Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской волны. Принцип Гюйгенса. Интенсивность волны. Стоячие волны.

Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской волны. Принцип Гюйгенса. Интенсивность волны. Стоячие волны.

Если в упругую среду поместить колеблющееся тело (источник колебаний), то соседние с ним частицы среды тоже придут в колебательное движение. Колебание этих частиц передается (силами упругости) соседним частицам среды и т.д. Через некоторое время колебание охватит всю среду. Однако, оно будет совершаться с различными фазами: чем дальше расположена частица от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться и тем больше будет запаздывать по фазе ее колебание. Распространение колебаний в среде называется волновым процессом или волной. Пример: сейсмические волны, волны на воде. Направление распространения волны (колебания) называется лучом.

Уравнение плоской волны.

Пусть колебания источника О гармонические, т.е. описываются уравнением Х = Аsin wt.

Получим уравнение волны. Рассмотрим некоторую частицу С. Очевидно, что если частица О колеблется уже в течение времени t, то частица С колеблется еще только в течение времени (t – t), где t - время распространения колебаний от О до С. Тогда уравнение колебания для частицы С будет Х = Аsinw(t – t), t =y/ V, где V - cкорость распространения волны. Тогда Х = Аsinw(t – y/ V) – уравнение волны l = V T = V /n; V = l/T; w = 2p/T =2pn получим Х = Аsin2p(t/T – y/l) = Asin2p(nt –y/l) = Asin(wt -2py/l)= Asin(wt - кy), где к = 2p/l -волновое число. Если поменять оси координат, то y(x,t) = Asin(wt ± kx).

Принцип Гюйгенса

Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, занимает в данный момент времени положение 1; Согласно Гюйгенсу:

1)каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн (первое положение).

Это значит, что от нее, как из центра, начинает распространяться сферическая волна.

2)Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях, кроме направлений исходного фронта (второе положение принципа Гюйгенса).

Иными словами, колебания сохраняются только на внешней огибающей вторичных волн.

Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде.Т.к. прохождение волны сопровождается колебанием частиц среды, то вместе с волной перемещается в пространстве и энергия колебаний

.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Направление этого вектора совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль называется

и нтенсивностью волны (или плотностью потока энергии) и представляет собой отношение энергии E, переносимой волною сквозь площадь S_┴., перпендикулярную лучу, к продолжительности времени переноса ∆t и размеру площади. I = E/∆t∙S_┴; I=E, если ∆t=1 и S_┴=1. Единица интенсивности: ватт на метр в квадрате (Вт/м²). Тогда энергия колебания среды в единице объема равна Е = n₀mw²A²/2 = rw²A²/2, где r =n₀m. Очевидно, за 1с сквозь площадку в 1 см² переносится энергия, содержащаяся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 см² и высотой, равной V, следовательно интенсивность I =E V = r V w²A²/2.

 

T.е. интенсивность волны пропорциональна плотности среды и скорости, квадрату круговой частоты и квадрату амплитуды волны.

Стоячие волны. Y(x,t) = Asin(wt – kx) + Asin(wt + kx) = 2Asin wt coskx = B(x) sinwt – уравнение стоячей волны.

Такое сложение мы можем наблюдать при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, накладываясь друг на друга, дают результирующее колебание, называемое стоячей волной.

Амплитуда В зависит от координаты х: В(х) = 2А cos kx = 2Acos2px/l. В тех точках, где 2px/l = np (n = 0,1,2,...), амплитуда В достигает максимума, равного 2А. Эти точки наз. пучностями стоячей волны. Координата пучности равна х_n = ±nl/2. В точках, где 2pх/l = ±(n+1/2)p, амплитуда В обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел.

 

Эффект Доплера в акустике.

Звуковые волны – механические колебания в определенном интервале частот, распространяющиеся в упругой среде (ν = 16 – 20000 Гц).

Если источник или приемник звука перемещаются относительно среды, то частота ν₀ ≠ ν. Это явление называется э ффектом Доплера.

Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемых приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга.Предположим, что источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой, причем скорости V_ист и V_пр положительны при сближении приемника и источника, и отрицательны при их взаимном удалении.

1)Сначала рассмотрим случай, когда приемник приближается к источнику звука, а источник покоится, т.е. V_пр>0, V_ист =0. Тогда скорость распространения волны относительно приемника станет равной V + V_пр. Так как длина волны λ при этом не меняется, то ν = (V + V_пр)/λ = (V + V_пр)/VT = (V + V_пр) ν₀/V т.е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, в (V + V_пр)/V раз больше частоты колебаний источника.

2) Источник приближается к приемнику, а приемник покоится, т.е. V_ист >0, V_пр = 0. Поскольку скорость распространения колебаний зависит лишь от упругих свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние VT (равное длине волны λ = VT) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в направлении распространения волны расстояние V_истТ (рис.6), т.е. длина волны в направлении движения сократится и станет равной

λ^' = λ - V_истТ = (V – V_ист)Т,

Тогда

ν = V/ λ^' = V/(V – V_ист)Т = V ν₀/(V – V_ист)

3) Источник и приемник движутся относительно друг друга. Объединив оба уравнения, получим общее выражение для частоты ν, воспринимаемой приемником звука: ν = (V ± V_пр) ν₀/(V –+ V_ист)

Доплеровский эффект позволяет измерять скорость движения источников излучения или рассеивающих волны объектов (используется в радио- и гидролокации для измерения скорости движущихся целей). В астрофизике эффект Д. используется для определения скорости движения звезд и скорости вращения небесных тел. В спектроскопии доплеровское уширение линий излучения атомов и ионов дает способ неконтактного измерения их температуры.

 

Опыт Юнга

Прошедший через узкую длинную щель S свет, вследствие дифракции образует расходящийся пучок, который падает на второй экран B с двумя, параллельными между собой узкими щелями S ₁ и S ₂, расположенными близко друг к другу на равных расстояниях от S. Эти щели действуют как вторичные синфазные источники, и исходящие от них волны, перекрываясь, создают интерференционную картину, наблюдаемую на удаленном экране C. Измеряя ширину интерференционных полос, Юнг в 1802 г. впервые определил длины световых волн для разных цветов, хотя эти измерения и не были точными.

Зеркала Френеля

Две когерентные световые волны получаются в результате отражения от двух зеркал М и N, плоскости которых наклонены под небольшим углом φ друг к другу Источником служит узкая ярко освещенная щель S, параллельная ребру между зеркалами. Отраженные от зеркал пучки падают на экран, и в той области, где они перекрываются (поле интерференции), возникает интерференционная картина. От прямого попадания лучей от источника S экран защищен ширмой. Для расчета освещенности J экрана можно считать, что интерферирующие волны испускаются вторичными источниками и, представляющими собой мнимые изображения щели S в зеркалах. Поэтому J будет определяться формулой двулучевой интерференции, в которой расстояние l от источников до экрана следует заменить на, где - расстояние от S до ребра зеркал, b - расстояние от ребра до экрана (см. рис 8.4.). Расстояние d между вторичными источниками равно:. Поэтому ширина интерференционной полосы на экране равна:

 

 

Бипризма Френеля

 

В данном интерференционном опыте, также предложенном Френелем, для разделения исходной световой волны на две используют призму с углом при вершине, близким к 180°.Источником света служит ярко освещенная узкая щель S, параллельная преломляющему ребру бипризмы

Можно считать, что здесь образуются два близких мнимых изображения S ₁ и S ₂ источника S, так как каждая половина бипризмы отклоняет лучи на небольшой угол φ=(n-1)β

Полосы равной толщины

- интерференц. полосы, наблюдаемые при освещении тонких оптически прозрачных слоев (плёнок) переменной толщины пучком параллельных лучей и обрисовывающие линии равной оптической толщины.п. р. т. возникают, когда интерференц. картина локализована на самой плёнке. разность хода между параллельными монохроматич. лучами, отражёнными от верхней и нижней поверхностей плёнки (рис.), равна (n - показатель преломления плёнки, h- её толщина, - угол преломления)

 

Полосы равного наклона

система чередующихся светлых и тёмных полос, наблюдаемая на экране при освещении прозрачного слоя п о с т о я н н о й т о л щ и н ы (плоскопараллельной пластинки) непараллельным пучком монохроматич. излучения. каждая полоса создаётся лучами света s и s1 (рис.), падающими на поверхность слоя под одним и тем же углом (р. появление п. р. н. обусловлено интерференцией света, отражённого «т передней и задней границы пластинки. п. р. н. локализованы в бесконечности и для их наблюдения интерферирующие лучи собирают с помощью линзы l на экран э или фотопластинку.

 

Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской волны. Принцип Гюйгенса. Интенсивность волны. Стоячие волны.

Если в упругую среду поместить колеблющееся тело (источник колебаний), то соседние с ним частицы среды тоже придут в колебательное движение. Колебание этих частиц передается (силами упругости) соседним частицам среды и т.д. Через некоторое время колебание охватит всю среду. Однако, оно будет совершаться с различными фазами: чем дальше расположена частица от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться и тем больше будет запаздывать по фазе ее колебание. Распространение колебаний в среде называется волновым процессом или волной. Пример: сейсмические волны, волны на воде. Направление распространения волны (колебания) называется лучом.

Уравнение плоской волны.

Пусть колебания источника О гармонические, т.е. описываются уравнением Х = Аsin wt.

Получим уравнение волны. Рассмотрим некоторую частицу С. Очевидно, что если частица О колеблется уже в течение времени t, то частица С колеблется еще только в течение времени (t – t), где t - время распространения колебаний от О до С. Тогда уравнение колебания для частицы С будет Х = Аsinw(t – t), t =y/ V, где V - cкорость распространения волны. Тогда Х = Аsinw(t – y/ V) – уравнение волны l = V T = V /n; V = l/T; w = 2p/T =2pn получим Х = Аsin2p(t/T – y/l) = Asin2p(nt –y/l) = Asin(wt -2py/l)= Asin(wt - кy), где к = 2p/l -волновое число. Если поменять оси координат, то y(x,t) = Asin(wt ± kx).

Принцип Гюйгенса

Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, занимает в данный момент времени положение 1; Согласно Гюйгенсу:

1)каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн (первое положение).

Это значит, что от нее, как из центра, начинает распространяться сферическая волна.

2)Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях, кроме направлений исходного фронта (второе положение принципа Гюйгенса).

Иными словами, колебания сохраняются только на внешней огибающей вторичных волн.

Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде.Т.к. прохождение волны сопровождается колебанием частиц среды, то вместе с волной перемещается в пространстве и энергия колебаний

.

Бегущими волнами называются волны, которые переносят в пространстве энергию. Перенос энергии волнами количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Направление этого вектора совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль называется

и нтенсивностью волны (или плотностью потока энергии) и представляет собой отношение энергии E, переносимой волною сквозь площадь S_┴., перпендикулярную лучу, к продолжительности времени переноса ∆t и размеру площади. I = E/∆t∙S_┴; I=E, если ∆t=1 и S_┴=1. Единица интенсивности: ватт на метр в квадрате (Вт/м²). Тогда энергия колебания среды в единице объема равна Е = n₀mw²A²/2 = rw²A²/2, где r =n₀m. Очевидно, за 1с сквозь площадку в 1 см² переносится энергия, содержащаяся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 см² и высотой, равной V, следовательно интенсивность I =E V = r V w²A²/2.

 

T.е. интенсивность волны пропорциональна плотности среды и скорости, квадрату круговой частоты и квадрату амплитуды волны.

Стоячие волны. Y(x,t) = Asin(wt – kx) + Asin(wt + kx) = 2Asin wt coskx = B(x) sinwt – уравнение стоячей волны.

Такое сложение мы можем наблюдать при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, накладываясь друг на друга, дают результирующее колебание, называемое стоячей волной.

Амплитуда В зависит от координаты х: В(х) = 2А cos kx = 2Acos2px/l. В тех точках, где 2px/l = np (n = 0,1,2,...), амплитуда В достигает максимума, равного 2А. Эти точки наз. пучностями стоячей волны. Координата пучности равна х_n = ±nl/2. В точках, где 2pх/l = ±(n+1/2)p, амплитуда В обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Образование узла связано с тем, что волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противоположными фазами, в результате чего получается узел.

 

Эффект Доплера в акустике.

Звуковые волны – механические колебания в определенном интервале частот, распространяющиеся в упругой среде (ν = 16 – 20000 Гц).

Если источник или приемник звука перемещаются относительно среды, то частота ν₀ ≠ ν. Это явление называется э ффектом Доплера.

Эффектом Доплера называется изменение частоты колебаний, воспринимаемых приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга.Предположим, что источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой, причем скорости V_ист и V_пр положительны при сближении приемника и источника, и отрицательны при их взаимном удалении.

1)Сначала рассмотрим случай, когда приемник приближается к источнику звука, а источник покоится, т.е. V_пр>0, V_ист =0. Тогда скорость распространения волны относительно приемника станет равной V + V_пр. Так как длина волны λ при этом не меняется, то ν = (V + V_пр)/λ = (V + V_пр)/VT = (V + V_пр) ν₀/V т.е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, в (V + V_пр)/V раз больше частоты колебаний источника.

2) Источник приближается к приемнику, а приемник покоится, т.е. V_ист >0, V_пр = 0. Поскольку скорость распространения колебаний зависит лишь от упругих свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние VT (равное длине волны λ = VT) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в направлении распространения волны расстояние V_истТ (рис.6), т.е. длина волны в направлении движения сократится и станет равной

λ^' = λ - V_истТ = (V – V_ист)Т,

Тогда

ν = V/ λ^' = V/(V – V_ист)Т = V ν₀/(V – V_ист)

3) Источник и приемник движутся относительно друг друга. Объединив оба уравнения, получим общее выражение для частоты ν, воспринимаемой приемником звука: ν = (V ± V_пр) ν₀/(V –+ V_ист)

Доплеровский эффект позволяет измерять скорость движения источников излучения или рассеивающих волны объектов (используется в радио- и гидролокации для измерения скорости движущихся целей). В астрофизике эффект Д. используется для определения скорости движения звезд и скорости вращения небесных тел. В спектроскопии доплеровское уширение линий излучения атомов и ионов дает способ неконтактного измерения их температуры.