Свойства и признаки прямоугольника.

1) Диагонали прямоугольника равны.

2) Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

21. Ромб. Ромбом называется четырехугольник, все стороны которого равны.

Свойства и признаки ромба.

1) Диагонали ромба перпендикулярны.

2) Диагонали ромба делят его углы пополам.

3) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.

4) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.

22. Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.

23. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой — две параллельные прямые.

24. Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие второю сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные отрезки.
Обобщенная теорема Фалеса. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

25. Средняя линия треугольника. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника.

Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.

26. Свойство середин сторон четырехугольника. Середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

27. Теорема о медианах треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2: 1, считая от вершины.

28. а) Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

б) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

29. Трапеция. Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противоположные стороны (основания) параллельны. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).

Теорема о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

30. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

31. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции.

1) Углы при основании равнобедренной трапеции равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.

4) Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

5) Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали — полусумме оснований.

32. Окружность. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, удаленных от данной точки, называемой центром окружности, на одно и то же положительное расстояние.

Свойства окружности.

1) Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

2) Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

3) Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

4) Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

5) Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.

6) Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.

7) Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.

8) Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.

9) Диаметр есть наибольшая хорда окружности.

33. Замечательное свойство окружности. Геометрическое место точек M, из которых отрезок AB виден под прямым углом (∠AMB = 90º), есть окружность с диаметром AB без точек A и B.

34. Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

35. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.

36. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.

37. Теорема о высотах треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

38. Касательная к окружности. Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.

1) Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2) Если прямая l, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то прямая l — касательная к окружности.

3) Если прямые, проходящие через точку M, касаются окружности в точках A и B, то MA = MB.

4) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

5) Теорема о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

39. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c, равен (a+b −c)/2.

40. Если M — точка касания со стороной AC окружности, вписанной в треугольник ABC, то AM = p −BC, где p — полупериметр треугольника.

41. Окружность касается стороны BC треугольника ABC и продолжений сторон AB и AC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности с прямой AB равно полупериметру треугольника ABC.

42. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC соответственно в точках K, L и M. Если ∠BAC =, то ∠KLM =90º − /2.

43. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы

его противоположных сторон равны.

44. Касающиеся окружности. Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точка касания).

1) Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров.

2) Окружности радиусов r и R с центрами O₁ и O₂ касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R + r =O₁O₂.

3) Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами O₁ и O₂ касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R −r =O₁O₂.

4) Окружности с центрами O₁ и O₂ касаются внешним образом в точке K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K, в точке C. Тогда ∠AKB =90º и ∠O₁CO₂ =90º.