Задачи на построение с помощью циркуля и линейки

1. Постройте треугольник по трем сторонам.

2. Постройте угол, равный данному.

3. Постройте треугольник по двум сторонам и углу между ними.

4. Постройте треугольник по стороне и двум прилежащим к ней

углам.

5. Разделите отрезок пополам.

6. Через данную точку проведите прямую, перпендикулярную

данной.

7. Через данную точку проведите прямую, параллельную данной.

8. Постройте биссектрису данного угла.

9. Постройте сумму (разность) двух данных отрезков.

10. Разделите отрезок на n равных частей.

11. Постройте окружность, описанную около данного треугольника.

12. Даны отрезки a, b и c. Постройте такой отрезок x, что x: a=b: c.

13. Постройте прямоугольный треугольник по двум катетам.

14. Постройте прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе.

15. Даны отрезки a и b. Постройте отрезки

16. Постройте треугольник по серединам трех его сторон.

17. Постройте дугу, вмещающую данный угол.

18. Постройте окружность с данным центром, проходящую через данную точку.

19. Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.

20. Через данную точку проведите касательную к данной окружности.

21. Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.

22. Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.

23. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей.

Координаты и векторы в пространстве

77. Координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала данного вектора.

78. Для того, чтобы векторы  и  были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство  = k , где k — некоторое число.

79. Для того, чтобы три вектора были компланарны, необходимо

и достаточно, чтобы один из них можно было представить в виде линейной комбинации двух других (  = x  + y  , где x, y — некоторые числа).

80. Любой вектор можно единственным образом разложить по трем некомпланарным векторам.

81. Если M — середина AB, то  = .

82. Если M — середина AB, а N — середина CD, то  =

83. Если M — точка пересечения медиан треугольника ABC, то  = .

84. Если M — точка пересечения диагоналей параллелограмма то  = .

85. Координаты середины отрезка равны средним арифметическим координат его концов.

Свойства скалярного произведения векторов.

87. Расстояние между точками A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂) равно

.

Движения.

88. Отображение плоскости на себя – правило, по которому каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причём любая плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке.

89. Осевая и центральная симметрии являются отображениями плоскости на себя.

90. Движение – отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками.

91. Осевая и центральная симметрии являются движениями.

92. При движении отрезок отображается на отрезок.

93. При движении треугольник отображается на отрезок.

94. * Любое движение является наложением.
Следствие. При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.