Disciplines of a natural scientific cycle

 

Annatation. Disciplines of the natural science cycle and mathematics. What is common between them?

One of the directions of the disciplines of the natural science cycle, as is known, is the study of the laws of structure and changes in living time at different levels of organization. Mathematics is a world of exact laws, strict quantitative relations. The results of biological experiments performed under strictly controlled conditions can diverge very significantly. Physical laws allow precise mathematical formulation and verification. In the disciplines of the natural science cycle, such quantitative laws are still unknown. But the use of mathematics in them is possible and in some cases necessary.

Key words: mathematical modeling, disciplines of the natural science cycle. Educationalprocess, population.

 

Дисциплины естественнонаучного цикла и математика. Что между ними общего?

Одно из направлений дисциплин естественнонаучного цикла, как известно, это изучение закономерностей строения и изменения во времени живого на разных уровнях организации - молекулярном, клеточном, тканевом, организменном, популяционном, биогеоценотическом и, наконец, на уровне биосферы в целом. Математика– это мир точных зако­нов, строгих количественных отношений. Часто приходится слышать, что живая природа слишком разнообразна и сложна для математического описания. Это во многих отношениях верно. Все капли дождя – одинаковы, но все деревья в лесу – разные. Физический экспе­римент только тогда считается достоверным, когда его результаты с хорошей, порой с фантастической точностью воспроизводимы. Результаты биологических экс­периментов, поставленных, казалось бы, в строго контролируемых условиях, могут расходиться очень значи­тельно. Физические законы допускают точную математическую формулировку и проверку: закон всемирного тяготения Ньютона, законы теории относительности и квантовой механики выполняются со всей точностью, которую может обеспечить изощренная современная экспериментальная техника. В дисциплинах естественнонаучного цикла такого рода количественные законы пока неизвестны. Но применение математики в них возможно и в ряде случаев необходимо [3].

Конечно, роль математики в дисциплинах естественнонаучного цикла существенно отличается от ее роли в физике и технике. Для того чтобы правильно рассчитать траекторию полета космического корабля на Марс, надо «всего лишь» численно решить соответствующие уравнения движения, следующие из закона всемирного тяготения. Это может быть очень громоздкая задача, требующая разработки тонких методов прикладной математики и мощной вычислительной техники, но сами уравнения известны заранее. Математический расчет спектров получения даже очень простых химических соединений выходит за рамки воз­можностей современной вычислительной математики и техники, но никто не сомневается в том, что в принципе это можно было бы сделать, решив соответствующие уравнения квантовой механики. В указанных дисциплинах аналогичных уравнений просто не существует.

В чем же тогда смысл применения математики в естественнонаучных дисциплинах и какая может быть им польза от математики?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим несколь­ко примеров из различных областей естествознания.

В 1925 г. знаменитый уже в то время итальянский математик Вито Вольтерра заинтересовался любопытным фактом: резкое уменьшение промысла рыбы в Адриатическом море во время первой мировой войны вызвало заметное увеличение относительной доли хищных рыб в улове. Объяснить этот эффект биологически специалистам не удалось, и В. Вольтерра решил попытаться найти математическое объяснение. Результат превысил ожидания: было не только получено объяснение любопытного конкретного факта, но и была создана математическая теория борьбы за существование, которая легла в основу современной математической экологии.

Основная модель В. Вольтерра довольно проста, ее можно объяснить «на пальцах», а извлекаемые при этом методологические уроки весьма поучительны.

Рассмотрим вслед за В. Вольтерра две стаи (популяции) рыб: популяцию рыб, пи­тающихся планктоном, причем предположим, что планктона избыток, и популяцию хищных рыб, питающихся планктоноядными. Рыб второго вида будем, естественно, называть «хищником», а рыб первого вида – «жертвой». Будем считать, что рыбы не покидают свою стаю и не присоединяются к другой. Тогда изменение численности обоих популяций будет обусловливаться только гибелью особей и их размножением.

В основу модели В. Вольтерра заложил следующие простые предположения. По­пуляция жертв в отсутствие хищника растет в геометрической прогрессии, так что ее численность каждый год увеличи­вается на некоторую долю. В присутствии хищника показатель этой геометрической прогрессии убывает с ростом чис­ленности популяции хищника, а когда численность хищника превосходит некоторую величину, он становится меньше единицы, т. е. численность популяции жертв начинает уменьшаться. Скорость уменьшения численности хищника при наличии жертв уменьшается с ростом популя­ции жертв, а когда жертв достаточно много, популяция хищника начинает расти и растет тем быстрее, чем больше жертв.

Таких простых и естественных предположений оказывается достаточно для построения математической модели (в данном случае в виде системы дифференциальных уравнений). Надо, разумеется, еще указать, как именно меняется скорость роста численности одной популяции в зависимости от численности второй. При этом, вообще говоря, должны использоваться данные экспериментов и наблюдений. В распоряжении В. Вольтерра таких сведений не было, и он использовал простейшее предположение о прямой пропорциональности.

Исследование модели математическими средствами дало очень интересный и неожиданный результат. Его можно изобразить двояко: либо представив графики изменения численности обеих популяций во времени, либо более наглядно – откладывая численность одной популяции – жертвы – по оси абсцисс, а численность второй популяции - хищника - по оси ординат.

Во-первых, две популяции, взаимодействующие по принципу хищник – жертва, могут взаимно регулировать численность друг друга: ни одна из популяций не вымирает, но и не размножается неограниченно. Если бы в рамках модели размножение было неограниченным, это означало бы просто, что модель построена неправильно, что предпосылки, заложенные в ее основу, не верны.

Второй вывод еще более интересен: численности популяций не устанавливаются на каком-то постоянном уровне, а непрерывно изменяются, совершая регулярные колебания наподобие колебаний маятника [2].

Этот вывод был неожиданностью для ученых. Несмотря на то, что колебания – и очень резкие – численностей популяций известны с древности, однако испокон веку они объяснялись причинами внешними – пятнами на Солнце или еще чем-нибудь в том же духе. Лишь размышления над результатами исследования математической модели этого явления склонили естественников к мысли, что колебания численности в сообществах не обязатель­но вызваны внешними причинами, а могут объясняться причинами внутренними.

Попробуем найти в этой ситуации элементы моделирования.

Необходимость в создании математической модели возникает из наблюдений над конкретными особенностями поведения биологического объекта, не поддающимися объяснению на уровне здравого смысла и, профессиональных знаний биолога. Математическая модель биологического явления, как правило, создается в процессе длительной совместной работы математика и биолога. Основная сложность при этом состоит в том, что при создании математической модели целью является описание не самого биологического объекта и явления, а лишь очень немногих особенностей явления, существенных с точки зрения исследователя. Другими словами, требуется максимальная идеализация явления. Можно сказать, что математическая модель - этот не портрет, а карикатура на явление, выделяющая или утрирующая лишь наиболее характерные черты и игнорирующая все оста степенного и не выплеснуть при этом с водой и ребенка - дело интуиции и таланта исследователя. Готовых рецептов для этого не существует. Это путь, который каждый «модельер» должен проделать самостоятельно с самого начала [1, 4].

Обратим внимание, что в модели В. Вольтерра от самих рыб с точки зрения зоолога практически ничего не осталось - ни размеров, ни пола, ни возраста, ни особенностей строения, физиологии и поведения. И, однако, именно такая модель легла в основу математической экологии и помогла если не понять, то подступиться к пониманию механизмов, управляющих динамическими процессами в экосистемах.

После того как решено, какие величи­ны считать принципиально важными, а какие – несущественными, как устроены свя­зи между этими величинами, процесс по­строения модели практически завершен и можно переходить к ее исследованию. Тут уже биолог не нужен. На этом этапе математик забывает о биологическом смысле переменных и постоянных величин, функций или других математических объектов, входящих в модель, в организме. Каждая точка на плоскости соответствует определенному состоянию организма – численности популяций иммунных и микробных клеток. В зависимости от начального состояния организма либо устанавливается равновесие, либо популяция микроорганизмов выходит из-под контроля. Равновесие устанавливается в том случае, если исходному состоянию соответствуют точки, расположенные внутри кривой. Если же состоянию организма соответствуют точки, расположенные кнаружи от красной линии, то численность популяции микробных клеток уже выходит из-под контроля иммунной системыи пускает в ход свою профессиональную квалификацию. Эта часть работы может требовать глубоких знаний и владения изощренной математической техникой, но все же, в отличие от этапа построения модели, является в значительной степени рутинной.

Но вот исследование модели завершено, наступает этап интерпретации результатов исследования, и снова восстанавливается сотрудничество математика и естественника. При этом в первую очередь выясняют, что означает полученные математические результаты в «обратном переводе» на язык биологических терминов. Совпадает ли в основных чертах полученная картина с биологической реальностью? Не предсказывает ли модель каких-либо новых, ранее неизвестных эффектов? Допускают ли эти гипотетические эффекты экспериментальную проверку и содержательную интерпретацию в биологических терминах? В зависимости от ответов на эти вопросы модель либо признается негодной и становится лишь фактом биографии авторов, либо кирпичиком входит в здание наших представлений о живом, либо – в самом удачном случае – становится фундаментом дальнейшего сотрудничества математиков и биологов. Модель В. Вольтера является классическим примером модели третьего типа. Она не только ответила на поставленный вопрос – позволила объяснить увеличение доли хищных рыб в улове при ослаблении промысла, но и – что много более важно – привела к пониманию того, что колебания численности популяций в экологических сообществах могут объясняться не внешними причинами, а характером взаимодействия между самими популяциями в экосистеме.

Может показаться, что полученные путем моделирования результаты носят чисто академический характер и не имеют никакого отношения к практическим задачам биологии, медицины, сельского и лесного хозяйства и т. п. Это не совсем так. Модели, построенные на основе идей и методологии В. Вольтерра, позволяют предсказать важные качественные эффекты, имеющие практическое значение, причем не только в отношении экологических проблем, но и в областях, не имеющих казалось бы, отношения к математической экологии.

В 60-х гг. известный советский математик профессор А. М. Молчанов заинтересовался проблемами иммунологии, в частности влиянием антибиотиков на течение различных инфекционных заболеваний.

Хорошо известно, что результаты использования антибиотиков не однозначны – эти лекарства могут излечивать, но могут и не оказывать желаемого воздействия. Известны и отрицательные последствия применения антибиотиков. Не может ли математическая модель пред­сказать последствия применения антибиотиков в каждом конкретном случае или хотя бы объяснить разнообразие возможных реакций на использование антибиотиков? Слишком сложно устроен человеческий организм, и здесь математик не может, не должен и не собирается конкурировать с врачом, а может лишь надеяться быть ему полезным. Что же касается объяснения разнообразия реакций организма, то здесь математика может сказать свое слово.

Воспользовавшись уроками В. Вольтерра, А. М. Молчанов рассмотрел взаимодействие двух популяций в организме человека: популяции болезнетворных микроорганизмов – носителей инфекции – и популяции иммунных клеток, обезвреживаю­щих микроорганизмы. Механизмы размножения, гибели и взаимодействия клеток, описываемые моделью А. М. Молчанова, разумеется, были другими, чем в экологической модели В. Вольтерра. Здесь не место описывать их подробно, остановимся лишь на одном принципиальном отличии: встреча хищной и планктоноядной рыб гибельна для планктоноядной и «полезна» для хищной, а встреча мик­робной и иммунной клеток гибельна для них обеих.

Если в модели В. Вольтерра реализуется только один режим функциониро­вания сообщества, то модель А. М. Молча­нова много богаче. Она описывает довольно разнообразные режимы функционирования, реализующиеся в зависимости от конкретных особенностей микробной популяции и иммунной системы. Эти режимы могут быть интерпретированы как хроническое или острое течение болезни, выздоровление, рецидив и т. п.

Поскольку, так же, как и в случае модели В.Вольтерра, мы имеем дело с двумя популяциями, течение процесса удобно изображать в виде траекторий на координатной плоскости, откладывая на оси абсцисс численность микробной популяции, а по оси ординат – численность иммунных клеток в условных единицах.

Популяция иммунных клеток не может полностью истребить микробную, но в состоянии не давать ей размножаться, поддерживая на некотором стационарном уровне. Тем более что при малых отклонениях от состояния равновесия оно восстанавливается. Но если отклонения велики, то популяция микроорганизмов выходит из-под контроля. Сильное нарушение состояния равновесия может произойти при следующих обстоятельствах.

Предположим, что посредством применения большой дозы антибиотиков мы значительно уменьшаем популяцию микробов, не влияя непосредственно на популяцию иммунных клеток, а затем предоставляем систему самой себе. Дальнейший ход событий изображен на рисун­ке пунктиром. Предсказываемаямоделоследовательность событий допускает естественную интерпретацию. Искусственное снижение численности микробной популяции «притупляет бдительность» иммунной системы (иммунные клетки вырабатываются лишь в качестве реакции организма на чужеродное начало), и численность иммунных клеток снижается. Тем временем микробные клетки, оставшиеся в организме размножаются. Иммунная система включается, но уже поздно. Возможности ее по продуцированию иммунных тел не беспредельны, и микробная популяция ускользает из-под контроля иммунной системы.

Заметим, что в рамках заложенных в модель предпосылок микробная популяция размножается неограниченно. Это свидетельствует не о непригодности модели, а об ограниченной области ее применимости: в модели не предусмотрены другие защитные возможности организма, а также возможность его гибели. Выше уже говорилось, что самая счастливая судьба для модели – это стать основой дальнейшего плодотворного сотрудничества математиков и биологов. Работы в области математической иммунологии у нас в стране активно развиваются.

Все сказанное выше относится в действительности лишь к одному из двух основных направлений в математическом моделировании. Целью этого направления является исследование фундаментальных особенностей функционирования биологических объектов. Именно с этим связа­на необходимость максимальной идеализации, о которой говорилось вначале, и пренебрежения конкретными фактами.

Однако на практике нас интересуют особенности поведения конкретных биологических объектов. В первую очередь это относится к экологическим системам. Насущно необходимо уметь предсказывать, например, реакцию конкретных озер (Байкала, Аральскогоморя) на вполне определенные воздействия. Такое направление в моделировании и называется портретным, или имитационным. Мера сложности портретных моделей может быть очень велика.

К классу имитационных моделей относится модель последствий термоядерной войны для биосферы в целом, разрабатывавшаяся российскими и американскими учеными. Как известно, эта модель предсказывает катастрофическое для всего живого глобальное похолодание вследствие задымления атмосферы.

Расчеты на имитационных моделях требуют мощной вычислительной техники. В последнее время в связи с развитием ЭВМ, в первую очередь персональных компьютеров и средств диалога человек – ЭВМ, имитационное моделирование превращается в очень специфиче­скую область научной деятельности, про­межуточную между теоретической и экспериментальной. Фактически имитационная модель в современном смысле слова в идеале представляет собой объект, позволяющий заменить натурный экспери­мент экспериментом вычислительным. Встает естественный вопрос, насколько можно доверять результатам такого вычислительного эксперимента. Ведь данные, закладываемые в модель, всегда не вполне точны, а в процессе вычислений ошибки накапливаются.

Список литературы:

1. Гелясин А.Е., Гелясина Е.В. Математическое моделирование периодических процессов в школьных курсах химии, физики, биологии. Школьные технологии. 2018. № 5. С. 26-32.

2. Козлов В.Н. Алгоритм формирования системы взаимосвязанных образов. Интеллектуальные системы. Теория и приложения. 2014. № 2. С. 99-114.

3. Оказова З.П. Использование биологических задач исследовательского характера в преподавании биологии в высших учебных заведениях. Азимут научных исследований: педагогика и психология. 2018. № 3. С. 180-182.

4. Титова Е.И. Математическое моделирование в биологии. Молодой ученый. 2014. № 8. С. 12-14.

 

 

УДК 37.034:373.2.

 

Панова Любовь Витальевна,