Формула условной вероятности

1.4  Разбор решения практической задачи по теме варианта

Выполнение теста

Самостоятельная работа

Справка.

1.1 Формула полной вероятности

Допустим, что проводится опыт, об условиях которого можно заранее сделать взаимо исключающие друг друга предположения (гипотезы):

Мы предполагаем, что имеет место либо гипотеза , либо … либо . Вероятности этих гипотез известны и равны:

Тогда имеет место формула полной вероятности:

Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности наступления А при каждой гипотезе на вероятность этой гипотезы.

1.2 Формула Байеса

Она позволяет пересчитывать вероятность гипотез в свете новой информации, которую дал результат А. Формула Байеса в известном смысле является обратной к формуле полной вероятности.

Условная вероятность

 

У словной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

.

В    частности, отсюда получаем:

Рассмотрим следующую практическую задачу

Задача № 1

 

Студент из 20 билетов подготовил к экзамену 12. Студент взял билет, к которому он не подготовился. Преподаватель в виде исключения разрешил взять второй билет. Какова вероятность того, что студенту во второй попытке достанется один из подготовленных билетов.

Решение.

Обозначим событие «студент взял билет, к которому он не подготовился» через A. Обозначим событие «студенту достанется во второй попытке один из подготовленных билетов» через B.

Обозначим событие (А×В/A) – взять первый билет, к которому он не подготовился, и второй из подготовленных билетов при условии, что, что первое событие уже произошло. Вероятность взять первый билет, к которому студент не подготовился: . Вероятность взять второй из подготовленных билетов при условии, что студент взял первый билет, к которому он не подготовился: .

В результате, вероятность того, что студенту достанется один из подготовленных билетов, вычисляется по формуле

 

Выполнение теста.

Самостоятельная работа

Задача № 4.

 Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале ParadeMagazine, звучит следующим образом:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

 

Следует учесть,что участнику игры заранее известны следующие правила:

1.Автомобиль равновероятно размещён за любой из 3 дверей;

2.Ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;

3.Если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

Вариант.