Методы проецирования. Основные свойства проецирования. Комплексный чертеж точки, прямой линии, кривой линии

 

В этом разделе Вы познакомитесь с понятием несобственных элементов (точек, прямых, плоскостей), которые упрощают решение многих задач

 

Тень от треугольника может иметь форму треугольника или полосы (Рис. 1-1 и 1-2)

Рис. 1-1

Тень от треугольника имеет форму треугольника

Рис. 1-2

Тень от треугольника имеет форму полосы

Как Вы думаете?

Какие еще формы может принимать тень от треугольника?

 

В курсе элементарной геометрии изучается трехмерное пространство, названное евклидовым по имени греческого ученого Евклида, описавшего его основные своиства и закономерности. Однако положений евклидовой геометрии недостаточно для выполнения некоторых операций проецирования.

Развитие науки привело к расширению понятия пространства, так как вселенная представляется теперь состоящей из искривленных пространств. Это позволило дополнить привычное для нас евклидово пространство новыми элементами - бесконечно удаленной точкой, прямой, плоскостью. Для того, чтобы получить соответствующие элементы в тех случаях, когда их не оказывается при выполнении операции проецирования, достаточно потребовать, чтобы две параллельные прямые считались пересекающимися, при этом точку их пересечения называют несобственной точкой или бесконечно удаленной. Это понятие было введено в 1636 году французским математиком Жаном Дезаргом, графические доказательства [Фролов, стр. 14].

Будем считать, что:

1) две параллельные прямые пересекаются в единственной несобственной точке

m || n «m Ç n = М ¥

2) две параллельные плоскости пересекаются по единственной несобственной прямой:

S || Г «S Ç Г = а ¥

Рис. 1-3

Рис. 1-4

Вывод.

Несобственные элементы позволяют создать более строгую теорию метода проецирования.

 

Методы проецирования

В этом разделе Вы освоите основной метод начертательной геометрии - проецирование. Рассмотрите центральное проецирование; параллельное проецирование; ортогональное проецирование.

Основной метод начертательной геометрии - метод проецирования

Различают:

1. центральное проецирование

2. параллельное проецирование

3. ортогональное проецирование

 

Аппарат проецирования

Рис. 1-5

П₁ -плоскость проекций (картинная плоскость)

S - центр проецирования

А - точка в пространстве

А₁ - проекция точки

l_A - проецирующий луч

Спецификой курса начертательной геометрии является то, что изучение ведется на абстрактных геометрических фигурах: точка, линия, плоскость, поверхность. Мы будем изучать принципы построения изображений этих фигур на плоскости.

Прежде всего дадим определение простейшим геометрическим фигурам: точке и линии.

Точка - это нульмерная геометрическая фигура, неделимый элемент пространства, т.е. она не может быть определена другими более элементарными понятиями.

Обозначается - А,В,С...- прописными буквами латинского алфавита. или цифрами. Точка не имеет размеров, то что мы показываем на чертеже точку в виде какой - то площади, пересечением двух линий или кружочком, является лишь ее условным изображением.

Линия - одномерная геометрическая фигура, обозначается строчными буквами латинского алфавита - а,в,с...В начертательной геометрии линия определяется кинематически, как траектория непрерывно движущейся точки в пространстве, а рассматриваются следующие линии:

1. Прямая

2. Отрезок

3. Ломаная - состоящая из отрезков

4. Кривая

Центральное проецирование

Проецирование, когда проецирующий луч проходит через фиксированную точку S, называется центральным. На рис. 1-6 показано построение центральных проекций некоторых точек и прямой.

Рис. 1-6

П₁ -плоскость проекций (картинная плоскость)

S - центр проецирования

В, С, D - точки в пространстве

С₁, В₁, D₁ - проекции точек

l_B, l_C, l_D - проецирующие лучи

S - плоскость, проведенная через центр проецирования S и прямую а.

АМ - прямая в пространстве

А₁М₁ - проекция прямой (или отрезка)

Через точку S (центр проецирования) и точку В проведем проецирующий луч l_В, отметим точку пересечения проецирующего луча с картинной плоскостью: S Î l_В, B Î l_В, l_В Ç П₁ = В₁, на чертеже видно, что каждой точке пространства соответствует единственная проекция на плоскости.

Аналогично точке В можно построить проекцию любой точки пространства, например точки С

С₁ = l_С Ç П₁, если С Î П₁, то С = С₁.

Если l_D || П₁, то проекцией точки D Þ D₁ служит несобственная точка плоскости П₁.

По принципу центрального проецирования работают фото - и кинокамеры. Упрощенная схема работы человеческого глаза близка к этому виду проецирования. Изображения, построенные по принципу центрального проецирования, наиболее наглядны и их широко используют в своей работе архитекторы, дизайнеры, геологи и др.

Описанным методом центрального проецирования может быть построена проекция любой точки геометрической фигуры, а, следовательно, и проекция самой фигуры. Например, центральную проекцию отрезка АМ на плоскость П₁ можно построить как линию пересечения плоскости S, проведенной через центр S и прямую АВ, с плоскостью проекций. Так как две плоскости пересекаются по единственной прямой, то проекция прямой есть прямая, и притом, единственная, т. е. S É S, АМ; S Ç П₁ Þ А₁М₁.

 

Параллельное проецирование

Проецирование называется параллельным, если центр проецирования удален в бесконечность, а все проецирующие лучи параллельны заданному направлению s.

s - направление проецирования

Чтобы найти точку А₁ - параллельную проекцию точки А, построенную по направлению s на плоскости проекций П₁, нужно через точку А провести проецирующий луч l_A, параллельный прямой s, и определить точку его пересечения с плоскостью П₁:

l_A É A, l_A || s, l_A Ç П₁ = А₁

Точка А₁ является параллельной проекцией как для точки А, так и для точек А¹ и А²

Рис. 1-7