Ряд распределения случайной величины

Случайные величины

1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

Под случайной величиной понимают переменную, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно – заранее не известно). Примеры случайных величин:

1) количество бракованных изделий в данной партии;

2) число произведенных выстрелов до первого попадания;

3) время ожидания транспорта при поездке на работу;

      4) курс доллара в определенный день;

      5) число новорожденных в городе Донецке в течение часа;

      6) число дней в году.

Разберем последний пример более подробно. Результат испытания 365 или 366 зависит от того год обычный или високосный. Если назвать любой исход эксперимента элементарным событием (обозначается ), а все возможные события пространством элементарных событий (обозначается ), то для нашего случая , где — обычные годы, а — високосный год.

Договоримся случайные величины обозначать прописными буквами латинского алфавита X, Y, Z, …, а их значения соответствующими строчными x, y, z, …

В нашем примере случайная величина X – число дней в году – является функцией элементарных исходов; 

Случайная величина, принимающая конечное или счетное число значений на числовой прямой, называется дискретной. В разобранном случае речь шла о дискретной случайной величине, ибо она принимала два значения: 365 и 366.

Если же случайная величина принимает непрерывное множество значений (например, значения на всей числовой прямой, на полупрямой, на отрезке), то ее называют непрерывной.

Простейшая форма задания закона распределения дискретной случайной величины X является таблица, в которой перечислены в порядке возрастания различные возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.

X:						…
						…

 

Такая таблица называется рядом распределения. Ясно, что                                                                                                           

Можно закон распределения определить формулой                                .

Если число значений случайной величины счетно, то                        .

 

Пример 1. В лотерее разыгрывается автомобиль стоимостью в 5000 у. е., 4 телевизора стоимостью 250 у. е., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 у. е. Всего продается 1000 билетов по 7 у. е. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим 1 билет.

Решение. Возможные значения случайной величины X – чистого выигрыша на 1 билет:

(если билет не выиграл); (если на билет выпал выигрыш видеомагнитофона); (если на билет выпал выигрыш телевизора); (если на билет выпал выигрыш автомобиля). Подсчитаем соответствующие этим значениям случайной величины вероятности.

То есть ряд распределения

Пример 2. Вероятность того, что студент сдаст семестровые экзамены по дисциплинам А и Б, равна соответственно 0, 7 и 0, 9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Возможные значения случайной величины X – числа сданных экзаменов могут быть 0, 1 и 2. Пусть – студент сдаст i – ый экзамен.

 

Дисперсия

Дисперсией DX случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания, то есть

Если  – дискретная случайная величина и  то

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом)  случайной величины  называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии.

                                           

                                    Свойства дисперсии:

1. , где  – постоянная;

2.

3.

4. Если  и — независимые случайные величины, то

 

Пример.  и  — независимые случайные величины.

Найти .

Решение. По свойствам 4, 2 

Решение.

1. x ≤ 1 F (x) = 0 ( в том числе и для x = 1, так как F(1) = P(X<1))

2. 1 < x ≤ 4 F (x) = P (X = 1) = 0, 4 (в том числе и для x = 4)

3. 4 < x ≤ 5 F (x) = P (X = 1) + P (X = 4) = 0, 5 (в том числе и для x = 5)

4. 5 < x ≤ 7 F(x) = P(X = 1) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0, 5 + 0, 3 = 0,8

5. x > 7 F(x) = P(X = 1) + P(X = 4) + P(X=5) + P(X = 7) = 0,8 + 0,2 =1 

                     

Итак,                                        

  

Заметим, что при переходе слева к точкам разрыва функция F(x) сохраняет свои значения, то есть F(x) – непрерывна слева.

Из графика видно, что F(x) – разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений.

Сумма всех скачков функции распределения равна 1.

 

 

Свойства функции распределения:

1. 0 ≤ F(x) ≤ 1

2. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция на всей числовой прямой.

3.  lim ,      lim =1

                                              

4. Вероятность попадания случайной величины  в интервал  равна приращению ее функции распределения, то есть  

 

Пример. Функция распределения

Найти

Решение. P (1 ≤ X < 3) =

Решение.

а) Чтобы f(x) была плотностью вероятности некоторой случайной величины X, она должна быть неотрицательной и

Следовательно,

Имеем   тогда                                                                                                                         

б) Если  то

Если X > 1, то

Получаем, что

                                        

в)

г)  

Равномерное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке  если ее плотность вероятности

Тогда

 

Решение задач

1. Подбрасываются две симметричные монеты, подсчитывается число гербов на обеих верхних сторонах монет. Записать закон распределения случайной величины X – число выпадений гербов на обеих монетах.

Решение. В данном опыте пространство элементарных исходов Ω = {(ГГ), (РР), (ГР), (РГ)}. Герб может выпасть 1 раз, 2 раза и ни разу.

Закон распределения случайной величины X:

X:

2. Радист вызывает корреспондента, причем каждый последующий вызов производится лишь в том случае, если предыдущий вызов не принят. Вероятность того, что корреспондент примет вызов, равна  Составьте закон распределения числа вызовов, если: а) число вызовов не более 5; б) число вызовов не ограничено.

Найдите математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение.а) Случайная величина X – число вызовов корреспондента – может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5. Пусть — – ый вызов принят . Вероятность того, что первый вызов принят  Второй вызов состоится лишь при условии, что первый вызов не будет принят, и

Аналогично,

Пятый вызов при любом исходе – последний.

 Ряд распределения случайной величины X имеет вид:

                                                            

Математическое ожидание

 Дисперсия

   б) Так как число вызовов не ограничено, то ряд распределения случайной величины X имеет вид:

                                                               

X:					…		…
					…		…

                    

Проверка:                           

( Сумма ряда в скобках – это сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, В нашем случае       

     

Для вычисления суммы ряда воспользуемся формулой

                                                     

В нашем случае                                                            

Для вычисления суммы, записанной в скобках, сначала рассмотрим сумму ряда  при

                                         

 При

       

                                        

3. Ряд распределения дискретной случайной величины состоит из двух неизвестных значений. Вероятность того, что случайная величина примет одно из значений равна 0,8. Найти функцию распределения случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,2 и ее дисперсия равна  0,16.

Решение. Пусть значения случайной величины X равны  и  По условию одна из вероятностей равна 0,8. Пусть  Тогда    Запишем ряд распределения            

 

Известно, что  

Значит, что    

Решая систему, находим два решения:  и

Поэтому

              или   

4. Дана функция распределения случайной величины X:

            

а) Найти плотность вероятности

б) Построить графики  и

в) Найти вероятности  и

г) Вычислить и

Решение.  

а) Плотность вероятности

б)

в)

г)

Упражнения

1. Может ли закон распределения какой – либо случайной величины быть задан таблицей:

а) 

 

 

б)

 

2. Вероятность того, что в библиотеке есть необходимая студенту книга равняется 0,3. Составьте закон распределения случайной величины X – числа библиотек, которые посетит студент (студент прекращает последовательное посещение библиотек, если в какой – либо из них обнаружит нужную книгу).

3. Проводится розыгрыш 1000 билетов лотереи, в которой 100 билетов дают выигрыш по 1 гривне, 10 билетов – по 10 гривень, 1 билет – 100 гривень. Какой выигрыш в среднем приходится на билет? Известно, что билеты продают по 1 гривне.

4. Дискретная случайная величина X принимает 3 значения  с вероятностями  Найдите  и , если

5. Дискретная случайная величина X принимает 2 значения  и ,  Составьте закон распределения случайной величины X, если  Найдите функцию распределения  и постройте ее график.

6. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в долг с вероятностью 0, 1. Составьте закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

7. В билете 3 задачи.  Вероятность правильного решения первой задачи равняется 0, 9, второй – 0,8, а третьей – 0,7. Составьте закон распределения числа правильно решенных задач в билете; вычислите

8. Произведено 2 выстрела в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0, 8, а вторым – 0,7. Составьте закон распределения числа попаданий в мишень. Найдите  функцию распределения  Постройте график  (Каждый стрелок делает по одному выстрелу).

9. Имеются 4 ключа, из которых только 1 подходит к замку. Составьте закон распределения числа попыток открыть замок, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует. Постройте функцию распределения  Найдите

10. По многолетним статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика 0, 515. Составьте  закон распределения случайной величины X числа мальчиков в семье из 4 детей. Найдите и

11. В среднем по 10 % договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составьте закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех. Вычислите  и

12. Дана функция распределения случайной величины X

Найдите: а) закон распределения случайной величины ; б) и  в) постройте график

13. Даны законы распределения независимых случайных величин X и Y

                                                                     

                      

Найдите вероятности, с которыми X и Y принимают значение 3. Составьте закон распределения случайной величины  Проверьте, выполняются ли свойства  

14. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них:

              а) для первого                                                     

         

б) для второго                                                     

а) Составьте закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками;

б) Проверьте свойство математического ожидания суммы случайных величин.

15. Случайная величина X сосредоточена на интервале  и задана функцией распределения  Найдите вероятность попадания случайной величины X в интервал . Постройте график функции

16. Случайная величина X, сосредоточенная на интервале , задана функцией распределения . Найдите вероятность того, что случайная величина X примет значения: а) меньше 4; б) не меньше 6; в) не меньше 3; г) Вычислите вероятность попадания случайной величины в интервал .

17. Случайная величина X задана функцией распределения

Найдите:

              а) плотность вероятности

б)

              в) ;

г) Постройте графики функций  и

18. При каком a функция

будет плотностью некоторой случайной величины?

Вычислить: а) ; б) и .

19. Случайная величина X задана функцией распределения

Определите: 1) Плотность   2)

20. Случайная величина X задается функцией распределения

Определите  и .

21. Случайная величина X задается функцией распределения

Определите вероятность того, что в результате двух независимых испытаний случайная величина X оба раза попадет в интервал .

22. Случайная величина X задана функцией распределения

Постройте закон распределения случайной величины X.

Вычислите:

 

 

ТАБЛИЦЫ

                                                                                                                            Таблица 1

           Закон распределения Пуассона        

 

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
0     1    2                                              3    4    5    6    7	0,904837 090484 004524 000151 000004	0,818731 163746 016375 001092 000055 000002	0,740818 222245 033337 003334 000250 000015 000001	0,670320 268128 053626 007150 000715 000057 000004	0,606531 303265 075816 012636 001580 000158 000013 000001	0,548812 329287 098786 019757 002964 000356 000036 000003
	0,7	0,8	0,9	1,0	2	3
0     1    2                                              3    4    5    6    7    8    9 10 11 12 13 14 15	0,496585 347610 121663 028388 004968 000696 000081 000008 000001	0,449329 359463 143785  038343 00 7669 00 1227 000164 000019 000002	0,406570 365913 164661 049398 0 11115 00 2001 000 300 000039 000004	0, 367879 367879 183940 061313 0 15328 00 3066 000 511 000073 000009 000001	0, 135335 270671 270671 180447 0 90224 0 36089 0 12030 00 3437 000859 000191 000038 000007 000001	0, 049787 149361 224042 224042 168031 100819 0 50409 0 21604 008102 002701 000810 000221 000055 000013 000003 000001

                                                                 

 

Продолжение таблицы 1

    

	4	5	6	7	8	9
0     1    2                                              3    4    5    6    7    8    9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27	0,018316 073263 146525 195367 195367 156293 104196 059540 029770 013231 005292 001925 000642 000197 000056 000015 000004 000001	0,006738 033690 084224 140374 175467 175467 146223 104445 065278 036266 018138 008242 003434 001321 000472 000157 000049 000014 000004 000001	0,002479 014873 044618 089235 133853 160623 160623 137677 103258 068838 041303 022529 011264 005199 002228 000891 000334 000118 000039 000012 000004 000001	0,000912 006383 022341 052129 091226 127717 149003 149003 130377 101405 070983 045171 026350 014188 007094 003311 001448 000596 000232 000085 000030 000010 000003 000001	0,000335 002684 010735 028626 057252 091604 122138 139587 139587 124077 099262 07 2190 0 48127 029616 016924 009026 004513 002124 000944 000397 000159 000061 000022 000008 000003 000001	0,000123 001111 004998 014994 033737 060727 091090 117116 131756 131756 118580 0 97020 0 72765 0 50376 0 32384 0 19431 010930 005786 002893 001370 000617 000264 000108 000042 000016 000006 000002 000001

 

 

                                                                                                                                                  Таблица 2

                                   Таблица значений функции

0,00    01    02    03    04    05    06    07    08 09      0,1 0    11    12    13    14    15    16    17    18       19 0,20    21    22    23    24    25    26    27    28 29      0,30    31    32    33    34    35    36    37    38    39 1,60    61    62    63    64    65    66    67    68    69	0,39894 39892 39886 39876 39862 39844 39822 39797 39767 39733 39695 39654 39608 39559 39505 39448 39387 39322 39253 39181 39 104 39 024 3 8940 3 8853 3 8762 3 8667 3 8568 3 8466 3 8361 3 8251 3 8139 38023 37903 37780 37654 37524 37391 37255 37115 36973 0,11092 10915 10741 10567 10396 10226 10059 0,09893 09728 09566	0,40   41   42   43   44   45   46   47   48   49 0,50   51   52   53   54   55   56   57   58   59 0, 60   61   62   63   64   65   66   67   68   69 0, 70   71   72   73   74   75   76   77   78   79 2,15   16   17   18   19 2,20   21   22   23   24	0,36827 36678 36526 36371 36213 36053 35889 35723 35553 35381 0,35207 35029 34849 34667 34482 34294 34105 33912 33718 33521 3 3322 3 3121 3 2918 3 2713 3 2506 3 2297 3 2086 3 1874 3 1659 3 1443 3 1225 31006 30785 30563 30339 30114 0,29887 29659 29430 29200 0,03955 03871 03788 03706 03626 03547 03470 03394 03319 03246	0,80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 0,90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 1, 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1, 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2,70   71   72   73   74   75   76   77   78   79	0,28969 28737 28504 28269 28034 27798 27562 27324 27086 26848 26609 26369 26129 25888 25647 25406 25164 24923 24681 24439 0,2 4197 23955    2 3713  23471 2 3230 2 2988 2 2747 2 2506 2 2265 2 2025 2 1785 21546 21307 21069 20831 20594 20357 20121 19886 19652 0,01042 01014 00987 00961 00935 00909 00885 00861 00837 00814	1,20 21 22 23 24 25 26 27 28 29  1,30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 1, 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49  1, 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 3,25    26    27    28    29 3,30    31    32    33    34	0,28969 19186 18954 18724 18494 18265 18037 17810 17585 17360 17137 16915 16694 16474 16256 16038 15822 15608 15395 15183 14973 14764  1 4556    1 4350   1 4146 1 3943 1 3742 1 3542 1 3344 1 3147 0,12952 12758 12566 12376 12188 12001 11816 11632 11450 11270 0,00203 00196 00190 00184 00178 00172 00167 00161 00156 00151

 

 

 

Продолжение таблицы 2