Законы логики Базовые понятия

 

Понятие, суждение, умозаключение. Истинность, ложность суждений и умозаключений. Законы логики как возведенные в принципы харак­терные черты мышления.

 

Обязательно изложить

Предметом логики является структура мышления, его формы и законы. Выделяются три формы мышления: понятие, суждение, умозаключение. Понятие — это форма мышления, в которой фиксируются существенные признаки отдельного предмета или класса однородных предметов. Понятия выражаются словами или группами слов. Примером понятия является термин "пап­ка", обозначающий один из элементов файловой системы большинства ОС. Суждение — форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях. Суждение выражается в форме повествовательного предложения. Суждение может быть простым или сложным. Пример сужде­ния — "Папка не является файлом". Умозаключение — форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам получается заключение.

Закон в логике понимается как требование или принцип, которому необходимо следовать, чтобы мышле­ние было правильным. Из многих возможных требований были выделены те, которые наиболее тесно связаны с такими свойствами мышления, как последовательность, определенность, непротиворечивость и обоснованность: закон тождества, закон непротиворечия, закон исключенного третьего, закон достаточного основания. Рассмотрим каждый из них более подробно.

Закон тождества формулируется следующим образом: "В процессе определенного рассуждения всякое понятие или сведение должны быть тождественны самим себе". В мышлении этот закон выступает в качестве нормативного правила: в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. Нельзя выдавать тождественные мысли за различные, а различные — за тождественные. Нарушение закона тождества приводит к двусмысленности. Например: "Откуда берется хлеб? Отвечай! — Это я знаю, он печется... — Печется? О ком это он печется? — Не о ком, а из чего... Берешь зерно, мелешь его... — Не зерно ты мелешь, а чепуху!" (Л.Кэрролл. "Алиса в Зазеркалье").

Закон непротиворечия утверждает: "Два противоположных суждения не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том же отношении". Например, суждения "Петя Иванов учится в нашем классе" и "Петя Иванов не учится в нашем классе" являются противоречивыми, и истинным может быть лишь одно из них. Суждения "Петя Иванов учится в нашем классе" и "Петя Иванов не учился в нашем классе" могут быть непротиворечивыми, а значит, могут быть истинными или ложными одновременно.

Закон исключенного третьего формулируется следующим образом: "Из двух противоречащих друг другу сведений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано". Действие этого закона оказывается неограниченным лишь в "жестких" предсказуемых ситуациях. Например, суждения "Завтра в 15 часов будет солнечное затмение" и "Завтра в 15 часов не будет солнечного затмения" подчиняются этому закону, поскольку день и час очередного

БИЛЕТ № 10

1. Представление целых и вещественных чисел в памяти персонального компьютера.

2. Логическая схема триггера. Использование триггеров в оперативной памяти.

3. Задача. Разработка алгоритма (программы), содержащего команду (оператор) ветвления.

 

Представление целых и вещественных чисел в памяти персонального компьютера

Базовые понятия

Целые и вещественные числа.

Знаковый разряд. Дополнительный код.

Переполнение — получение результата, для сохранения которого в машине недостаточно двоичных разрядов.

Представление с плавающей запятой; мантисса и порядок. Нормализованные числа.

 

Обязательно изложить

Числовая информация была первым видом информации, который начали обрабатывать ЭВМ, и долгое время она оставалась единственным видом. Поэтому неудивительно, что в современном компьютере существует большое разнообразие типов чисел.

Целые числа. Для того чтобы различать положительные и отрицательные числа, в их двоичном представле­нии выделяется знаковый разряд. По традиции используется самый старший бит, причем нулевое значение в нем соответствует знаку плюс, а единичное — минусу.

Из сказанного следует, что положительные числа представляют собой обычное двоичное изображение числа (с нулем в знаковом бите). А вот для записи отрицательных чисел используется специальный код, называемый в, литературе дополнительным. Для практического получения кода отрицательных чисел используется Следующий алгоритм:

• модуль числа перевести в двоичную форму;

• проинвертировать каждый разряд получившегося кода, т.е. заменить единицы нулями, а нули — единицами;

• к полученному результату обычным образом прибавит единицу.

Вещественные числа. Для хранения этого типа данных в памяти современных ЭВМ обычно используется представление чисел с плавающей запятой. Оно фактически взято из математики, где любое число А в системе счисления с основанием О предлагается записывать в виде

А = (±М) • Q±f,

где М называют мантиссой, а показатель степени Р — порядком числа. Для десятичной системы это выглядит очень привычно, например: заряд электрона равен — 1,6 • 1СГ'19 Кл, а скорость света в вакууме составляет 3 • 108 м/с.

Арифметика чисел с плавающей запятой оказывается заметно сложнее, чем для целых. Тем не менее, вычислительные машины со всем этим великолепно умеют автоматически справляться. Заметим, что для процессоров Intel все операции над вещественными числами вынесены в отдельный функциональный узел, который принято называть математическим сопроцессором; до 486-й модели он представлял собой отдельную микросхему.

Таким образом, при использовании метода представ­ления вещественных чисел с плавающей запятой в памяти фактически хранятся два числа: мантисса и порядок. Разрядность первой части определяет точность вычислений, а второй — диапазон представления чисел.

К описанным выше общим принципам представления вещественных чисел необходимо добавить правила кодирования мантиссы и порядка. Эти правила могут отличаться для различных машин, и мы не будем их здесь рассматривать.

Таким образом, если сравнить между собой представление целых и вещественных чисел, то станет отчетливо видно, как сильно различаются числа, скажем, 3 и 3.0.

 

Желательно изложить

Беззнаковые целые числа. Хотя в математических задачах не так часто встречаются величины, принципиально не имеющие отрицательных значений, беззнаковые типы данных получили в ЭВМ большое распространение. Причина состоит в том, что в самой машине и программах для нее имеется много такого рода объектов: прежде всего адреса ячеек, а также всевозможные счетчики (количество повторений циклов, число параметров в списке или символов в тексте). К этому списку добавим наборы чисел, обозначающие дату и время, размеры графических изображений в пикселях. Все перечисленное выше принимает только целые и неотрицательные значения.

Минимальное значение для данного числового типа по определению равно 0, а максимальное состоит из единиц во всех двоичных разрядах, а потому зависит от их количества:

max- 2N- I, — где N — разрядность чисел.

Результат вычислений, например, после умножения, при определенных условиях может потребовать для своего размещения большего количества разрядов, чем имеется на практике. Проблема выхода за отведен­ную разрядную сетку машины называется переполне­нием. Факт переполнения всегда фиксируется путем установки в единицу специального управляющего бита, который последующая программа имеет возможность проанализировать. Образно говоря, процессор заметит переполнение, но предоставляет программному обеспечению право принять решение реагировать на него или проигнорировать.

При сохранении вещественного числа некоторое неудобство вносит тот факт, что представление числа в плавающей форме не является единственным:

3 • 108= 30 • 107 = 0,3 • 109 = 0,03 • 1010 =...

Поэтому договорились для выделения единственного варианта записи числа считать, что мантисса всегда меньше единицы (т.е. целая часть отсутствует), а первый разряд содержит отличную от нуля цифру — в нашем примере обоим требованиям удовлетворит только число 0,3 • 109. Описанное представление чисел называется нормализованным и является единственным. Любое число легко нормализуется с помощью формального алгоритма.

Все сказанное о нормализации можно применять и к двоичной системе:

А = (±Л4) • 2±р, причем 1/2 < М < 1.

Существенно, что двоичная мантисса всегда начинается с единицы (М > 1/2). Поэтому во многих ЭВМ эта единица даже не записывается в ОЗУ, что позволяет сохранить вместо нее еще один дополнительный разряд мантиссы (так называемая "скрытая единица").

 

Примечание для учителей

Изложение, приведенное ранее в полных материалах билета (см. ссылку после вопроса), гораздо подробнее, чем это необходимо для ответа на экзамене, зато представляет собой достаточно полное систематическое описание вопроса. Автор надеется, что знание деталей будет полезно учителю при подготовке рассказа на уроке. В данной публикации сделана попытка выделить тот самый минимум, который ученику необходимо включить в свой ответ на экзамене.

 

Примечания для учеников

При ответе надо быть готовым к дополнительным вопросам об обосновании тех или иных утверждений. Например, каковы максимальное и минимальное значения 8-битного целого числа со знаком и почему их модули не равны.

Как обычно, при подготовке вопроса необходимо продумать и подобрать примеры к своему рассказу.

Ссылка на материалы по вопросу

Полный текст материалов вопроса опубликован в "Информатике" № 11, 2003, с. 9 — 13.