Применение законов сохранения к упругому и неупругому взаимодействиям.

Классическим примером применения законов сохранения импульса и энергии является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Абсолютно упругий удар - столкновение двух тел, в результате которого вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию (типичный пример - удар двух биллиардных шаров или двух атомов). Абсолютно неупругий удар - столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое (типичный пример - удар двух шаров из пластилина).

Пусть имеется два шара с массами m₁ и m₂, скорости которых до удара были V₁ и V₂, а после удара v₁ и v₂.

Для абсолютно упругого центрального удара законы сохранения импульса и энергии имеют вид

m₁V₁ +m₂V₂ = m₁v₁ + m₂v₂, m₁V₁²/2 + m₂V₂²/2 = m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2,

Для абсолютно неупругого центрального удара двух шаров закон сохранения импульса запишется

m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)v, откуда v = (m₁v₁ + m₂v₂)/ (m₁ + m₂),

 

 

30. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Инварианты преобразования. Закон сложения скоростей в классической механике.

Принцип относительности — фундаментальный физический принцип, согласно которому все физические процессы в инерциальных системах отсчёта протекают одинаково, независимо от того, неподвижна ли система или она находится в состоянии равномерного и прямолинейного движения.

Отсюда следует, что все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта.

 

Будем производить разные механические опыты в вагоне поезда, идущего равномерно по прямолинейному участку пути, а затем повторим те же опыты на стоянке или просто на земной поверхности. Будем считать, что поезд идет совершенно без толчков и что окна в поезде завешены, так что не видно, идет поезд или стоит. Пусть, например, пассажир ударит по мячу, лежащему на полу вагона, и измерит скорость, которую мяч приобретет относительно вагона, а человек, стоящий на Земле, ударит таким же образом по мячу, лежащему на Земле, и измерит скорость, полученную мячом относительно Земли. Оказывается, мячи приобретут одинаковую скорость, каждый относительно «своей» системы отсчета. Точно так же яблоко упадет с полки вагона по тому же закону относительно вагона, по которому оно падает с ветки дерева на Землю. Производя различные механические опыты в вагоне, мы не смогли бы выяснить, движется вагон относительно Земли или стоит.

 

Все подобные опыты и наблюдения показывают, что относительно всех инерциальных систем отсчета тела получают одинаковые ускорения при одинаковых действиях на них других тел: все инерциальные системы совершенно равноправны относительно причин ускорений. Это положение было впервые установлено Галилеем и называется по его имени принципом относительности Галилея.

 

Преобразования Галилея. Рассмотрим две системы отсчета движущиеся друг относительно друга и с постоянной скоростью v0.Одну из этих систем обозначим буквой K. Будем считать неподвижной. Тогда вторая система K¢ будет двигаться прямолинейно и равномерно. Выберем координатные оси x,y,z системы K и x',y',z' системы K' так что оси x и x' совпадали, а оси y и y', z и z', были параллельны друг другу. Найдем связь между координатами x,y,z некоторой точки P в системе K и координатами x',y',z' той же точки в системе K'. Если начать отсчёт времени с того момента, когда начало координат системы, совпадали, то x=x'+v0, кроме того, очевидно, что y=y', z=z'. Добавим к этим соотношениям принятое в классической механике предположение, что время в обеих системах течёт одинаковым образом, то есть t=t'. Получим совокупность четырёх уравнений: x=x'+v0t;y=y';z=z';t=t', названных преобразованиями Галилея. Механический принцип относительности. Положение о том, что все механические явления в различных инерциальных системах отсчёта протекают одинаковым образом, вследствие чего никакими механическими опытами невозможно установить, покоится ли система или движется равномерно и прямолинейно носит названия принцип относительности Галилея.

Инварианты преобразований

Пусть ИСО движется в положительном направлении вдоль оси OX с постоянной скоростью V относительно условно неподвижной СО (см. рис. 2.7). Как видно из этого рисунка, для любого момента времени можно записать выражение, связывающее радиус-вектор частицы r' в подвижной и неподвижной СО:

r' = r - r0' = r - V·t. (2.20)

Спроецировав это уравнение на оси координат и учитывая возможность проведения синхронизации часов в подвижной и неподвижной СО методом светового сигнала, получим прямые и обратные преобразования Галилея:

x' = x - V·t; y' = y; z' = z; t' = t;

x = x' + V·t; y' = y; z' = z; t' = t. (2.21)

Следствия из преобразований Галилея:           одновременность - инвариант преобразований (события, одновременные в одной ИСО, одновременны в любой другой ИСО);

временной и пространственный интервалы Dt, Dr - инварианты преобразований;

скорости при переходе от одной инерциальной системы к другой изменяются в соответствии с уравнением:

u' = u - V. (2.22)

 

Последнее равенство легко получается, исходя из определения мгновенной скорости:

u' = dr'/dt' = d(r - V·t)/dt = dr/dt - V = u - V.

Из однородности времени, однородности и изотропности пространства, а также инвариантности относительно преобразований Галилея вытекают обобщения повседневного опыта и удается выявить характеристики пространственно-временных отношений, независящие от выбора неподвижных и медленно движущихся ИСО.

События, одновременные в одной системе, одновременны и в другой, т. е. утверждение об одновременности двух двух событий имеет абсолютный характер, независимый от системы координат.

Длинна — инвариант преобразований Галлилея. Длинной движущегося стержня наз. расстояние между координатами его концов в некоторый момент времени. Следуя из этого инвариантность длинны легко доказывается.

Интервал времени явл. инвариантом преобразований Галлилея (Dt=t2—t1=t’2—t’1=Dt’)

Сложение скоростей получается из дифференциирования формул преобразования Галлилея.

Ускорение инвариантно относительно преобразований Галлилея. Это утверждение доказывается дифференциированием преобразований скорости и учитывая, что Dt=Dt’.

Если скорость одного тела относительно системы отсчета есть и, а скорость другого тела относительно первого v, то по отношению к системе отсчета второе тело движется со скоростью w, причем

w = u + v (1)

Эта формула носит название классического закона сложения скоростей.

 

32. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца для координат и времени.

В основе специальной теории относительности лежат два принципа или постулата, сформулированные Эйнштейном в 1905 г.

Принцип относительности: все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это означает, что во всех инерциальных системах физические законы (не только механические) имеют одинаковую форму. Таким образом, принцип относительности классической механики обобщается на все процессы природы, в том числе и на электромагнитные. Этот обобщенный принцип называют принципом относительности Эйнштейна.

Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в СТО занимает особое положение. Это предельная скорость передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую.

Преобразования Лоренца определяют координаты и время в движущейся системе координат относительно неподвижной системы следующим образом:

 

 

x’ = (x – ut) / F,                                     [1]

 

 t’ = (t – ux / C2) / F,                               [2]

 

 

где F = SqRt(1 – u2 / C2) коэффициент изменения длины предложенный Фитцджеральдом. t, u, и x измерены в неподвижной системе координат. t’ и x’ измерены в движущейся (относительно неподвижной?!) системе координат. C – скорость света, константа одинаковая в обоих системах и примерно равная 3 х 108 m/sec.

 

Общепринято акцентировать внимание, что в преобразования координат Лоренца входит координата время и это является принципиальным отличием от преобразований Галилея, которые использовались в период предшествовавший Теории Относительности (ТО).

x’ = x – ut,                                            [3]

t’ = t,                                                     [4]

Отметим, что и в преобразования Лоренца для интервалов время не входит, и они отличаются от преобразований Галилея только коэффициентом Фитцджеральда. Что касается четырехмерной системы координат Минковского, то она необходима и при анализе явлений в трехмерном геометрическом пространстве. При конечности скорости света она примет форму конуса.

Преобразование координаты [1] отличается от преобразования Галилея [3] только коэффициентом F, но в него время и координата не входят. Из преобразования [2] вытекает преобразование Галилея [4] если принять скорость света равной бесконечности, что равносильно отказу от законов сохранения массы и энергии. Однако до формулировки и признания законов сохранения преобразования Галилея не противоречили здравому смыслу. Удивительно, что они не подверглись критике после работ Лавуазье, а только после опытов Майкельсона.

Допустим, что начала координатных систем X и X’ совпадали в момент t = 0 и часы в это время были синхронизированы. Это значит, что во всех точках показания часов совпадают (без учета коэффициента Фитцджеральда). Если система X’ движется со скоростью света, то в момент t ближайшей к точке x будет точка x’, вычисленная по формуле x’ = x - ut и в ней часы будут показывать время, соответствующее времени системы X, которое показывают часы в начале координат, то есть меньше на x/C. Если X’ движется с меньшей скоростью u, то это будут часы, находящиеся ближе в u/C раз. В итоге преобразования Галилея с учетом конечности и постоянства скорости света принимают следующий вид:

x’ = x – ut,                                            [5]

t’ = t – ux / C2,                                      [6]

Учет гипотезы Фитцджеральда о сокращении длины в направлении движения приводит их к виду [1] и [2]. Теория Относительности ввела гипотезу о том, что это сокращение субъективно. То есть зависит от наблюдателя, который считает себя неподвижным. Вернее, что все движется относительно него. Ведь в физике ничего неподвижного нет... за исключением неподвижных звезд.

Следует подчеркнуть, что полученные выше преобразования выглядят как преобразования Лоренца. Однако предполагается, что в системах не разная скорость течения времени, а рядом находятся часы, показывающие разное время и эта разность в показаниях зависит от координат и скорости относительного движения. В книге «Теория поля» Ландау и Лифшиц на странице 23 читаем «... Всегда (И.К.) окажутся отстающими те часы, которые сравниваются с разными часами в другой системе отсчета». А если ракета летит вправо, встречает ракету, летящую влево, и обменивается с ней временем? - Все будет наоборот. 

Примем, что начала координат трех систем совпадают в момент t = 0, оси X1, X2 и X3 совпадают. Система X1 неподвижна, система X2 движется вправо со скоростью u относительно X1, система X3 движется влево с той же скоростью u относительно X2, то есть она неподвижна относительно X1.

Согласно ТО наблюдатель в системе X1 видит отстающие часы в системе X2 идущие со скоростью t2 = t1 / F. Обсуждение парадокса близнецов свидетельствует' что это замедление времени не кажущееся. В системе X2, наблюдатель, который не знает о существовании системы X1, видит часы системы X3 идущие медленнее, чем его часы. Из этого следует, что часы в системе координат X3 тем более отстают от часов в системе X1. Однако наблюдатель в системе X1 смотрит на неподвижные часы в неподвижной системе X3.

 

 

34. Релятивистский импульс. Уравнение движения релятивистской частицы. Инвариантность уравнения движения относительно преобразований Лоренца.

Для того, чтобы закон сохранения импульса выполнялся во всех инерциальных системах отсчета, оказалось необходимым изменить определение импульса тела. Вместо классического импульса   в СТО релятивистский импульс тела с массой m, движущегося со скоростью   записывается в виде

Если принять такое определение, то закон сохранения суммарного импульса взаимодействующих частиц (например, при соударениях) будет выполняться во всех инерциальных системах, связанных преобразованиями Лоренца. При β → 0 релятивистский импульс переходит в классический. Масса m, входящая в выражение для импульса, есть фундаментальная характеристика частицы, не зависящая от выбора инерциальной системы отсчета, а, следовательно, и от скорости ее движения.

 

Релятивистское уравнение движения.

 Опыты, обсуждаемые до сих пор, относились к медленным движениям макроскопических тел. В опытах с быстро двигающимися телами наблюдаются существенные отклонения от закономерностей, изложенных в предыдущих параграфах. Например, отношение, которое в ньютоновской механике является постоянной величиной, в опытах с быстро двигающимися телами ведет себя довольно странно. Оно экспериментально исследовалось в ускорителях заряженных частиц, в которых с помощью переменных электрических и магнитных полей зарядам сообщаются очень большие скорости. Экспериментальные исследования тангенциальных и нормальных ускорений заряда и зависимости электрических и магнитных сил по соответствующим направлениям, проведенные в циклотронах, дали следующие результаты:

 

 

 

                                 (2.16) 

 

   

 

Здесь v – скорость частицы, а m – ньютоновская масса. В случае малых скоростей эти соотношения дают обычный результат.

 

 

 

рис.2.6

Кривые на рис. 2.6, представляют зависимости (2.16). Они показывают, что при больших скоростях инертные свойства частицы в направлении движения отличаются от инертных свойств в направлении, перпендикулярном по отношению к движению. Соответствующие инертные свойства характеризуются продольной и поперечной массами частицы.

 

Проведя в данной точке траектории единичные векторы и (см. рис. 1.9), учитывая формулы тангенциального и нормального ускорений (1.25) и (1.26), мы можем написать для полной силы, действующей на частицу, используя (2.16)

 (2.17)

 

 

 

где R - радиус кривизны траектории. Используя также соотношения

 

 

 

из лекции 1, представим (2.17) следующим образом

 

 

                                                                   (2.18)

 

Полученная формула является уравнением релятивистского движения, которое является обобщением второго закона Ньютона для движений с большими скоростями. Как и второй закон Ньютона (2.18) нужно рассматривать как результат обобщения экспериментальных данных. В случае малых скоростей (2.18) переходит в известный закон Ньютона.

 

Лоренц-инвариантность Максвелла уравнений

 

 Все экспериментально регистрируемые эл--динамич. явления удовлетворяют относительности принципу.Вид M. у. сохраняется при линейных преобразованиях, оставляющих неизменным интервал   и составляющих 10-мерную Пуанкаре группу: 4 трансляции , 3 пространственных (орто-) поворота  и 3 пространственно-временных (орто-хроно-) поворота, иногда называемых ло-ренцевыми вращениями. Последние соответствуют перемещениям системы отсчёта вдоль осей xa с пост, скоростями В частности, для  получается простейшая разновидность Лоренца преобразований:

 , где  Соответственно поля преобразуются по правилам:

 

 

 Релятивистски-ковариантная запись M. у. позволяет легко находить инвариантные комбинации полей, токов и потенциалов (4-скаляров или инвариантов Лоренца группы), сохраняющихся, в частности, при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Во-первых, это чисто полевые инварианты (см. Инварианты электромагнитного поля).Во-вторых, это токовые (источниковые) инварианты:

 

 

 В-третьих, это потенциальные инварианты:

 

 

где - магн. потенциалы (получающиеся из Ае и  преобразованием перестановочной двойственности), источниками к-рых являются магн. токи jm и заряды. И, наконец, многочисл. коыбиниров. инварианты типа и им подобные. Число таких комбиниров. инвариантов (квадратичных, кубичных и т. д.) по полям н источникам неограниченно.