Дифференцирование сложных отображений

В математическом анализе функций одной переменной важную роль имело правило дифференцирования сложной функции

или сокращенно  Равенство показывает, что выражение dg формально можно сократить. Это важная особенность теории функций одной переменной.

    Правило дифференцирования композиций отображений имеет следующий вид.

Теорема 11. Пусть f: Rⁿ ® R^k, g: R^k ® R^m, причем отображение f дифференцируемо в точке M ₀, g дифференцируемо в точке f (M ₀). Тогда отображение f ๐ g: Rⁿ ® R^m дифференцируемо в точке M ₀, причем

J_{f ๐ g} (M ₀)= J_g (f (M ₀))× J_f (M ₀),

т.е. матрица Якоби композиции отображений равна произведению матриц Якоби сомножителей.

Прежде, чем доказывать теорему, приведем примеры.

1. f: R ²® R ², g: R ²® R ¹, т.е. заданы функции y ₁(x ₁, x ₂), y ₂(x ₁, x ₂) (отображение f), z (y ₁, y ₂) (отображение g). Тогда f ๐ g это отображение R ²® R ¹.

По правилу умножения матриц получим:

Разумеется, ни о каком «сокращении» символов ¶ речи быть не может.

2. f: R ¹® R ², g: R ²® R ¹, заданы функции y ₁(x), y ₂(x) (отображение f), z (y ₁, y ₂) (отображение g). Тогда f ๐ g это отображение R ¹® R ¹.

 Отсюда

Обратите внимание на использование прямых букв d в обозначениях производных. Они используются там, где функции зависят от одной переменной.

3. f: R ¹® R ², g: R ²® R ², заданы функции y ₁(x), y ₂(x) (отображение f), z ₁(y ₁, y ₂), z ₂(y ₁, y ₂) (отображение g). Тогда f ๐ g это отображение R ¹® R ².

 Получаем

Этот пример показывает, что доказывать теорему нужно только при m = 1 - компоненты точки в R^m можно рассматривать по отдельности.

4. Самый простой случай f: R ¹® R ¹, g: R ¹® R ¹. Заданы функции y (x) (отображение f), z (y) (отображение g). Тогда f ๐ g это отображение R ¹® R ¹.

 Получаем  -

формула дифференцирования сложной функции одной переменной.

Естественно, все согласуется.

Доказательство. Отмечалось, что достаточно рассмотреть случай m = 1. Доказательство проведем при n = k = 2, в общем случае принципиальных изменений нет. Итак, даны функции y ₁(x ₁, x ₂), y ₂(x ₁, x ₂), дифференцируемые в точке (a, b) (для упрощения записи используем буквы без индексов) и функция z (y ₁, y ₂), дифференцируемая в точке (c, d), где c = y ₁(a, b), d = y ₂(a, b). Придадим переменным x ₁ и x ₂ приращения D x ₁, D x ₂. При этом переменные y ₁, y ₂ получат приращения D y ₁, D y ₂. Важно, что D y ₁,D y ₂®0 при D x ₁, D x ₂®0 в силу непрерывности дифференцируемых функций Поскольку функции y ₁(x ₁, x ₂), y ₂(x ₁, x ₂) дифференцируемые в точке (a, b), справедливы равенства

где a₁, a₂, b₁, b₂®0 при D x ₁, D x ₂®0.

Реакцией на приращения D y ₁, D y ₂ является приращение D z функции z (y ₁, y ₂). Из дифференцируемости этой функции следует, что

где g,d®0 при D y ₁,D y ₂®0. Подставляя в последнее равенство выражения для D y ₁ и D y ₂ и сгруппировав слагаемые, получим:

Опишем вид величин j, c (ограничимся j, для c аналогично).

 Здесь не приводятся аргументы функций в правой части, чтобы не усложнять формулу. При D x ₁, D x ₂®0 предел j равен 0, поскольку в первых двух слагаемых числа - значения производных умножаются на бесконечно малые, а последние два слагаемых - произведения бесконечно малых. Таким образом, приращение D z (a, b) представлено в форме из определения 11, т.е. функция z (x, y) дифференцируема в точке (a, b). Частные производные  равны множителям при D x ₁, D x ₂ в первых слагаемых выражения для D z, это соответствует утверждению теоремы.

Примеры.

1. Приведем вначале стандартный пример, какие часто встречаются в задачниках. Он чисто учебный, практически бесполезный. Пусть u = x ² y ³+2 y, x = sin t, y = e ^t. Найти  

Целесообразно сначала записать зависимости схематически: t ®(x, y)® u. Используются прямые буквы d, поскольку суперпозиция приводит к зависимости u от одной переменной t. Формула дифференцирования имеет в этой ситуации такой вид:

 Подставляя заданные функции, получаем:

 Теперь можно сюда подставить функции x и y, но непонятно, почему нельзя было это сделать с самого начала.

2. Еще один пример такого типа. Пусть u = pq ², p = x + y ², q = x ² + y. Найти

Схематически: (x, y)®(p, q)® u. Получаем:

Здесь справедливо замечание из предыдущего примера.

3. Более интересны ситуации, когда промежуточные переменные целесообразно вводить в процессе решения. Пример. Необходимо найти частные производные функции  Целесообразно ввести переменные u = 3 x + y, v = 5 x + y ². Тогда z = u^v +2 v^u. Схематически: (x, y)®(u, v)® z.

По формуле дифференцирования сложной функции

Аналогично вычисляется производная по y.

4. Наиболее интересны задачи, в которых присутствуют произвольные функции. Особенно важны такие задачи для теории дифференциальных уравнений в частных производных - важнейшего инструмента описания многих реальных процессов.

Пусть надо найти частные производные функции u = j(xyz, x ²+ y ²+ z ²). Введем переменные p= xyz, q = x ²+ y ²+ z ². Тогда u = j(p, q). Схема (x, y, z)®(p, q)® u. Отсюда  Аналогично вычисляются частные производные по y и z. Производные функции jдалее не преобразуются.

5. Пусть z =f (x + y)+ g (x - y). Обозначим p= x + y, q = x - y. Тогда z =f (p)+ g (q). Схема почти та же, что и в примере 4.

У производных функций f и g нет индексов, поскольку каждая из них зависит от одной переменной (p и q соответственно), разночтения не возникает.

6. Формула для производной сложной функции нескольких переменных позволяет вычислять и некоторые производные функции одной переменной. В качестве примера рассмотрим степенно-показательную функцию y = f (x) ^{g ( x )}. Производные таких функций ранее вычислялись с использованием логарифмирования. Можно поступить иначе. Пусть p = f (x), q = g (x). Тогда y =p ^q. Схема x ®(p, q)® y.

7. В завершение более сложный пример. z = xyf (x ² y, g (3 x +2 y)). Как и выше, обозначим p = x ² y, q = g (3 x +2 y). Схема здесь такая: (x, y)®(x, y,p, q)® z. Неудачно, что одни и те же переменные x, y встречаются в двух звеньях цепочки. Чтобы избежать путаницы, временно заменим x, y на u, v в той части функции, которая не входит в p, q. Получим z = uvf (p, q), u = x, v = y, схема (x, y)®(u, v,p, q)® z. Применяя формулу дифференцирования, получим:

здесь при формировании последнего слагаемого еще раз использовалась формула дифференцирования сложной функции. Теперь восстановим исходные переменные:

Производная по y вычисляется аналогично.

Разумеется, встречаются и более сложные ситуации.

 

Вопросы для самопроверки

1. Как формулируется общая теорема о дифференцируемости сложного отображения?

2. Как вычислить производную сложной функции нескольких переменных?

 

Упражнения

1. Найти частные производные функций  (f, g - дифференцируемые функции).

2. Найти частные производные функции  (f - дифференцируемая функция).

3. Доказать, что функция  (f - дифференцируемая функция) удовлетворяет уравнению

4.. Доказать, что функция z = f (x ²+ y ²) (f - дифференцируемая функция) удовлетворяет уравнению

5. Доказать, что касательные плоскости к конусу  проходят через его вершину.

6. Доказать, что нормали к поверхности вращения  пересекают ось вращения.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

По определению 11 функция n переменных f (M) называется дифференцируемой в точке M ₀, если ее приращение D f (M ₀) представимо в виде  Теорема 7 утверждает, что При этом все приращения аргументов предполагаются независимыми, т.е. приращение D f (M) определено на некоторой окрестности (еще раз напомним, что все понятия дифференциального исчисления локальные!) точки (0,0,...,0) в пространстве приращений (D x ₁,...,D x _n). Дифференциал определяется как и для функции одной переменной.

Определение 13. Дифференциалом называется линейная функция от (D x ₁,...,D x _n) вида

Таким образом, из приращения выделена линейная часть. Говорят о «главной линейной части приращения» в том смысле, что отброшена бесконечно малая более высокого порядка. Такая терминология неприменима при нулевом дифференциале. В силу независимости приращений переменных для каждого аргумента x_i (производные от x_i по другим переменным равны 0) справедливо равенство  Таким образом, дифференциал можно записать в виде  Эта замена может показаться искусственной, позднее выяснится, что она имеет глубокий смысл.

Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных аналогичен смыслу дифференциала функции одной переменной: он равен приращению касательной плоскости к графику функции в точке M ₀ при изменении аргументов на d x ₁ и d x ₂.

Следующее свойство дифференциала является принципиально важным, в частности, при вычислении интегралов.

Теорема 12. Форма дифференциала инвариантна, т.е. формула имеет тот же вид, если переменные x ₁,..., x _n являются функции от каких-либо переменных.

Доказательство. Рассмотрим два частных случая, в общем случае выкладки принципиально те же самые.

1. (x, y)®(u, v)® z, считаем, что x, y независимые переменные.

что и требовалось. Этот результат следствие удачной формы записи дифференциала и линейности суперпозиции линейных функций.

2. Отдельно рассмотрим случай суперпозиции x ®(u, v)® z, поскольку у функций одной переменной есть специфика.

Теорема доказана.

Это свойство позволяет на новом уровне получить известные для функций одной переменной формулы для дифференциалов

d (u ± v)= du ± dv, d (uv)= du × v + dv u, d (u/v)=(du × v - dv u)/ v ².

Докажем, например, третью формулу.

 Остается привести правую часть равенства к общему знаменателю.

Как и для функций одной переменной, дифференциал можно использовать для приближенных вычислений (говорят, в первом приближении). Принимаем, что D f (M ₀)» df (M ₀).

Пример. Вычислить в первом приближении величину 1,02^2,03. Для этого естественно ввести в рассмотрение функцию f (M) = x^y. Эту функцию необходимо вычислить в точке M (1,02, 2,03). За M ₀ надо принять близкую точку, в которой функция легко вычисляется. Естественно положить M ₀(1, 2). Тогда D x = dx = 0,02, D y = dy = 0,03. Тогда

Подставляя значения, получим: df (M ₀)=0,04, f (M)» f (M ₀)+ df (M ₀)=1+0,04=1,04.

Под приближением нулевого порядка к f (M) понимается значение функции в близкой точке (в примере f (M ₀)). Приближения более высоких порядков требуют привлечения высших производных, в частности, основаны на формуле Тейлора.

 

Вопросы для самопроверки

1. Что такое дифференциал функции нескольких переменных?

2. От скольких переменных зависит дифференциал функции n переменных?

 

Упражнения

1. Найти дифференциалы следующих функций в заданных точках:

- u=xy+x ², (1,1), (2,0);

- u=xyz+ sin(x+y²), (-1,1,2), (0,0,3).

2. Вычислить в первом приближении

-

- 1,02^0,92,

- sin 29°×tg 47°.

ПРОИЗВОДНЫЕ ПО НАПРАВЛЕНИЮ

Частные производные - понятие несколько искусственное. Оно "привязано" к системе координат, которую можно вводить по-разному. Производная это скорость изменения функции. Имеете смысл ввести скорость изменения функции в любом направлении. Принципиально следующие рассуждения применимы к функциям любого числа переменных, но рассмотрим трехмерный случай как наиболее важный практически. Пусть функция u (x, y, z) дифференцируема в точке M ₀(x ₀, y ₀, z ₀) и  единичный вектор, заданный направляющими косинусами, т.е. косинусами углов, образованных вектором с осями координат. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M ₀ параллельно вектору  задается параметрическими уравнениями

x=x ₀+ t × cos a, y=y ₀+ t × cos b, z=z ₀+ t × cos g. Рассмотрим функцию
v (t)= u (x ₀+ t × cos a, y ₀+ t × cos b, z ₀+ t × cos g) переменной t (суперпозиция t ®(x, y, z)® u), определенную в некоторой окрестности 0 в силу дифференцируемости функции u (x, y, z).

Определение 14. Производной  функции u (x, y, z) в точке M ₀(x ₀, y ₀, z ₀) в направлении вектора  называется

Применяя формулу дифференцирования сложной функции, получим:

Последнее выражение является скалярным произведением двух векторов:  и .

По определению скалярного произведения

где j угол между градиентом и вектором , последнее равенство справедливо, поскольку вектор  единичный. Отсюда видно, что максимальное значение производной по направлению достигается при cos j=1, т.е. при j=0 - в направлении градиента функции! Тем самым, направление градиента это направление наискорейшего возрастания функции, а скорость в направлении градиента равна модулю градиента. Направление наискорейшего возрастания функции не зависит от выбора системы координат, отсюда градиент это мощный вектор, инвариантный относительно таких изменений. На этих замечательных свойствах градиента основаны многочисленные численные методы оптимизации.

Найдем производные функции по направлениям координатных осей  Например, , аналогично с другими осями. То есть, определение согласовано с «обычными» частными производными.

Пример. Найти производную функции u = x ²+ y ² + z ² в точке A (1,1,1) по направлению к точке B (-1,3,2).

Решение. Найдем координаты вектора : (-2,2,1). Единичный вектор  в направлении  равен  

grad u =(2 x, 2 y, 2 z), grad u (A)=(2, 2, 2). Все подготовлено к вычислению производной по направлению.

 

Вопросы для самопроверки

1. Что такое производная функции в данной точке в направлении данного вектора?

2. Как вычисляется производная по направлению?

3. В каком направлении скорость изменения функции максимальная?

 

Упражнение

1. Найти производную функции u = x ³+ y ³+ z ³ в точке (1,1,1) в направлении

- к точке (0,2,0),

- градиента функции v = xyz.