Кейс «решение задач теории вероятностейс применением формул полной вероятности, Байеса, условной вероятности» 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Кейс «решение задач теории вероятностейс применением формул полной вероятности, Байеса, условной вероятности»



КЕЙС «Решение задач теории вероятностейс применением формул полной вероятности, Байеса, условной вероятности»

1.Тема: «Практическое применение теории вероятности в различных сферах жизни людей»

2. Цели занятия:

Уметь: устанавливать события вероятности и применять вероятностные законы к прогнозированию событий.

Перед началом выполнения кейса необходимо знать: определение события, относительной частоты события,вероятности невозможного события,вероятности достоверного события, предела нахождения вероятности, равновероятностных событий,формул условной вероятности, Байеса, полной вероятности.

3. Режим работы.

Этапы работы Время на этап
1. 2. 3. 4. 5. 6. Представление кейса. Решение заданий тестового типа.. Индивидуальное изучение кейса каждым учеником. Разработка вариантов групповых решений. Релаксация. Защита вариантов индивидуальных решений в каждой группе. Подведение итогов. 2 мин 5 мин 5 мин. 15 мин 1 мин 15  мин 2 мин

 

Информационная карта кейса

1. В данном кейсе нельзя писать решения!

За консультацией можно обращаться только к преподавателю или к эксперту-консультанту.

Внимательно рассмотрите решение задачи, представленной в справке.

Изучите, предложенную Вам, исследовательскую работу.

Следите за временем, отведенным на каждый этап работы.

4.Выполните поиск решения задачи,опираясь на сведения справочного материала, оформите свой мини-проект по следующей схеме:

Схема оформления мини-проекта в презентации

Слайд.

Тема_________________

Проблема_____________

Объект исследования________________

Слайд.

Цель, задачи________________

Слайд.

Рабочая гипотеза__________________

Слайды.

Результаты исследований_______________________

Слайды.

Сделайте вывод следующего содержания:

- что нового удалось узнать из сегодняшнего урока;

- что сделано за сегодняшний урок;

- что из этого является результатом, о котором можно написать в тексте своего отчета;

- что не понятно, какие проблемы возникли;

- какие есть идеи их решения, включая возможность изменения постановки всей задачи или её частей;

Слайд.

план работ на следующий период (например, две недели).

 

Вариант

Тема исследовательской работы «Спортивные ставки и теория вероятностей»

Ход работы

Справка

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Формула условной вероятности

1.4 Разбор решения практической задачи по теме варианта

Выполнение теста

Самостоятельная работа

Справка

1.1 Формула полной вероятности

Допустим, что проводится опыт, об условиях которого можно заранее сделать взаимо исключающие друг друга предположения (гипотезы):

Мы предполагаем, что имеет место либо гипотеза , либо … либо . Вероятности этих гипотез известны и равны:

Тогда имеет место формула полной вероятности:

Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности наступления А при каждой гипотезе на вероятность этой гипотезы.

1.2 Формула Байеса

Она позволяет пересчитывать вероятность гипотез в свете новой информации, которую дал результат А. Формула Байеса в известном смысле является обратной к формуле полной вероятности.

1.3 Условная вероятность

У словной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

В    частности, отсюда получаем:

1.4 Рассмотрим следующую практическую задачу

Возьмем любой матч из любого европейского чемпионата из футбола. Например, матч Ньюкасла против ЛестеравПремьер Лиге. Для этого введем ряд понятий и обозначений:

 

А – состоялся матч (событие);

Н1 – гипотеза, что победит домашняя (первая - 1) команда;

Н2 – гипотеза, что победит гостевая (вторая - 2) команда;

Н3 – гипотеза, что будет ничья между данными командами;

 

Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3)=1/3, то есть это одинаковая вероятность событий (победа 1, победа 2, ничья);

РН1(А) – так называемая статистическая вероятность, то есть это отношения количества выигранных дома матчей первой команды к общему количеству матчей;

РН2(А) - отношение количества выигранных на выезде матчей второй команды к общему количеству матчей;

РН3(А) – суммарная статистическая вероятность,

то есть (ничьи 1 + ничьи 2) / общее количество матчей одной из команд.

Р(А) – полная вероятность наступления события (см. выше в формуле - множитель);

Наша цель – определить или оценить (для игроков спрогнозировать), например, победу первой команды (Ньюкасл) или найти Ра(Н1). Для этого, воспользовавшись статистической информацией (в данном примере - за предшествующий сезон; желательно - наибольшее число сезонов), найдем РН1(А), РН2(А), РН3(А):

РН1(А) =11 побед (дома) / 21 (общее количество матчей, проведенных дома);

РН2(А) =5 побед (на выезде) / 21 (общее количество матчей, проведенных на выезде);

РН3(А) =5 ничей (Ньюкасл) + 2 ничьи (Лестер) / 21.

Соответственно:

РН1(А)=0,52381;

РН2(А)=0,238095;

РН3(А)=0,(3).

Потом найдем Р(А):

Р(А) =Р(Н1)*РН1(А)+ Р(Н2)*РН2(А)+ Р(Н3)*РН3(А)

Р(А) =0,365079

Теперь можем найти Ра(Н1):

Ра(Н1) =Р(Н1)*РН1(А) / Р(А)

Ра(Н1) =0,478261 (или приблизительно 48%)

Аналогично найдем Ра(Н2) и Ра(Н3): Ра(Н2) =22% и Ра(Н3)=30%

Итак, 48% того, что Ньюкасл победит Лестер

22% - Лестер победит Ньюкасл

30% - будет ничья

Следует сказать, что точность такого прогнозирования составляет приблизительно 65%-70%. То есть, шансы оцениваются как 7 до 10, что есть довольно неплохо. Стопроцентного прогноза данный способ не может дать (как и любой другой), но, сопоставив свой собственный опыт, здравый смысл и данный метод, можно получить незаурядные результаты в игре. Не забывайте, что сама рассчитанная вероятность ничего не даст, если не сравнивать ее с коэффициентами конторы.

Выполнение теста.

Самостоятельная работа

Задача № 4.

Задание. Попробуйте спрогнозировать результат матча Спартак-ЦСКА, который состоится 21 ноября 2013 года.

Турнирная таблица 1 (дома, на выезде)

# Спартак М И В Н П ГЗ ГП Очки Форма
4 Общий 12 7 3 2 22 13 24  
  Дома 5 3 2 0 8 3 11  
  В гостях 7 4 1 2 14 10 13  

Турнирная таблица 2 (дома, на выезде)

# ЦСКА И В Н П ГЗ ГП Очки Форма
5 Общий 13 6 3 4 12 15 21  
  Дома 6 4 1 1 6 4 13  
  В гостях 7 2 2 3 6 11 8  

Описание таблиц:

Таблица отображает в первой строке турнирное положение команды в чемпионате:

- содержит информацию о результатах матчей команды в чемпионате (И - количество проведенных матчей, В - выигранных матчей, Н - матчей завершившихся в ничью, П - количество поражений, ГЗ - количество забитых голов, ГП - количество пропущенных голов, Очки - очков набранных командой: "Спартак М");

- вторая строка отображает таблицу выступлений команды "Спартак М" в домашних матчах;
- содержит такие же столбцы, как и таблица турнирного положения в первой строке;

- третья строка отображает выступление команды "Спартак М" в гостевых матчах.

Вариант

Ход работы

Справка

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Выполнение теста

Самостоятельная работа

1. Справка

1.1 Формула полной вероятности

Допустим, что проводится опыт, об условиях которого можно заранее сделать взаимо исключающие друг друга предположения (гипотезы):

Мы предполагаем, что имеет место либо гипотеза , либо … либо . Вероятности этих гипотез известны и равны:

Тогда имеет место формула полной вероятности:

Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности наступления А при каждой гипотезе на вероятность этой гипотезы.

1.2 Формула Байеса

Она позволяет пересчитывать вероятность гипотез в свете новой информации, которую дал результат А. Формула Байеса в известном смысле является обратной к формуле полной вероятности.

Условная вероятность

 

У словной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

В    частности, отсюда получаем:

Выполнение теста.

Самостоятельная работа.

Задача 4.

Рассмотрим посадку самолета в аэропорту. При посадке погодные условия могут быть такими: низкой облачности нет (), низкая облачность есть (). В первом случае вероятность благополучной посадки равна P1. Во втором случае – Р2. Ясно, что P1>P2.

Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют вероятность безотказной работы Р. Если есть низкая облачность и приборы слепой посадки отказали, вероятность удачного приземления равна Р3, причем Р3<Р2. Известно, что для данного аэродрома доля дней в году с низкой облачностью равна .

Найти вероятность благополучной посадки самолета.

Задача 2.

Страховая компания продаёт договора страхования жизни трёх категорий: стандартные, привилегированные и ультрапривилегированные.
50% всех застрахованных являются стандартными, 40% - привилегированными и 10% - ультрапривилегированными.
Вероятность смерти в течение года для стандартного застрахованного равна 0.010, для привилегированного – 0.005, а для ультра привилегированного – 0.001.

Чему равна вероятность того, что умерший застрахованный является ультрапривилегированным?


 

Вариант.

Ход работы

Справка

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Выполнение теста

Самостоятельная работа

Справка.

1.1 Формула полной вероятности

Допустим, что проводится опыт, об условиях которого можно заранее сделать взаимо исключающие друг друга предположения (гипотезы):

Мы предполагаем, что имеет место либо гипотеза , либо … либо . Вероятности этих гипотез известны и равны:

Тогда имеет место формула полной вероятности:

Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности наступления А при каждой гипотезе на вероятность этой гипотезы.

1.2 Формула Байеса

Она позволяет пересчитывать вероятность гипотез в свете новой информации, которую дал результат А. Формула Байеса в известном смысле является обратной к формуле полной вероятности.

Условная вероятность

 

У словной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

.

В    частности, отсюда получаем:

Задача № 1

 

Студент из 20 билетов подготовил к экзамену 12. Студент взял билет, к которому он не подготовился. Преподаватель в виде исключения разрешил взять второй билет. Какова вероятность того, что студенту во второй попытке достанется один из подготовленных билетов.

Решение.

Обозначим событие «студент взял билет, к которому он не подготовился» через A. Обозначим событие «студенту достанется во второй попытке один из подготовленных билетов» через B.

Обозначим событие (А×В/A) – взять первый билет, к которому он не подготовился, и второй из подготовленных билетов при условии, что, что первое событие уже произошло. Вероятность взять первый билет, к которому студент не подготовился: . Вероятность взять второй из подготовленных билетов при условии, что студент взял первый билет, к которому он не подготовился: .

В результате, вероятность того, что студенту достанется один из подготовленных билетов, вычисляется по формуле

 

Выполнение теста.

Самостоятельная работа

Задача № 4.

 Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале ParadeMagazine, звучит следующим образом:

Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

 

Следует учесть,что участнику игры заранее известны следующие правила:

1.Автомобиль равновероятно размещён за любой из 3 дверей;

2.Ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;

3.Если у ведущего есть выбор, какую из 2 дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.


Вариант.

Справка

Формула полной вероятности

Формула Байеса

Выполнение теста

Самостоятельная работа

Справка.

1.1 Формула полной вероятности

Допустим, что проводится опыт, об условиях которого можно заранее сделать взаимо исключающие друг друга предположения (гипотезы):

Мы предполагаем, что имеет место либо гипотеза , либо … либо . Вероятности этих гипотез известны и равны:

Тогда имеет место формула полной вероятности:

Вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятности наступления А при каждой гипотезе на вероятность этой гипотезы.

1.2 Формула Байеса

Она позволяет пересчитывать вероятность гипотез в свете новой информации, которую дал результат А. Формула Байеса в известном смысле является обратной к формуле полной вероятности.

Условная вероятность

 

У словной вероятностью (два обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

.

В    частности, отсюда получаем:

Задача №1

 

Инновационная фирма собирается заключить контракт на разработку нового наукоёмкого прибора с Министерством обороны. Если основной конкурент фирмы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероятность получения контракта оценивается в 0,45; в противном случае – в 0,25. По оценкам экспертов компании, вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равно 0,40.

 

Чему равна формула полной вероятности?

1.P (A/H1)=0,45.

2.P (A/H2)=0,25.

3.P (H2)=0,40.

4.P (H1)=1-0,40=0,60.

5.P (A)= P (A/H1) × P (H1)+ P (A/H2) × P (H2)=0,45 × 0,6+0,20 × 0,40=0,37.

6. P(А) – полная вероятность заключения контракта.

Задача № 2

Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероятность для данного момента времени в 0,15, 0,70 и 0,15 соответственно. Индекс распродажи нового товара возрастает с вероятностью -0,6, когда ситуация «хорошая», с вероятностью 0,3, когда «посредственная» и с вероятностью 0,1, когда «плохая».

 

Пусть в настоящее время индекс распродаж товара вырос. Какова вероятность того, что экономика страны на подъеме?

P (H1)=0,15, P (H2)=0,70, P (H3) = 0,15.

Р (А) – вероятность возрастания продаж.

P (A/H1)=0,6,        P (A/H2)=0,50,      P (A/H3)=0,1.

P (H1/A)= P (A/H1) × P (H1)/ Р (А)=0,6 × 0,15/0,6 × 0,15 + 0,3 × 0,7 + 0,15 × 0,1 = 0,09/0,315 =0,2857

(А иначе как судить о подъеме экономии только через производство и потребление, здесь анализируется потребление)

Выполнение теста

Самостоятельная работа

Задача № 4.

 

Известно, что эффективным средством противодействия фирмы в конкурентной борьбе, завоевания новых ниш рынка является ее активная инновационная стратегия, направленная на освоение новой продукции или модернизацию и дифференциацию устаревшей. Однако, проведение НИР или ОКР является дорогостоящим мероприятием и прибегать к нему следует в исключительных случаях, если только фирма не является эксплерентом, венчурным предприятием.

Поводом для проведения интенсивных инновационных исследований может послужить инновационная активность конкурентов. Сам факт намерения на проведение работ по обновлению номенклатуры товаров конкурента относится к его конфиденциальным сведениям. Поэтому информацию о замыслах конкурента можно получить по косвенным признакам, которые с какой-то долей вероятности могут свидетельствовать о его инновационной активности. К таким признакам можно отнести следующие действия конкурента.

- Проведение дополнительного набора сотрудников определенной квалификации через объявление в газете, заявки в кадровое агентства, объявление отдела кадров, заявки в учебные заведения, переобучение кадров и т.п.

- Осуществление строительства, или приобретение, или аренда новых производственных помещений.

- Аккумулирование дополнительных финансовых средств путем довыпуска акций.

- Реорганизация фирмы, например, из ООО в ОАО; объединение нескольких фирм в консорциум – временное объединение для реализации нового проекта; вхождение в финансово-промышленную группу (ФПГ).

- Сообщение в СМИ информации о конкуренте в связи с юбилеем его фирмы или другим поводом, в котором могут быть раскрыты его будущие планы по инновациям.

- Победа конкурента на конкурсе инновационных проектов, проводимых в рамках поддержки предпринимательства; получение гранда, сообщение о которых неизбежно в СМИ в виду публичности проведения таких мероприятий.

- Получение сотрудниками конкурента патентов, свидетельств на полезную модель, информация о которых публикуется в специальных бюллетенях и т.д.

Рассмотрим некоторые примеры прогнозирования серьезности намерения конкурента в сфере инновационной активности.

Пусть, например, эксперты фирмы «Импульс», исходя из анализа жизненного цикла товара конкурента, оценивают вероятность того, что конкурент может пойти на выпуск новой, очень конкурентоспособной продукции на уровне 70%

Эта вероятность еще не достаточна, чтобы идти на ответные дорогостоящие меры фирме «Импульс». Принято решение о необходимости собрать дополнительную информацию о намерении конкурента – стратегия выжидания.

Эксперты фирмы «Импульс» считают, что для выпуска новой продукции, исходя из кадрового состава фирмы-конкурента, она с 85% вероятностью пойдет на дополнительный набор кадров.

Вероятность того, что конкурент может и по другим причинам осуществлять дополнительный набор кадров, таких как: компенсация текучести кадров, расширение объема выпуска устаревшей продукции, организация дополнительных, обслуживающих второстепенных подразделений и т.д., эксперты оценили на уровне 20%.

Руководству фирмы «Импульс» стало известно о дополнительном наборе сотрудников у конкурента. Как эта информация должна изменить представление руководства фирмы «Импульс» о возможности перехода конкурента на выпуск новой продукции?

Для переоценки вероятности перехода конкурента на выпуск новой продукции после получения информации о начале допнабора сотрудников следует использовать формулу Байеса:

 

 

Оценивание деятельности студентов экспертом-консультантом

Приложение 1

Оценочный лист

ФИО участника Участие в обсуждении Разработка алгоритма решения задачи Проведение вычислений Выбор стратегии решения Итого
1.          
2.          
3.          
4.          
5.          
6.          

Эксперт-консультант группы:

Приложение 2

                                                          Критерии баллов

Баллы Критерии Участие в обсуждении Разработка алгоритма решения задачи Проведение вычислений Выбор стратегии решения
4 Выполнил самостоятельно        
3 Выполнил самостоятельно, пользовался справочным материалом        
2 Выполнил с помощью        
1 Выполнил под руководством        
0 Не выполнял        

 

14-16баллов-отметка«отлично».

11-13-отметка «хорошо».

7-10-баллов отметка «удовлетворительно».

Менее 7 баллов ометка«неудовлетворительно».

Штрафные баллы:

Нарушение дисциплины - 1 балл

Небрежность в оформлении - 1 балл.

Приложение 3

Подведение итогов урока

Итоги урока: ФИО студента Доволен своей работой Что было интересно Над чем следует поработать
       

 

 

Литература:

КЕЙС «Решение задач теории вероятностейс применением формул полной вероятности, Байеса, условной вероятности»

1.Тема: «Практическое применение теории вероятности в различных сферах жизни людей»

2. Цели занятия:

Уметь: устанавливать события вероятности и применять вероятностные законы к прогнозированию событий.

Перед началом выполнения кейса необходимо знать: определение события, относительной частоты события,вероятности невозможного события,вероятности достоверного события, предела нахождения вероятности, равновероятностных событий,формул условной вероятности, Байеса, полной вероятности.

3. Режим работы.

Этапы работы Время на этап
1. 2. 3. 4. 5. 6. Представление кейса. Решение заданий тестового типа.. Индивидуальное изучение кейса каждым учеником. Разработка вариантов групповых решений. Релаксация. Защита вариантов индивидуальных решений в каждой группе. Подведение итогов. 2 мин 5 мин 5 мин. 15 мин 1 мин 15  мин 2 мин

 

Информационная карта кейса

1. В данном кейсе нельзя писать решения!



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2019-05-20; просмотров: 787; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.171.22.220 (0.156 с.)