Ортогональное проецирование. Свойства ортогонального проецирования

Ортогональное (прямоугольное) проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования перпендикулярно к плоскости проекций (s^П₁). В этом случае проекции геометрических фигур называются ортогональными.

Ортогональному проецированию присущи все свойства параллельного проецирования, а также свойства, присущие только ортогональному проецированию.

Первое свойство. В общем случае ортогональная проекция отрезка всегда меньше его натуральной длины.

Если провести А*В || А₁В₁, то ÐАА*В = 90°. Из прямоугольного треугольника следует, что АВ - гипотенуза, А*В - катет, а гипотенуза всегда больше катета (А*В = АВ ´ Соs a),

Рис. 1-11

Рассмотрим частные случаи:

Если a = 0 Þ |А₁В₁ | = |АВ |, т.е. проекция равна самому отрезку.

Если a =90 ° Þ А₁ = В₁, т.е. проекция отрезка - точка.

Второе свойство: теорема о проецировании прямого угла

Если одна сторона прямого угла параллельна какой-нибудь плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна ей, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения.

Дано: ÐАВС = 90 °, ВС || П₁,

Доказательство:

плоскость Ф = АВ Ç ВВ₁

плоскость S = ВС Ç ВВ₁

ВС ^ Ф, т.к. ВС ^ АВ и ВС ^ ВВ₁, но В₁С₁ || ВС Þ В₁С₁ ^ Ф Þ В₁С₁ ^ А₁В₁,

значит ÐА₁В₁С₁ - прямой

Рис. 1-12

Третье свойство: ортогональная проекция окружности в общем случае есть эллипс.

Рис. 1-13

Заключим окружность в плоскость S, S ^Ù П₁ = a, если 0 < a < 90°, то окружность (k) -эллипс (k₁)

АВ ^ СD - сопряженные диаметры, пусть АВ || П₁

А₁В₁ = АВ - большая ось эллипса

С₁D₁ = СD ´ cоs a - малая ось эллипса.

Все хорды окружности параллельные СD проецируются с коэффициентом сжатия cоs a и делятся осью А₁В₁ пополам, т.е. ортогональная проекция окружности, в общем случае, есть замкнутая центрально симметричная кривая второго порядка, имеющая две взаимно перпендикулярные оси.

Частные случаи:

1. Если S || П₁, то окружность (k) - проецируется без искажения.

2. Если S ^ П₁, т.е. Ð a = 90°, то окружность (k) - прямая линия, равная диаметру.

 

 

Метод Монжа

В машиностроительных чертежах используется метод прямоугольных проекций. Поэтому дальнейшее изучение курса будем вести, используя метод ортогонального проецирования.

Чтобы однозначно решить две основные задачи курса начертательной геометрии, чертежи должны удовлетворять следующим требованиям:

1. Простота и наглядность;

2. Обратимость чертежа.

Рассмотренные методы проецирования с использованием однокартинных чертежей позволяют решать прямую задачу (т.е. по данному оригиналу построить его проекцию). Однако, обратную задачу (т.е. по проекции воспроизвести оригинал) решить однозначно невозможно. Эта задача допускает бесчисленное множество решений, т.к. каждую точку А₁ плоскости проекций П₁ можно считать проекцией любой точки проецирующего луча l^А, проходящего через А₁. Таким образом, рассмотренные однокартинные чертежи не обладают свойством обратимости.

Для получения обратимых однокартинных чертежей их дополняют необходимыми данными. Существуют различные способы такого дополнения. Например, чертежи с числовыми отметками.

Способ заключается в том, что наряду с проекцией точки А₁ задаётся высота точки, т.е. её расстояние от плоскости проекций. Задают, также, масштаб. Такой способ используется в строительстве, архитектуре, геодезии и т. д. Однако, он не является универсальным для создания чертежей сложных пространственных форм.

Рис. 1-14

В 1798 году французский геометр-инженер Гаспар Монж обобщил накопленные к этому времени теоретические знания и опыт и впервые дал научное обоснование общего метода построения изображений, предложив рассматривать плоский чертёж, состоящий из двух проекций, как результат совмещения двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Отсюда ведёт начало принцип построения чертежей, которым мы пользуемся и поныне.

Поставим перед собой задачу построить проекции отрезка [AB] на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций П₁ и П₂.

 

Пространственная модель.

Рис. 1-15

П₁ ^ П₂. AA₁ ^ П₁; |AA₁| - расстояние от А до П₁.

AA₂ ^ П₂; |AA₂ | - расстояние от А до П₂.

П₁ - горизонтальная плоскость проекций;

П₂ - фронтальная плоскость проекций.

А₁В₁ - горизонтальная проекция отрезка;

А₂В₂ - фронтальная проекция отрезка.

х₁₂ - линия пересечения плоскостей проекций.

Однако, в таком виде чертёж неудобно читать. Поэтому Гаспар Монж предложил совместить эти плоскости проекций, причём, П принимается за плоскость чертежа, а П - поворачивается до совмещения с П₂. Такой чертёж называется комплексным чертежом.

 

Плоская модель.

Рассмотрим совмещение плоскостей проекций со всем их содержимым на плоском чертеже. Совокупность проекций множества точек пространства на П₁ называется горизонтальным полем проекций, а на П₂ - фронтальным полем проекций.

х₁₂ - ось проекций, база отсчёта.

Рис. 1-16

А₁А₂, В₁В₂ Þ линия связи - это прямая, соединяющая две проекции точки на комплексном чертеже. Линия связи перпендикулярна оси проекций.

 

Свойства двухкартинного комплексного чертежа Монжа:

1. Две проекции точки всегда лежат на одной линии связи установленного направления.

2. Все линии связи одного установленного направления параллельны между собой.

 

Безосный чертёж.

Если совмещённые плоскости П₁ и П₂ перемещать параллельно самим себе на произвольные расстояния (см. положение осей х₁₂, х₁₂¹, х₁₂¹¹ на рис. 1-17), то будут меняться расстояния от фигуры до плоскостей проекций.

Рис. 1-17

Однако, сами проекции фигуры (в данном случае - отрезка АВ) при параллельном перемещении плоскостей проекций не меняются (согласно 7 свойству параллельного проецирования).

Из рис. 1-17 видно. что при любом положении оси х, величины D Z - разность расстояний от концов отрезка до П₁, и Dy -разность расстояний от концов отрезка до П₂, остаются неизменными. Поэтому нет необходимости указывать положение оси х₁₂ на комплексном чертеже и тем самым предопределять положение плоскостей проекций П₁ и П₂ в пространстве.

Это обстоятельство имеет место в чертежах, применяющихся в технике, и такой чертёж называется безосным.

Проиллюстрируем вышесказанное на конкретном примере.

Задача: Составить чертёж для изготовления стола (рис. 1-18).

1.Построить три проекции стола, учитывая свойства эпюра Монжа.

2. Что не хватает для выполнения по чертежу данного изделия?

3. Да, конечно, размеров.

Рис. 1-18а

Теперь, когда есть три изображения изделия и его размеры, имеют ли значение для изготовления изделия расстояния от изделия до плоскостей проекций, т. е. привязка к осям x, y и z (размеры 1500, 2000, 2000 на чертеже).

Нет не имеют!

По данному чертежу изделие создается, а на каком расстоянии его установить от стен (П₂,П₃) - это уже другая задача.

Рис. 1-18б

Безосный чертеж позволяет, не привязываясь к осям, располагать изображения в удобном для исполнителя положении, но с соблюдением проекционной связи, т.е. построение чертежа происходит по законам, установленным Гаспаром Монжем

Рис. 1-18в