ₀+ h ]´[ y ₀, y ₀+ h ] расположен в окрестности, о которой говорится в условии теоремы. Рассмотрим величину

W= f (x ₀+ h, y ₀+ h)+ f (x ₀, y ₀)- f (x ₀+ h, y ₀)- f (x ₀, y ₀+ h).

Это есть сумма значений функции в двух противоположных вершинах квадрата минус сумму значений функции в двух других противоположных вершинах квадрата. Запишем W так:

(f (x ₀+ h, y ₀+ h)- f (x ₀+ h, y ₀))-(f (x ₀, y ₀+ h)- f (x ₀, y ₀)).

Если принять j(x)= f (x, y ₀+ h)- f (x, y ₀), то W=j(x ₀ + h)-j(x ₀). По формуле конечных приращений W=j'(q)× h, где qÎ[ x ₀, x ₀+ h ]. Производные функции j(x) это частные производные функции f по x, т.е.  Обозначим через  Выражение в скобках это приращение функции y(y) на отрезке [ y ₀, y ₀+ h ]. Как и ранее, по формуле конечных приращений существует такое число cÎ[ y ₀, y ₀+ h ], для которого  Отсюда  Поскольку вторая производная по условию непрерывна в точке M ₀(x ₀, y ₀), справедливо равенство  где  Таким образом,

Представим теперь W в форме

(f (x ₀+ h, y ₀+ h)- f (x ₀, y ₀+ h))-(f (x ₀+ h, y ₀)- f (x ₀, y ₀)). Проведя те же рассуждения, но в другом порядке (сначала по y, затем по x), получим  Приравняв два выражения для W, получим:  Сократив на h ² и перейдя к пределу при h ®0, установим нужное равенство смешанных производных.

Для производных высших порядков утверждение теоремы также справедливо.

Следствие. Пусть функция n переменных имеет непрерывные частные производные m порядка в некоторой точке. Тогда эти производные не зависят от порядка дифференцирования.

Замечание. Условия здесь избыточные, но на практике этого хватает.

Доказательство. Прежде всего, достаточно доказать, что производная не меняется при перемене двух соседних дифференцирований. Действительно, любую перестановку символов можно получить из данной с помощью перестановок соседей. Например, из перестановки (3,1,4,5,1,2) надо получить перестановку тех же цифр (2,5,3,1,1,4). Последовательность перестановок соседей: (3,1,4,5,1,2)®(3,1,4,5,2,1)®(3,1,4,2,5,1)®(3,1,2,4,5,1)®(3,2,1,4,5,1)®
(2,3,1,4,5,1)®(2,3,1,5,4,1)®(2,3,5,1,4,1)®(2,5,3,1,4,1)®(2,5,3,1,1,4). На этом примере виден общий алгоритм таких преобразований.

Поскольку функция имеет непрерывные частные производные m порядка, то она имеет непрерывные частные производные и меньших порядков. Докажем следствие на примере, в общем случае рассуждения те же самые. Рассмотрим две частные производные  Пусть  По теореме 13  Осталось взять от обеих частей производную по x ₂.Следствие доказано.

Отсюда следует, что можно выпмсывать одни и те же переменные дифференцирования подряд. Например, производные из нашего примера можно записать так:  Сумма «степеней» в знаменателе должна равняться «степени» в числителе.

Приведем примеры вычисления частных производных второго порядка сложных функций, частично заданных функциональными символами.

1. Пусть u = j(xyz, x ²+ y ²+ z ²). Необходимо найти  Ранее (пример 4 из п. 7) получено, что  где p = xyz, q = x ² + y ² + z ². Надо найти  Применяя правила дифференцирования, получим:

2. Рассмотрим теперь пример 5 из п. 7 z =f (x + y)+ g (x - y). Найдем вторые частные производные.

Функция z (x, y) при произвольных функциях f, g удовлетворяет уравнению  Это уравнение описывает колебание струны. Подробно теория таких уравнений излагается в курсе дифференциальных уравнений с частными производными. В частности, там установлено, что других решений у этого уравнения нет.

Перейдем к понятию дифференциалов высших порядков. Заметим, что (первый) дифференциал дифференцируемой функции u (x ₁,..., x_n) зависит от 2 n (пока) независимых переменных x ₁,..., x_n и приращений dx ₁,..., dx_n. Вторым дифференциалом d ² u называется дифференциал от первого дифференциала, рассматриваемого как функция от n переменных: x ₁,..., x_n (т.е. d (d x_i)=0). Таким образом,

Таким образом, второй дифференциал является квадратичной функцией от dx ₁,..., dx_n.

Дифференциалы более высоких порядков определяются индуктивно: если определен дифференциал k -го порядка d ^k u, то дифференциал (k +1)-го порядка d ^{k +1} u равен d (d ^k u).

Отсюда, например

Если учесть равенство смешанных производных, то получаем для функций двух переменных:

 

Эти формулы похожи на формулы для квадрата и куба суммы. Так же будет и для любого числа переменных, и для дифференциалов любых порядков (проверяется по индукции). Это наблюдение позволяет формализовать построение дифференциалов следующим образом. Введем оператор - символ  который сам по себе ничего не значит. Если умножить его формально на u, т.е. приписать u на свободные места (после d с левой стороны и после ¶ с правой), получим формулу для дифференциала. А для получения дифференциала k -го порядка, как следует из приведенных наблюдений, надо

- возвести оператор в k -ю степень (умножение осуществляется по обычным правилам алгебры),

- «умножить» обе части полученного формального равенства на u.

Дифференциал второго порядка функций одной переменной не был инвариантен относительно замены независимых переменных на зависимые от тех или иных параметров. Для функции нескольких переменных это тоже верно. Приведем соответствующую (довольно длинную) выкладку для второго дифференциала функции двух переменных.

Если x, y независимые переменные, то их вторые дифференциалы d ² x. d ² y обращаются в 0. Соответственно получаем известную формулу. Это верно и тогда, когда x, y зависимые переменные, но их вторые дифференциалы равны нулю, что означает линейную зависимость x, y от своих аргументов.

 

Вопросы для самопроверки

1. Как определяются производные высших порядков?

2. Какие производные называются смешанными?

3. При каких условиях смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования?

4. Как определяются дифференциалы высших порядков?

5. В каком случае форма дифференциала второго порядка инвариантна относительно замены независимых переменных на зависимые?

 

Упражнения

1. Вычислить  если

2. Вычислить  если

3. Найти производные второго прядка от функций

- f (x, xy, xyz),

-

4. Доказать, что функция u = x j(x + y)+ y y(x + y) удовлетворяет уравнению (j и y - дважды дифференцируемые функции).

5. Доказать, что функция u = x j[ x + y(y)] удовлетворяет уравнению (j и y - дважды дифференцируемые функции).

6. Найти дифференциалы первого и второго порядка функций

- u = f (x ²+ y ²+ z ²),

- u = g (ax ², by ²) (f и g - дважды дифференцируемые функции).

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции одной переменной имеет вид:

где x некоторая точка, расположенная между x и x ₀. Здесь предполагается, что точка x расположена в окрестности точки x ₀, в которой функция F имеет (k +1)-ю производную. Изменяя в случае необходимости начало отсчета и масштаб, можно считать, что x ₀=0, x =1. Тогда формула примет вид

Рассмотрим теперь функцию n переменных f (M) и предположим, что в некоторой окрестности точки M ₀ функция f имеет все частные производные до (k +1)-го порядка и точка M принадлежит этой окрестности. Определим функцию одной переменной F (t) так:  Функция F (t) обладает свойствами, при которых справедлива формула Тейлора. Предварительно вычислим производные этой функции. Пусть координаты точек M ₀ и M соответственно (x ₁,..., x_n) и (x ₁+ dx ₁,..., x_n + dx_n), т.е. изменения координат представлены в виде дифференциалов переменных.

Вычислим производные функции F (t). Это сложная функция, схема зависимости t ®(x ₁,..., x_n)® F (t), x_i = (M ₀) _i + t × dx_i.

далее все аналогично:  Таким образом, приходим к следующему выводу.

Теорема 14. Пусть функция f: Rⁿ ® R имеет все частные производные до (k +1)-го порядка в некоторой окрестности точки M ₀  и точка M принадлежит этой окрестности. В окрестности существует точка x такая, что

В качестве (dx ₁,..., dx_n) принимаются координаты вектора .Какследует из приведенных рассуждений, точка x расположена на отрезке [ M ₀, M ].

 

Контрольные вопросы

1. Как выглядит формула Тейлора для функций нескольких переменных?

2. Проверьте, что формула Тейлора для функций одной переменной является частным случаем формулы для функций нескольких переменных.

 

Упражнения

1. Разложить функцию z = 3 xy + 4 y ²-5 x по формуле Тейлора в точке (1,2) при k = 3.

2. Записать разложение функции z = x^y по формуле Тейлора до второго порядка включительно.