Движение из одной точки в противоположных направлениях.

Дополнительная величина, характеризующая данный вид движения – скорость отдаления, которая равна сумме скоростей движущихся объектов.

73 (177.36). Из города одновременно в противоположных направлениях выехали два автобуса. Через 4 ч расстояние между ними составило 552 км. Известно, что скорость одного из автобусов 75 км/ч. Найди расстояние, которое за 4 ч проехал второй автобус.

? 75 км/ч

552 км

 

Скорость	Время	Расстояние
75 км/ч ?	4 ч 4 ч	? 552 км ?

С п о с о б 1.

? 1) 75 × 4 = 300 км – проехал первый автомобиль,

2) 552 - 300 = 252 (км) – проехал второй

552 -? автомобиль,

 

75. 4

С п о с о б 2.

552: 4 1) 552: 4 = 138 (км/ч) – скорость отдаления,

2) 138 - 75 = 63 (км/ч/) – скорость второго

? - 75 поезда,

3) 63 × 4 = 252 (км) – проехал второй

?. 4 автомобиль.

 

? Ответ: 252 километров.

 

570.126. (Опечатка в условии – 15 км/мин).

 

Скорость	Время	Расстояние
15 км/мин ?	10 мин 10 мин	? 552 км ?

Ответ: 12 км/мин.

630.137 – аналогичная.

539.120.

Скорость	Время	Расстояние
52 км/ч 74 км/ч	13 ч 13 ч	? ? км ?

Ответ: 1638 км.

691.149, 913.189 – аналогичные.

4. Движение в одном направлении. При этом движении объекты или сближаются (один догоняет другого), или удаляются друг от друга. Дополнительные величины, которые характеризуют движение: скорость сближения или скорость удаления. Они равны разности скоростей движущихся объектов.

74 (205.41). В 13 ч в рейс вышел междугородний автобус со скоростью 75 км/ч. В 19 ч по этому маршруту с такой же скоростью вышел другой автобус. На каком расстоянии друг от друга движутся эти автобусы?

Анализируя условие задачи, отмечаем:

* первый автобус вышел раньше второго (13 ч) и к тому времени, когда отправился второй автобус (19 ч), первый успел проехать некоторое расстояние;

* скорость автобусов одинаковая, поэтому расстояние между ними при движении будет сохраняться постоянным.

Условие задачи можно показать чертежом и таблицей:

75 км/ч

13 ч 19 ч

? км

Скорость	Время	Расстояние
75 км/ч	(19 - 13)ч	?

Решение.

1) 19 - 13 = 6 (ч) – столько времени был в пути первый

автобус, пока выехал второй,

2) 75 × 6 = 450 (км) – расстояние между автобусами.

Ответ: 450 километров.

75 (250.51). Мотоциклист выехал из города в 8 ч со скоростью 50 км/ч. В 9 ч вслед за ним выехал автомобиль со скоростью 75 км/ч. Когда автомобиль догонит мотоциклиста?

Мотоциклист выехал на 1 час раньше автомобиля (9 - 8 = 1) и проехал некоторое расстояние к тому времени, пока выехал автомобиль.

Чтобы догнать мотоциклиста, автомобилю надо ликвидировать образовавшуюся разность расстояний.

50 км/ч

8 ч 9ч

9 ч

75 (км/ч)

Чтобы найти, за сколько часов автомобиль догонит мотоциклиста, надо знать две величины: расстояние, которое образовалось между ними разность расстояний), и расстояние, которое может ликвидировать автомобиль за 1 ч (разность скоростей – скорость сближения).

Расстояние, которое образовалось между мотоциклистом и автомобилем, равно расстоянию, которое проехал мотоциклист с 8 ч до 9 ч (за 1 ч), т.е. равно 50 км.

Чтобы найти скорость сближения, надо знать скорость автомобиля и скорость мотоциклиста. Эти величины известны.

? 1) 75 - 50 = 25 (км/ч) – разность скоростей

(скорость сближения),

50:? 2) 50: 25 = 2 (ч) – понадобится автомобилю,

чтобы догнать мотоциклиста,

75 - 50

Теперь можно определить, в котором часу автомобиль догнал мотоциклиста. Это произошло через 2 ч после выезда автомобиля, т.е. в 11 ч (9 + 2 = 11).

Ответ: в 11 ч автомобиль догонит мотоциклиста.

334.70, 547.122 – аналогичные.

76 (288.60). Два спортсмена участвуют в забеге. Скорость одного 8 м/с, скорость другого 6 м/с. Через какое время один обгонит другого на 10 м?

Условие задачи можно представить так:

	Скорость	Время	Расстояние
Первый Другой	8 м/с 6 м/с	? Одинаковое	на 10 м больше

или чертежом:

6 м/с

 

8 м/с 10 м –?

 

Двигаясь с большей скоростью, первый спортсмен удаляется от другого, расстояние между ними увеличивается. Вопрос можно сформулировать так: за сколько минут между спортсменами станет расстояние 10 м?

? 1) 8 - 6 = 2 (м/с) – разность скоростей (скорость

удаления первого спортсмена от другого),

10:? 2) 10: 2 = 5 (сек) – за столько секунд расстояние

между спортсменами станет 10 м.

8 - 6 10: (8 - 6) = 5 (сек).

Ответ: 5 секунд.

5. Движение в воде. К этой группе относятся задачи о движении в воде, когда на скорость движения объекта влияет скорость течения воды. Движение в воде характеризуют следующие величины:

собственная скорость объекта (скорость в стоячей воде);

скорость течения воды;

скорость объекта по течению;

скорость объекта против течения.

Если направление движения объекта совпадает с направлением течения, то скорость объекта по течению равна сумме его собственной скорости и скорости течения. Если объект движется против течения, то его скорость уменьшается и равна разности собственной скорости и скорости течения.

77 (716.153). Расстояние между двумя пристанями по реке 180 км. За какое время катер пройдет это расстояние туда и обратно, если скорость катера в стоячей воде 15 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч? За какое время катер пройдет 360 км в стоячей воде?

Выражение «туда и обратно» означает, что катер должен пройти 180 км по течению реки и 180 км против течения.

Условие можно оформить таблицей:

	Скорость	Время	Расстояние
По течению Против течения	(15+3) км/ч (15 -3) км/ч	? ? ?	180 км 180 км
В стоячей воде	15 км/ч	?	360 км

 

Сначала ответим на первый вопрос задачи:

1) 15 + 3 = 18 (км/ч) – скорость катера по течению,

2) 180: 18 = 10 (ч) – понадобится катеру, чтобы проплыть

180 км по течению,

3) 15 - 3 = 12 (км/ч) – скорость катера против течения,

4) 180: 12 = 15 (ч) – понадобится катеру, чтобы проплыть

180 км против течения,

5) 10 + 15 = 25 (ч) – понадобится катеру на путь туда и обратно.

Или 180:(15 + 3) + 180:(15 - 3) = 25 (ч)

Ответ на второй вопрос:

360: 15 = 24 (ч)

Ответ: 25 часов, 24 часа.

78 (944.194). Спортсмен прошел на байдарке по течению реки за 1 ч 12 км 200 м, а против течения – 7 км 800 м. Найди скорость течения реки.

Скорость по течению = собственная скорость (скорость в стоячей воде) + скорость течения;

Скорость против течения = собственная скорость (скорость в стоячей воде) - скорость по течению.

12 км 200 м = 12 200 м

По течению за 1 ч

Против течения за 1 ч

7 км 800 м = 7800 м

Разница между скоростью по течению и скоростью против течения составляет удвоенную скорость течения реки.

1) 12 000 - 7800 = 4400 м/ч) – разница между скоростью по течению

и скоростью против течения,

2) 4400: 2 = 2200 (м/ч) – скорость течения.

Ответ: 2200 м/ч.

79 (73.223). Расстояние между речными пристанями 675 км. Теплоход прошел это расстояние по течению за 27 ч. Сколько времени затратит теплоход на обратный путь, если скорость течения реки 5 км/ч?

 

Скорость течения – 5 км/ч

Скорость по течению 5 км/ч

Скорость против течения 5 км/ч

	Скорость	Время	Расстояние
По течению Против течения	? ?	27 ч ?	675 км 675 км

1) 5 + 5 = 10 (км/ч) – разница между скоростью по течению

и скоростью против течения

2) 675: 27 = 25 (км/ч) – скорость теплохода по течению,

3) 25 - 10 = 15 (км/ч) – скорость против течения,

4) 675: 15 = 45 (ч) -- понадобится на путь против течения.

Ответ: 45 часов.

80 (926.191). Туристы проплыли на плотах расстояние между пристанями за 12 ч. За какое время катер пройдет расстояние в 7 раз большее, если его скорость в 6 раз больше скорости течения реки?

Требуется уточнить некоторые моменты условия задачи:

1) плот может двигаться только по течению реки, поэтому скорость плота равна скорости течения реки,

2) будем считать, что катер движется в том же направлении (по течению) и скорость его – скорость по течению,

3) «скорость катера в 6 раз больше скорости течения реки» означает, что скорость катера в 6 раз больше скорости плота.

Можно условие представить таблицей:

	Скорость	Время	Расстояние
Плот Катер	в 6 раз больше	12 ч ?	в 7 раз больше

Скорость и время при одинаковом расстоянии связаны обратно пропорциональной зависимостью, время и расстояние при одинаковой скорости – прямо пропорциональной.

С п о с о б 1.

1) 12: 6 = 2 (ч) – затратит катер на то же расстояние, что

проплыл плот.

2) 2 × 7 = 14 (ч) – затратит катер на расстояние в 7 раз большее,

чем проплыл плот.

(12: 6) × 7 = 14 (ч).

С п о с о б 2.

1 ) (12 × 7): 6 = 14 (ч).

Ответ: за 14 часов.

Среднее арифметическое

81 (930.192). При взвешивании 5 буханок хлеба оказалось, что они весят 1012 г, 989 г, 1004 г, 992 г и 998 г. Сколько в среднем весит буханка хлеба?

Краткую запись можно оформить так:

1012 г

989 г

1004 г? - средняя масса

992 г

998 г

По условию задачи требуется найти среднее арифметическое пяти чисел. Вопрос можно поставить так: сколько весила бы каждая буханка хлеба, если бы масса у них у всех была одинаковая?

Чтобы найти, сколько в среднем весит одна буханка хлеба, надо общую массу всего хлеба разделить на количество буханок.

(1012 + 989 + 1004 + 992 + 998): 5 = 4995: 5 = 999 (г).

Ответ: буханка хлеба весит в среднем 999 граммов.

937.193 – аналогичная.

82 (947.195). Чтобы определить урожайность пшеницы, сняли урожай с трех участков площадью по 1 кв. м. На одном из них урожай составил 300 г, на другом – 320 г, на третьем – 280 г. Найди среднюю урожайность пшеницы с 1 га.

Оформим краткую запись условия так:

300 г

320 г? -- средняя урожайность

280 г

Решение. Чтобы найти среднюю урожайность, надо весь урожай разделить на всю площадь.

(300 + 320 + 280): 3 = 300 (г/кв.м) – средняя урожайность пшеницы

с 1 кв. м.

1 га = 10 000 кв. м

Дальше условие представим так:

1 кв. м – 300 г

10 000 кв. м –? г

300 × 10 000 = 3 000 000 (г) = 3000 кг = 3 т.

Ответ: урожайность пшеницы с 1 гектара равна 3 тонны.

83 (933.192). Поезд находился в пути 3 ч. Два часа он шел со скоростью 75 км/ч. С какой скоростью поезд шел остальное время, если его средняя скорость оказалась равной 70 км/ч?

Из условия задачи следует, что все расстояние поезд прошел бы за 3 ч с одинаковой скоростью 70 км/ч.

Задачу решаем, рассуждая по схеме:

70. 3 75. 2

 

? -? 3 - 1

 

?:?

 

?

1) 70 × 3 = 210 (км) – всего проехал поезд,

2) 75 × 2 = 150 (км) – проехал поезд со скорость 75 км/ч,

3) 210 - 150 = 60 (км) – осталось проехать,

4) 3 - 2 = 1 (ч) – оставшееся время,

5) 60: 1 = 60 (км/ч) – скорость, с которой шел поезд

оставшееся время.

Задачу удобно решать, составив по условию уравнение.

Чтобы найти среднюю скорость поезда, надо весь путь, пройденный поездом, разделить на все время, затраченное на этот путь.

Известно, что 2 ч поезд ехал со скоростью 75 км/ч. Найдем путь:

75 × 2 = 150 (км). Расстояние, которое проехал поезд за третий час – неизвестно, обозначим его переменной х. Тогда весь путь, который проехал поезд за 3 ч, равен (150 + х) км. А чтобы найти среднюю скорость поезда, надо этот путь разделить на 3 ч. (150 + х): 3 – средняя скорость поезда. По условию известно, что средняя скорость поезда 70 км/ч. Следовательно, можно составить уравнение:

(150 + х): 3 = 70

150 + х = 70 × 3

150 + х = 210

х = 60

Ответ: 60 км/ч.

84 (30.215). Расстояние между двумя поселками 48 км. Из одного поселка в другой бежала лошадь со скоростью 12 км/ч. Обратно лошадь возвращалась с наездником со скоростью 6 км/ч. Какова средняя скорость движения лошади?

Вопрос можно сформулировать так: с какой одинаковой скоростью за то же время пробежала бы лошадь все расстояние?

Средняя скорость движения лошади получится, если всё расстояние, которое она пробежала, разделить на всё время, которое она затратила.

Условие задачи оформим таблицей:

	Скорость	Время	Расстояние
Туда Обратно	12 км/ч ? 6 км/ч	? ? ?	48 км ? 48 км

Рассуждая по схеме, получаем решение задачи:

?

 

?:?

 

48 + 48? +?

 

48: 12 48: 6

 

1) 48 + 48 = 96 (км) – расстояние, которое пробежала лошадь,

2) 48: 12 = 4 (ч) – затратила лошадь на путь из одного поселка

в другой,

3) 48: 6 = 8 (ч) – затратила лошадь на путь обратно,

4) 4 + 8 = 12 (ч) – затратила лошадь на весь путь,

5) 96: 12 = 8 (км/ч) – средняя скорость движения лошади.

Ответ: 8 км/ч.