Электромагнитное поле поверхностного

Электрического тока

Рассмотрим задачу о возбуждении электромагнитного поля сторонним электрическим током, протекающим по листу бесконечно малой толщины. По обе стороны от этого, так называемого листа тока - неограниченное однородное изотропное пространство. Пусть амплитудное распределение тока на плоскости - равномерное, а фаза меняется по линейному закону.

Задачу будем решать в прямоугольной системе координат. Предположим, что лист тока совпадает с плоскостью XOY (рис.1.2). Тогда комплексная амплитуда вектора поверхностной плотности электрического тока может быть представлена в следующем виде:

(1.3.1)

где - комплексная начальная амплитуда тока; - начальная фаза тока (в дальнейшем примем )

Требуется определить электромагнитное поле, возбуждаемое током (1.3.1).

Для решения задачи воспользуемся граничным условием для касательных составляющих вектора напряжённости магнитного поля: касательная составляющая вектора при переходе через плоскость меняется скачком, величина которого равна поверхностной плотности тока, протекающего по плоскости :

, (1.3.2)

где - нормаль к границе раздела, и - касательные составляющие вектора у граничной поверхности, выше её (z=+0) и ниже её (z=-0) (рис.1.2).

Так как условия возбуждения поля в областях z>0 и z<0 одинаковы, то волны в этих областях движутся в направлениях, симметричных относительно плоскости z=0. При этом должны выполняться следующие условия:

(1.3.3)

,

где , - поперечные относительно направления распространения составляющие электромагнитного поля в области z>0, а , - поперечные составляющие в области z<0.

С учётом антисимметрии поперечных составляющих магнитного поля (1.3.3) граничное условие (1.3.2) можно записать в виде:

(1.3.4)

Переходя к комплексным амплитудам и подставляя в (1.3.4) выражение для тока (1.3.1), получим:

(1.3.5)

Раскрыв в (1.3.5) векторное произведение , определим составляющие вектора напряжённости магнитного поля у поверхности листа тока (z=+0):

(1.3.6)

Теперь, когда магнитное поле у поверхности листа тока найдено, определим магнитное поле в пространстве выше листа (z>0) и ниже его (z<0). Поскольку задача для обеих областей решается одинаково, в дальнейшем будем определять поле только в области z>0.

Для определения магнитного поля в области вне протекания токов воспользуемся однородным волновым уравнением для вектора напряжённости магнитного поля .

Однородное волновое уравнение, будучи записано в скалярной форме, равносильно трём скалярным уравнениям относительно составляющих .

Найдём сначала решение скалярного волнового уравнения относительно составляющей :

(1.3.7)

Будем решать уравнение (1.3.7) методом разделения переменных. Для этого представим в виде произведения трёх функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

(1.3.8)

Подставив (1.3.8) в уравнение (1.3.7), получим:

, (1.3.9)

где для упрощения записи введены обозначения: ; ; .

Разделим каждый член уравнения (1.3.9) на . Уравнение (1.3.9) примет следующий вид:

(1.3.10)

Из полученного выражения следует, что каждый член его кроме свободного члена зависит только от одного аргумента и равен некоторой константе. Обозначив эти константы через , , , соответственно, представим свободный член в уравнении (1.3.10) в виде суммы трёх независимых величин:

(1.3.10,а)

Это позволит разбить уравнение (1.3.10) на три независимых уравнения

а)

б) (1.3.11)

в)

В общем случае каждое из уравнений (1.3.11) является однородным волновым уравнением, общее решение которого представляет собой суперпозицию двух волн, одна из которых распространяется в положительном направлении, а другая - в отрицательном направлении оси X, Y или Z, соответственно.

Однако, в связи с тем, что в рассматриваемой задаче изменение поля вдоль осей X и Y определяется заданным законом изменения тока (1.3.1), уравнения (1.3.11,а) и (1.3.11,б) будут иметь решения в виде волн, распространяющихся только в положительном направлении осей X и Y:

, , (1.3.12)

где A и B - некоторые постоянные амплитудные коэффициенты.

При решении уравнения (1.3.11,в) относительно функции необходимо учесть, что, согласно теореме единственности решения уравнений электродинамики, поля, возбуждаемые источником в виде тока, текущего по плоскости XOY, должны представлять собой волны, уходящие от источника, или поля, убывающие при удалении от источника на бесконечность вдоль оси Z. Поэтому в области z>0 решение уравнения (1.3.11,в) будет иметь следующий вид:

, (1.3.13)

где C - амплитудный множитель.

В соответствии с выражением (1.3.10,а) величина может иметь действительное значение, если . Тогда

(1.3.14)

При этом электромагнитное поле вдоль оси Z будет иметь характер волн, распространяющихся в положительном направлении оси Z, если , или волн, распространяющихся в противоположную сторону, при .

В случае, когда , выражение (1.3.14) примет следующий вид:

(1.3.15)

Выбор знака в выражении (1.3.15) осуществляется таким образом, чтобы экспоненциальный множитель в (1.3.13) соответствовал затухающей волне. Поэтому отрицательный знак перед мнимой единицей в (1.3.15) соответствует волне, затухающей в положительном направлении оси Z, а положительный знак - волне, затухающей в противоположном направлении.

Подставив (1.3.12) и (1.3.13) в (1.3.8), получим общее решение для составляющей магнитного поля в области z>0:

, (1.3.16)

где - неизвестная амплитуда.

Задание 1.3.1

Воспользовавшись изложенным выше методом, решить скалярные волновые уравнения относительно составляющих и .

Для определения электрического поля в области вне источника воспользуемся однородным волновым уравнением для вектора напряжённости электрического поля . Представим это уравнение в скалярной форме, в виде трёх скалярных уравнений относительно .

 

Задание 1.3.2

Воспользовавшись изложенным выше методом решения скалярных волновых уравнений, определить выражения для составляющих электрического поля в области вне источника.

Нетрудно убедиться, что общий вид полученных решений для составляющих электромагнитного поля в области вне источника будет следующим:

(1.3.17)

В выражениях (1.3.17) и - неизвестные комплексные амплитуды составляющих электромагнитного поля. Для определения их обратимся к исходным условиям задачи. Так как в рассматриваемом случае предполагается, что среда в областях z>0 и z<0 потерями не обладает, то, следовательно, и - некоторые постоянные величины.

Из граничного условия (1.3.6) мы можем определить амплитуды составляющих и при x=0, y=0, z=0:

; . (1.3.18)

Тогда эти две составляющие электромагнитного поля листа электрического тока будут иметь следующий вид:

, (1.3.19)

.

Для определения остальных составляющих () воспользуемся уравнениями Максвелла, которые в данном случае составляют следующую систему уравнений:

1. ; 2. . (1.3.20)

Задание 1.3.3

Записать систему уравнений (1.3.20) в координатной форме записи, в прямоугольной системе координат. Воспользоваться для этого известной формулой векторного анализа:

(1.3.21)

Так как составляющие электромагнитного поля листа тока описываются уравнениями (1.3.17), нетрудно показать, что, продифференцировав их по x,y и z, получим следующие выражения:

(1.3.22)

 

Задание 1.3.4

Показать, что составляющие электромагнитного поля связаны с составляющей следующим образом:

;

(1.3.23)

;

Указание: воспользоваться системой уравнений, полученной в результате выполнения задания 1.3.3, учесть выражения (1.3.22) и учесть, что .

 

Задание 1.3.5

Записать выражения для мгновенных комплексов составляющих электромагнитного поля, возбуждаемого листом электрического тока.