Замкнутость и полнота ортонормированных систем.

Опр. Система ф-ций {j_n} из R([a;b]) наз-ся замкнутой в R([a;b]),если "fÎR([a;b]),"e>0 существует линейная комбинация конечного числа ф-ций послед.{j_k},такая что ||(f-p)||< e. Следующее свойство ряда Ф запишем виде теоремы:

Т1. Если {f_n}-замкнутая ортонормированная система ф-ций в R([a;b]),то ряд Ф любой ф-ции Î R([a;b])сход-ся в среднем квадратическом к самой ф-ции f,т.е. (15)при этом (р-во Парсеваля)(16)

Д-во:Пусть e>0-производная фиксиров. Поскольку {j_n}-замкнутая ортогональная система ф-и в R([a;b]) то ,что ||(f-p_e)||<e.Когда,учитывая и получим,что"n³m (17)

(17)=>(15),(16)

Отметим,что из сходимости ряда Ф в среднеквадр. не следует равномерная или поточная сходимость этого ряда

Опр. Система ф-ций {j_n}из R([a;b]) наз-ся полной если "fÎR([a;b]) с условием (f,j_n)=0,n=1,2… выполняется рввенство ||f||=0

Т. Всякая замкнутая ортонормированная система ф-ций {j_n} в R([a;b]) явл-ся полной в R([a;b])

Д. Пусть fÎR([a;b]), (f,j_n)=0,n=1,2…тогда коэффициент Ф ф-ции f c_n(f,j_n)=0,n=1,2…Следовательно из равенства Парсеваля ||f||<0 => система полная

 

Сходимость в среднем квадратичном. Равенство Парсеваля.

 

 

45 Тригонометрический ряд Фурье. Интегральное представление его сумм.

Последовательность функций 1,cosx,sinx,…,cosnx,sinnx -π≤x≤π (1).Называется тригонометрической системой и она является ортогональной.

Опр:Ряд вида (2), где a0,an,bnЄR, n=1,2….. называются тригонометрическим рядом Фурье.коэфициенты Фурье функции fЄR[-π; π] относительно тригонометрической системы функций (1) определяется формулами , n=1,2…(3)

Определение:Тригонометрический ряд (2) коэффициенты которого определяются формулами (3) называется тригонометрическим рядом Фурье функции f,а числа a0,an,bnЄR, n=1,2….. называются тригонометрическими коэфициентами ряда Фурье функции f.f= .

Все члены ряда Фурье функции f являются 2 π-периодическими и удовлетворяют условию

, через Rb обозначим множество всех функций f:R→R являющимися 2 π-периодическими

Тригонометрическая система (1) не является ортонормированной, при её нормировании получим следующую ортонормированную систему функций

-π≤x≤π (4). Коэфициенты функции fЄR[-π;π] по системе функций (4) имеют вид:

 

 

46) Сходимость тригонометрического ряда Фурье в точке.

Опр.: Функция непрерывна в точке x справа(слева), если

Опр.: Непрерывная справа(слева) функция имеет в точке х правую(левую) производную, если существует конечный предел

Если ф-ция непрерывна как справа, так и слева и в точке х, то функция имеет в точке х конечную производную , причем

Опр.: Точка называется регулярной точкой функции , если

Составим вспомогательную ф-цию . Если ф-ция регулярна в точке х, то

Лемма: Пусть - периодическая, абсолютно интегрируемая ф-ция на отрезке длины . Тогда интегралы

, где сходятся и расходятся одновременно.

Доказательство: В силу аддитивности

Интеграл является сходящимся, т.к. ф-ция явл. абсолютно интегрируемой ф-цией как сумма абсолютно интегрируемых функций, а функция 1/(sin(t/2)) является непрерывной на отрезке [ ].

47) Теорема Фейера

Теорема 5 (Фейера). Если функция f непрерывна на отрезке [—п,п] и принимает на его концах равные значения, то последовательность ее сумм Фейера сходится равномерно на этом отрезке к самой функции.

Доказательство. Пусть функция f непрерывна на отрезке [ - п, п] и f(-п) = f(п). Продолжим ее 2п-периодически на всю числовую ось R. Оценим разность f (x) — (x)

Зафиксируем точку x? [ — п, п] и зададим произвольное > 0. Имеем

(4.16)

где δ> 0 выбрано так, что значение модуля непрерывности w(; f) функции f удовлетворяет неравенству w(; f) < . Это возможно, так как функция f равномерно непрерывна на всей числовой оси R. Поэтому для любого x? R имеем

. (4.17)

Оставшиеся два интеграла оцениваются одинаковым способом: функция f ограничена на всей числовой прямой, т.е. существует такая постоянная M > 0, что для всех x? R имеет место неравенство |f(x)|<= M. Согласно следствию 2 из леммы 1, правая часть полученного неравенства стремится к нулю при n → , поэтому существует такое n₀, что при всех n > n₀ выполняется неравенство (4.18)

Аналогично, для любого x?R и всех n > n₀ имеем (4.19)

Из (4.16), (4.17), (4.18) и (4.19) для произвольного x? R и всех n > n₀ имеем |f (x) — (x)| < и, так как выбор номера n₀ не зависит от выбора точки x, то последовательность { _n(x)} сходится равномерно на всей
числовой оси R к функции f.