Общая характеристика измерений.

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

 

Измерение – это процесс нахождения какой-либо физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств и её сравнения с известной величиной, принятой за единицу (эталон). Теорией и практикой измерений занимается специальная наука – метрология.

Различают измерения по видам измеряемых величин (статические и динамические), способу нахождения величины (прямые, когда величину устанавливают непосредственно из опыта, и косвенные, когда интересующая величина определяется по функциональной зависимости от других величин, устанавливаемых прямыми измерениями). Различают также измерения по классам точности (особо точные, высокоточные, технические). Особо точные – это эталонные измерения с максимально возможной точностью, применяются, например, в экспериментальной физике. Высокоточные измерения имеют погрешность, не превышающую заданную точность, и используются для наиболее ответственных экспериментов и в качестве контрольно-поверочных измерений. Технические измерения используются наиболее широко при экспериментальных исследованиях, их погрешность определяется особенностями средств измерений. Кроме того, различают абсолютные и относительные измерения. Абсолютные – это прямые измерения в единицах измеряемой величины. Относительные – измерения посредством отношения измеряемой величины к одноименной величине, принимаемой для сравнения.

 

10.1. Средства измерений

 

Средства измерений – это совокупность технических средств, которые дают необходимую информацию при выполнении эксперимента и имеют нормированные метрологические свойства.

В зависимости от принципа работы средства измерений подразделяются на пневматические, механические, электрические и т.д. Измерительные средства делят на образцовые и технические. Образцовые средства являются эталонами и предназначены для поверки технических средств. Образцовые средства не обязательно должны быть точнее, они должны иметь большую стабильность и надежность.

К средствам измерений относят меры, измерительный инструмент, измерительные приборы, преобразователи и установки. Мерой называют средство измерения, предназначенное для воспроизведения физической величины заданного размера. Они могут быть однозначными и многозначными. Измерительным инструментом – называют обычно приспособления, предназначенные для измерения геометрических параметров. Измерительным прибором называют средство измерения, вырабатывающее сигналы информации в форме, удобной для восприятия экспериментатором. В приборах измеряемая величина преобразуется в показание или сигнал.

Приборы классифицируют по различным признакам. По способу отсчета значения измеряемой величины, их делят на показывающие и регистрирующие. Наибольшее распространение получили показывающие приборы, отчетные устройства которых состоят из шкалы и указателя. Однако они менее точны, чем цифровые приборы, которые фиксируют измеряемую величину в виде цифр. Регистрирующие приборы могут быть самопишущими и печатными. В первом случае измеряемая величина выдается в виде графика, а печатные приборы выдают информацию в виде цифр на специальной ленте. Кроме того, приборы классифицируют по точности измерений, стабильности показаний, чувствительности, пределам измерений и т.д.

Измерительный преобразователь – средство измерения, генерирующее сигнал в форме, удобной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки и хранения, но без непосредственного восприятия наблюдателем.

Совокупность функционально связанных приборов, преобразователей и других вспомогательных устройств, обеспечивающая выработку измерительной информации, удобной для наблюдения, называется измерительной установкой. Измерительные установки могут вырабатывать сигналы для автоматической обработки результатов измерений с помощью ЭВМ.

Выходной сигнал измерительных средств фиксируется отчетными устройствами, которые могут быть цифровыми, регистрирующими и шкальными. Число, отсчитываемое по отсчетному устройству при измерениях, называются отсчетом, а переход от отсчета к показаниям прибора осуществляется с помощью постоянной прибора, цены деления шкалы или градуированной кривой. Когда постоянная прибора равна единице измеряемой величины, показания прибора и отсчет численно совпадают.

Шкала является важной частью отсчетного устройства и представляет собой совокупность отметок, соответствующих ряду последовательных значений величин. Шкалы могут быть равномерными и неравномерными. Равномерные шкалы имеют постоянные интервалы и постоянную цену деления, неравномерные шкалы имеют неодинаковые интервалы, а иногда и непостоянную цену деления. Цена деления – это разность значений измеряемой величины, соответствующих двум соседним отметкам. Разность между значениями измеряемой величины, соответствующую началу и концу шкалы, называют диапазоном показаний прибора.

В последние годы в лабораторной практике почти повсеместно используют измерительные приборы с цифровой индикацией. В наибольшей степени это относится к приборам, измеряющим как электрические, так и неэлектрические величины (например, электронные весы и др.). Особый класс цифровых приборов образуют так называемые интегрирующие приборы, в которых измеряемая величина суммируется во времени (например, электросчетчики, электрорасходомеры и др.).

Точность электроизмерительного прибора определяется суммой допустимых приборных погрешностей. В соответствии с этим для электроизмерительных приборов установлено девять классов точности: 0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5 и 4,0. Класс точности определяет максимальный процент погрешности измерения прибора на максимальном значении шкалы. Погрешность измерения в любом месте шкалы прибора можно определить по формуле

,

где  - искомая погрешность, %;

  k - класс точности прибора;

 - максимальное значение шкалы прибора;

 - значение измеряемой величины по шкале прибора.

Пример. Надо определить, с какой точностью будет измерено напряжение 24 В вольтметром класса 1,5 с пределом шкалы 50 В. Пользуясь приведенной формулой, получим

.

Следует отметить, что из-за ряда трудно учитываемых факторов, обусловленных механической системой прибора, наименьшая погрешность при измерении будет в средней части шкалы (от 1/3 до 2/3). Таким образом, пользуясь измерительным прибором, надо предел измерения или тип прибора выбирать соответственно измеряемой величине.

На шкале и корпусе любого электроизмерительного прибора имеются условные обозначения принципа действия прибора, точности измерения, способа использования и др. Основные условные обозначения, присвоенные электроизмерительным приборам, даны в таблице 10.1.

При использовании измерительного прибора следует строго придерживаться условных обозначений на его шкале, кото-

Таблица 10.1

Основные условные обозначения на шкале и корпусе

электроизмерительных приборов

 

 

рые предусматривают эксплуатацию прибора в нормальных условиях (температура, давление, влажность и др.). При использовании прибора в условиях, отличающихся от нормальных, необходимо применять приборы специального назначения. Так, существуют приборы, предназначенные для работы в условиях низких и высоких температур, вибрационных и ударных нагрузок, повышенной влажности, работающие в агрессивных средах, устойчивые к воздействию плесени и грибков (тропикоустойчивые), а также работающие при сильных электрических и магнитных полях.

Отступление от правильных условий эксплуатации вызывает возникновение дополнительных погрешностей, существенно влияющих на точность показания прибора. Например, при изменении температуры воздуха на ±10 °С погрешность прибора класса 0,5 повышается на 0,3 - 0,5%. Прочность изоляции с повышением влажности снижается на 0,5 - 1,5 кВ. Установка прибора на стальной ферромагнитной панели или вблизи магнита ухудшает показания на 1 - 3%.

 

10.2. Погрешности измерений

 

Результаты измерений не могут быть получены абсолютно точно. Это обусловлено несовершенством метода и средств измерений, непостоянными условиями выполнения эксперимента и т.д. Результаты измерений оценивают различными показателями: погрешность, точность и достоверность измерений.

Погрешность измерений – это отклонение результата измерения от истинного значения величины. Степень приближения измерения к действительному значению величины называют точностью измерений, она характеризует их качество. Степень доверия к результатам измерения, т.е. вероятность отклонений измерения от действительной величины, характеризуется достоверностью измерений.

В практических расчетах используют абсолютную и относительную погрешность. Абсолютной погрешностью Δ называют разность между измеренным х и истинным Х значениями измеряемой величины

.                               (10.1)

За действительное значение принимают такое значение величины, которое заведомо точнее, чем получаемое при измерениях.

Относительная погрешность обычно выражается в процентах и дает наиболее ясное представление о погрешности, поскольку характеризует соотношение между абсолютной погрешностью и истинной величиной

.                        (10.2)

Следует заметить, что точное значение Х заранее неизвестно, поэтому погрешности измерений могут оцениваться только приближенно.

Чтобы повысить точность и достоверность измерений необходимо уменьшить погрешности, которые возникают вследствие несовершенства методов и средств измерений, недостатков проведения опыта, влияния различных внешних факторов, субъективных особенностей экспериментатора.

Погрешности классифицируются на систематические и случайные. Систематические погрешности остаются постоянными при повторных экспериментах или изменяются по определенному закону. Их разделяют на пять групп:

– инструментальные погрешности;

– погрешности из-за неправильной установки;

– погрешности в результате действия внешней среды (температуры, магнитных и электрических полей, атмосферного давления, влажности, вибрации и колебаний);

– субъективные погрешности;

– погрешности метода.

Систематические погрешности необходимо обязательно исключить, так как они могут привести к неправильным научным выводам. Они могут быть устранены следующими методами:

– путем регулирования средств измерений, тщательной их поверки, устранения внешних воздействий;

– исключения погрешности в процессе эксперимента путем повторного измерения;

– путем нахождения погрешности с помощью более точного средства измерения и её учета.

Если систематическую погрешность устранить нельзя, то ограничиваются оценкой её границ.

Случайными называют погрешности, которые возникают случайно и не могут быть исключены. Однако при наличии многократных повторений наиболее отклоняющиеся измерения можно исключить с помощью статистических методов. Разновидностью случайных погрешностей являются грубые погрешности или промахи. Наиболее типичными причинами промахов являются ошибки при наблюдениях: неправильный отсчет, описки при записи результатов, различные манипуляции с приборами.

Измерительные приборы также характеризуются погрешностью и точностью, стабильностью измерений и чувствительностью. Под абсолютной погрешностью прибора понимают величину

,                           (10.3)

где х – показание прибора;

х_д  – действительное значение измеряемой величины, определяемое более точным методом.

Часто для оценки погрешности приборов применяют относительную погрешность в процентах

.                (10.4)

Погрешность прибора является важнейшей его характеристикой. Она возникает вследствие некачественного изготовления или неудовлетворительной эксплуатации, что приводит к систематическим погрешностям. Кроме них, возникают и случайные погрешности, обусловленные сочетанием различных факторов. Поэтому основными характеристиками прибора являются суммарные погрешности, определяющие его точность. В зависимости от величины допускаемых погрешностей приборы делятся на классы точности: 1 – наивысший, 4 – наинизший.

Разность между максимальным и минимальным показателями прибора называют размахом. Если эта величина непостоянная при прямом и обратном ходах, то эту разность называют вариацией показаний. Под чувствительностью прибора понимают способность отсчитывающего устройства реагировать на изменения измеряемой величины, а под стабильностью – свойства отсчетного устройства обеспечивать постоянство показаний одной и той же величины. Стабильность прибора определяется вариацией показаний.

Все средства измерений должны проходить периодическую поверку, которая может быть государственной, ведомственной и рабочей, проводимой перед началом измерений. Наиболее распространенным способом поверки прибора является его сопоставление с образцовым прибором.

 

10.3. Методы оценки измерений

 

Общая погрешность измерений в основном определяется случайной погрешностью, учет которой очень важен. Анализ случайных погрешностей основывается на теории случайных ошибок. В основе теории случайных ошибок лежит предположение о том, что при большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, встречаются одинаково часто. Большие погрешности встречаются реже, чем малые, или вероятность появления погрешности уменьшается с ростом её величины. При бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений, а появление того или иного результата как случайного события описывается нормальным законом распределения.

Различают  генеральную и выборочную совокупность измерений. Совокупность всех возможных значений случайной величины в рассматриваемых условиях представляет собой генеральную совокупность. Некоторая часть этих экспериментов, которая имеет место в действительных условиях, является выборочной или выборкой. Число экспериментов, составляющих выборку, представляет её объем. Обычно считают, если число измерений n > 30, то среднее значение данной совокупности х приближается к его истинному значению.

Теория случайных ошибок позволяет решить две основные задачи: оценить точность и надежность измерения при данном количестве замеров; определить минимальное количество замеров, гарантирующее требуемую точность и надежность измерения. Наряду с этим возникает часто необходимость исключить грубые ошибки, определить достоверность полученных данных и др.

Интервальная оценка с помощью доверительной вероятности. Для большой выборки и нормального закона распределения характеристикой измерения являются дисперсия Д или коэффициент вариации

,      (10.5)

Дисперсия характеризует однородность измерения. Чем она выше, тем больше разброс. Коэффициент вариации характеризует изменчивость. Чем выше k в, тем больше изменчивость измерений относительно средних значений. Коэффициент вариации оценивает также разброс при оценке нескольких выборок.

Доверительным называется интервал значений хi, в который попадает истинное значение хд  измеряемой величины с заданной вероятностью. Доверительной вероятностью измерения называют вероятность Рд  того, что значение хд  измеряемой величины попадет в данный доверительный интервал. Эта величина определяется в долях единицы или в процентах.

Пусть необходимо установить вероятность того, что хд  попадет в диапазон а ≤ хд  ≤ b. Доверительная вероятность Рд  описывается выражением

,

где Ф (t) – функция Лапласса, аргументом которой является

,                               (10.6)

здесь

      t – гарантийный коэффициент.

Функция Лапласса Ф (t) является интегральной, ее численные значения Ф (t) табулированы и изменяются (при t от 0 до t = 4,0) соответственно в пределах Ф (t) = 0 до Ф (t) = 0,9999.

Возможна и иная задача. На основе установленной доверительной вероятности (очень часто ее принимают равной 0,9 - 0,95) необходимо установить точность измерений, т.е. доверительный интервал .

Поскольку , то по таблице обратным интерполированием можно определить половину доверительного интервала

,                   (10.7)

где t = arg Ф(Р_д) – аргумент функции Лапласса или при малом числе измерений (n < 10) аргумент функции Стьюдента, которая также табулирована в зависимости от числа измерений n и вероятности Р_д.

Доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а доверительная вероятность – достоверность измерения.

 

10.4. Установление минимального количества измерений

 

Задача сводится к установлению минимального объема выборки (числа измерений) N_min  при заданных значениях доверительного интервала  и доверительной вероятности Р_д. При выполнении измерений необходимо знать их точность Δ, которую обычно характеризуют с помощью среднего значения среднеквадратичного отклонения

,                                 (10.8)

где .

Значение  также называют средней ошибкой. Доверительный интервал ошибки измерения Δ определяется аналогично тому, как и для измерений . Зная t, по таблице легко определить доверительную вероятность ошибки измерения.

Часто возникает необходимость в определении минимального количества измерений по заданной точности и доверительной вероятности. В этом случае аналогично выражению (10.7) и с учетом условия (10.8) запишем

.             (10.9)

Отсюда, полагая N_min  = n, имеем

,                   (10.10)

где k_в  – коэффициент вариации, %;

Δ – точность измерения, %.

Параметр N_min  вычисляется в следующей последовательности:

– проводят предварительный эксперимент с количеством измерений n, которое составляет в зависимости от трудоемкости опыта от 20 до 50;

– вычисляют среднеквадратичное отклонение ;

– в соответствии с поставленными задачами эксперимента устанавливают требуемую точность измерений , которая должна быть не менее точности прибора;

–  устанавливают нормированное отклонение t, которое также задают в зависимости от точности измерений, например, при большей точности t = 3,0, при малой – t = 2,0;

– из выражений (10.9) и (10.10) определяют N _min. В дальнейшем в процессе эксперимента число измерений не должно быть меньше N_min.

Оценки измерений с помощью  и  по приведенным методам справедливы при n >30. Для нахождения границ доверительного интервала при малых выборках применяют метод, предложенный английским математиком В.С. Госсетом (псевдоним Стьюдент). Кривые распределения Стьюдента в случае  (практически при n >20) переходят в кривые нормального распределения.

Для малой выборки доверительный интервал

,                          (10.11)

где  – коэффициент Стьюдента, принимаемый по таблице в зависимости от значения доверительной вероятности .

Зная , можно вычислить действительное значение изучаемой величины для малой выборки:

.                           (10.12)

Возможна иная постановка задачи. Пусть известны n известных измерений малой выборки. Необходимо определить доверительную вероятность Р_д  при условии, что погрешность среднего значения не выйдет за пределы . Задачу решают в такой последовательности.

Вначале вычисляют , а затем, с помощью величины , известного n и таблицы определяют доверительную вероятность.

 

10.5. Исключение грубых ошибок

 

Появление этих ошибок ощутимо влияет на результат измерений. При анализе эксперимента необходимо, прежде всего, исключить грубые ошибки. Однако, до того как исключить то или иное измерение, необходимо убедиться, что это действительно грубая ошибка.

Известно несколько методов определения грубых ошибок статистического ряда. Наиболее простым способом исключения из ряда резко выделяющегося измерения является правило трех сигм, поскольку разброс случайных величин от среднего значения не превышает

.                         (10.13)

Более достоверными являются методы, базирующиеся на использовании доверительного интервала. Пусть имеется статистический ряд малой выборки, подчиняющийся закону нормального распределения. При наличии грубых ошибок критерии их появления вычисляют по формулам

,            (10.14)

где  – наибольшее и наименьшее значения из n измерений.

Установленные критерии сопоставляют с максимальным значением , приведенным в таблице в зависимости от доверительной вероятности и числа измерений. После исключения грубых ошибок определяют новые значения  и .

Методика выявления грубых ошибок с использованием критерия В.И. Романовского сводится к следующему. Задаются доверительной вероятностью Р_д, и по таблице в зависимости от n находится коэффициент q. Вычисляют предельно допустимую абсолютную ошибку отдельного измерения

.                             (10.15)

Если , измерение x _max  исключают из ряда наблюдений.

Для приближенной оценки можно применять такую методику:

– вычислить по (10.5) среднеквадратичное отклонение ;

– определить с помощью (10.8) среднюю ошибку ;

– принять доверительную вероятность  и найти доверительный интервал  из формулы (10.11);

– окончательно установить действительное значение измеряемой величины по формуле (10.12).

Определение ошибки функции. Во многих случаях в процессе экспериментальных исследований приходится иметь дело с косвенным измерениями. При этом неизбежно в расчетах применяют функциональные зависимости типа . Поскольку в данную функцию подставляют не истинные, а приближенные значения, то и окончательный результат также будет приближенным. В связи с этим одной из задач исследований является определение ошибки функции, если известны ошибки их аргументов.

При исследовании функции одного переменного предельные абсолютные  и относительные  ошибки (погрешности) вычисляют по формулам

,                      (10.16)

,                         (10.17)

где  – производная функции f(x);

 – дифференциал натурального логарифма функции.

Если исследуется функция многих переменных, то

             (10.18)

.                  (10.19)

В формулах (10.18) и (10.19) под знаком суммы и дифференциала понимают абсолютные величины. Порядок определения ошибок с помощью этих уравнений следующий:

– определяют абсолютные и относительные ошибки аргументов (независимых переменных). Обычно величина  каждого переменного измерена, следовательно, абсолютные ошибки для аргументов известны, т.е. ;

– вычисляют относительные ошибки независимых переменных

;        (10.20)

– находят частные дифференциалы функции и по формуле (10.18) вычисляют  в размерностях функции f (y);

– вычисляют по (10.19) относительную погрешность , %.

 

Контрольные вопросы

 

1. Виды измерений и их классы.

2. Систематические ошибки измерений и их погрешности.

3. Причины возникновения случайных ошибок и промахов.

4. Понятие абсолютной и относительной погрешности. Классы точности измерительных приборов.

5. Методика и алгоритм обработки прямых измерений.

6. Методика и алгоритм обработки косвенных измерений.

 

МЕТРОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ