Признаки равенства треугольников.

Признаки равенства треугольников.

1) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.

2) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.

3) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны.

Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника.

1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

2) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

3) Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.

4) Если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

5) Если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный.

6) Если медиана треугольника является его биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

3. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть прямая, перпендикулярна этому отрезку и проходящая через его середину (серединный перпендикуляр к отрезку).

4. Признаки и свойства параллельных прямых.

1) Аксиома параллельных. Через данную точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

2) Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные внутренние накрест лежащие углы, то прямые параллельны.

3) Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.

4) Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, парал-

5) лельны.

6) Если две параллельные прямые пересечь третьей, то образованные при этом внутренние накрест лежащие углы равны.

5. Теорема о сумме углов треугольника и следствия из нее.

1) Сумма внутренних углов треугольника равна 180⁰.

2) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.

3) Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180⁰(n−2).

4) Сумма внешних углов n-угольника равна 360⁰.

5) Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они

оба острые или оба тупые.

6. Если биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются

в точке M, то ∠BMC =90º + ∠A/2.

7. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90º.

8. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных

прямых и секущей перпендикулярны.

9. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

1) По двум катетам.

2) По катету и гипотенузе.

3) По гипотенузе и острому углу.

4) По катету и острому углу.

10. Геометрическое место внутренних точек угла, равноудаленных от его сторон, есть биссектриса угла.

11. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30º, равен половине гипотенузы.

12. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30º.

13. Неравенство треугольника. Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны.

14. Следствие из неравенства треугольника. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало первого звена с концом последнего.

15. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

16. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

17. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.

18. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и наклонные, то

1) перпендикуляр короче наклонных;

2) большей наклонной соответствует большая проекция и наоборот.

19. Параллелограмм. Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойства и признаки ромба.

1) Диагонали ромба перпендикулярны.

2) Диагонали ромба делят его углы пополам.

3) Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.

4) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.

22. Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.

23. Геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой — две параллельные прямые.

24. Теорема Фалеса. Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие второю сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные отрезки.
Обобщенная теорема Фалеса. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

25. Средняя линия треугольника. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника.

Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.

26. Свойство середин сторон четырехугольника. Середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

27. Теорема о медианах треугольника. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2: 1, считая от вершины.

28. а) Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

б) Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

29. Трапеция. Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противоположные стороны (основания) параллельны. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).

Теорема о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

30. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

31. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Свойства окружности.

1) Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

2) Диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

3) Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

4) Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

5) Хорды окружности, удаленные от центра на равные расстояния, равны.

6) Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.

7) Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.

8) Из двух хорд больше та, которая менее удалена от центра.

9) Диаметр есть наибольшая хорда окружности.

33. Замечательное свойство окружности. Геометрическое место точек M, из которых отрезок AB виден под прямым углом (∠AMB = 90º), есть окружность с диаметром AB без точек A и B.

34. Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

35. Линия центров двух пересекающихся окружностей перпендикулярна их общей хорде.

36. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.

37. Теорема о высотах треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

38. Касательная к окружности. Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности.

1) Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2) Если прямая l, проходящая через точку на окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку, то прямая l — касательная к окружности.

3) Если прямые, проходящие через точку M, касаются окружности в точках A и B, то MA = MB.

4) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

5) Теорема о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

39. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c, равен (a+b −c)/2.

40. Если M — точка касания со стороной AC окружности, вписанной в треугольник ABC, то AM = p −BC, где p — полупериметр треугольника.

41. Окружность касается стороны BC треугольника ABC и продолжений сторон AB и AC. Тогда расстояние от вершины A до точки касания окружности с прямой AB равно полупериметру треугольника ABC.

42. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC соответственно в точках K, L и M. Если ∠BAC =, то ∠KLM =90º − /2.

43. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы

его противоположных сторон равны.

44. Касающиеся окружности. Говорят, что две окружности касаются, если они имеют единственную общую точку (точка касания).

1) Точка касания двух окружностей лежит на их линии центров.

2) Окружности радиусов r и R с центрами O₁ и O₂ касаются внешним образом тогда и только тогда, когда R + r =O₁O₂.

3) Окружности радиусов r и R (r < R) с центрами O₁ и O₂ касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда R −r =O₁O₂.

4) Окружности с центрами O₁ и O₂ касаются внешним образом в точке K. Некоторая прямая касается этих окружностей в различных точках A и B и пересекается с общей касательной, проходящей через точку K, в точке C. Тогда ∠AKB =90º и ∠O₁CO₂ =90º.

Движения.

88. Отображение плоскости на себя – правило, по которому каждой точке плоскости ставится в соответствие какая-то точка этой же плоскости, причём любая плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке.

89. Осевая и центральная симметрии являются отображениями плоскости на себя.

90. Движение – отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками.

91. Осевая и центральная симметрии являются движениями.

92. При движении отрезок отображается на отрезок.

93. При движении треугольник отображается на отрезок.

94. * Любое движение является наложением.
Следствие. При движении любая фигура отображается на равную ей фигуру.

Признаки равенства треугольников.

1) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.

2) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.

3) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны.