Уравнение плоской волны, распространяющейся в однородной неограниченной среде

Пусть монохроматическая плоская волна распространяется в бесконечном пространстве, заполненном однородной средой, в направлении, заданном единичным вектором . Вектор образует с осями прямоугольной системы координат углы , , (рис.1.1).

Любая составляющая вектора напряжённости поля плоской волны, движущейся в направлении и меняющейся во времени по гармоническому закону с частотой , описывается уравнением вида

(1.2.1)

где - расстояние от начала координат до волновой поверхности ; - волновое число или коэффициент распространения волны в среде с абсолютной диэлектрической проницаемостью и абсолютной магнитной проницаемостью .

Представим уравнение (1.2.1) в координатной форме. Для этого введём в рассмотрение следующие величины.

Волновой вектор - вектор , направление которого совпадает с направлением распространения волны, а модуль равен волновому числу . В прямоугольной системе координат волновой вектор может быть представлен в следующей форме:

, (1.2.2)

где - проекции вектора .

Радиус-вектор , проведённый из начала координат в произвольную точку волнового фронта:

(1.2.3)

Расстояние от начала координат до волновой поверхности равно проекции радиус-вектора на направление движения волны, определяемое единичным ортом , имеющим проекции :

(1.2.4)

Подставив (1.2.4) в (1.2.1), получим уравнение плоской волны, движущейся в направлении , в следующем виде:

(1.2.5)

Для дальнейшего анализа полезно отметить, что проекции волнового вектора связаны с модулем этого вектора следующими соотношениями:

; (1.2.6)

; ; . (1.2.7)

С учётом (1.2.7) уравнение (1.2.5) можно представить в следующих видах:

, (1.2.8)

или

, (1.2.9)

где

, (1.2.10)

- начальная амплитуда поля, а - начальная фаза поля.

Проанализируем полученные уравнения плоской волны. Обратимся сначала к уравнению (1.2.8). В этом уравнении - амплитудный множитель, зависящий от источника возбуждения плоской волны; множитель - фазовый множитель или множитель бегущей волны. Фаза волны зависит от времени и от пространственных координат.

Приравняв фазу волны к постоянной величине, получим уравнение волновой поверхности:

(1.2.11)

Воспользовавшись выражением (1.2.9), можно представить уравнение волновой поверхности в координатной форме:

(1.2.12)

или

(1.2.13)

Из аналитической геометрии известно, что уравнение (1.2.13) является уравнением плоскости, перпендикулярной к вектору , и, следовательно, к направлению распространения волны.

Предположим, что волна распространяется в среде без потерь и волновое число - действительная величина. В этом случае во всех точках плоскости, описываемой уравнением (1.2.13), амплитуда волны постоянна, т.е. поверхность равных фаз совпадает с поверхностью равных амплитуд. Это обстоятельство является, по определению, признаком плоской однородной волны.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда волновое число является комплексной величиной. Представим волновой вектор в виде действительной и мнимой частей:

, (1.2.14)

где

,

С учётом (1.2.14) уравнение плоской волны (1.2.2) принимает следующий вид:

(1.2.15)

или

 

(1.2.16)

В выражениях (1.2.15) и (1.2.16) первый экспоненциальный множитель характеризует изменение амплитуды поля в пространстве, а второй является множителем бегущей волны. Направление вектора совпадает с направлением распространения волны. Определим тип волны, описываемой уравнениями (1.2.15) и (1.2.16). Для этого запишем уравнение волнового фронта:

,

или, с учётом (1.2.16),

(1.2.17)

Уравнение (1.2.17) является уравнением плоскости. Следовательно, волна, описываемая уравнениями (1.2.15) и (1.2.16), является плоской.

Приравняв показатель первой экспоненты в (1.2.15) к постоянной величине, получим уравнение поверхности равных амплитуд

или, с учётом (1.2.16),

(1.2.18)

Из (1.2.18) следует, что поверхность равных амплитуд является плоской.

Плоскости, описываемые уравнениями (1.2.17) и (1.2.18), совпадают или параллельны друг другу, т.е. векторы и , перпендикулярные к этим плоскостям, коллинеарны, если в уравнениях (1.2.17) и (1.2.18) сохраняются постоянными отношения коэффициентов:

(1.2.19)

В этом случае уравнение (1.2.15) описывает плоскую однородную волну, распространяющуюся в среде с потерями. При этом часть энергии волны расходуется на нагревание среды, и амплитуда волны по мере распространения уменьшается вдоль направления движения волны.

В случае, когда условия (1.2.19) не выполняются, то есть плоскость равных амплитуд не параллельна плоскости равных фаз, уравнение (1.2.15) описывает один частный вид плоских неоднородных волн: волна распространяется в направлении, задаваемом вектором , а амплитуда её изменяется по экспоненциальному закону в направлении вектора . Плоская волна с такими свойствами при определённых условиях может существовать при наличии границы раздела двух сред.