ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТОЧЕК В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТОЧЕК В МНОГОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ



Схема построения математического анализа функций нескольких переменных аналогична математическому анализу функций одной переменной. Важное место во введении в математический анализ занимала теория числовых последовательностей. Здесь в эту теорию вносятся некоторые коррективы.

Определение 6. Последовательность {M(1), M(2),..., M(k),...}ÌRn сходится к точке AÎRn , если ("e>0) ($K): (k > K)Þ(M(k)ÎU e (A)).

Окрестность в силу предложения 1 может пониматься как шаровая, так и кубическая. Обозначение стандартное: M(k)® A .

Отличие от определения числовой последовательности в том, что окрестность точки записана здесь в общем виде. Вместо привычной пары, букв N - n использована пара K - k , поскольку буквой n обозначена размерность пространства.

Следующий критерий сходимости многомерной последовательности точек сводит это понятие к сходимости числовых последовательностей.

Теорема 1. Для того, чтобы M(k)® A необходимо и достаточно, чтобы  при i =1,...,n .

Для доказательства достаточно в определении 6 использовать кубическую окрестность точки A .

Единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности дополнительных комментариев не требуют.

Из теоремы 1 следует, что последовательность {(1/k,k/(k+1)} имеет пределом точку (0,1), поскольку, как известно из первой части курса 1/k®0, k/(k+1)®1. В то же время, последовательность {(1/k,sin(k)} предела не имеет.

Теорема 2. (Больцано-Вейерштрасса). Из последовательности точек в компактном множестве VÌRn можно извлечь подпоследовательность, которая сходится к некоторой точке из V .

Доказательство. Ограничимся случаем n =2 и схемой доказательства. Поскольку множество V ограничено, оно содержится в некотором квадрате со сторонами, параллельными осям координат, пусть a - сторона квадрата (назовем его квадратом нулевого уровня). Разобьем его на 4 равных квадрата (первого уровня), их стороны равны a/2. В последовательности бесконечно много членов, а квадратов первого уровня всего четыре. Это значит, что в хотя бы один из них входит бесконечно много членов последовательности. Выберем какой-нибудь такой квадрат первого уровня. Затем разбиваем его на четыре квадрата второго уровня, выбираем какой-нибудь из них, в который входит бесконечно много членов последовательности и т.д. В результате построена последовательность вложенных квадратов, стороны которых a,a/2,...,a/2n,..., стремятся к 0 и в каждый из которых входит бесконечно много членов последовательности. Из принципа вложенных отрезков следует, что существует единственная точка p, общая для всех квадратов. Выберем из последовательности (с некоторой аккуратностью!) последовательно точки из квадратов первого, второго и т.д. уровней. Построенная последовательность (подпоследовательность исходной) сходится к p . Точка p не является внутренней точкой V (в любой ее окрестности есть точки из V), а тогда в силу замкнутости справедлив вывод pÎV , что и требовалось.

Ранее рассматривались последовательности на отрезке [a , b]. Как вы помните, в этом случае можно сказать больше - существуют верхний и нижний пределы последовательности. В многомерном случае такие утверждения лишены смысла, поскольку в многомерных пространствах не существует естественного отношения линейного порядка.

Определение 7. Последовательность точек {M(1), M(2),..., M(k),...} называется фундаментальной, если

("e>0)($K)("p , q>K)(r(M(p),M(q))<e).

Теорема 3 (О.Коши). Для сходимости последовательности необходима и достаточна ее фундаментальность.

Это утверждение для числовых последовательностей рассматривалось в первой части курса.

 

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение предела многомерной последовательности.

2. Какие критерии сходимости последовательностей вы знаете?

3. Что утверждает теорема Больцано-Вейерштрасса?

4. Какая последовательность называется фундаментальной?

5. Что можно сказать о сходимости фундаментальной последовательности?

 

Упражнения

1. Пусть сумма последовательностей сходится. Обязаны ли сходиться последовательности-слагаемые?

2. Может ли сходиться сумма последовательностей, если последовательности-слагаемые расходятся? Если одна сходится, вторая расходится?

 



Последнее изменение этой страницы: 2021-04-04; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.120.150 (0.004 с.)