ТОП 10:

Эвольвента окружности, её свойства и уравнение



Эвольвента – это траектория точки прямой линии (производящей прямой), перекатывающейся без скольжения по окружности.

Образование эвольвенты можно представить как траекторию, описываемую остриём карандаша, привязанного к концу нити, сматываемой с катушки, установленной своей осью перпендикулярно плоскости листа бумаги.

Свойства эвольвенты

1) Нормаль к эвольвенте является касательной к основной окружности.

2) Центры кривизны эвольвенты лежат на основной окружности, так что основная окружность представляет собой эволюту, т. е. геометрическое место центров кривизны эвольвенты.

3) Радиус кривизны эвольвенты в данной точке равен отрезку производящей прямой, заключённому между данной точкой эвольвенты и точкой касания производящей прямой с основной окружностью, ρА = AC. В точке начала эвольвенты её радиус кривизны равен нулю, ρA0 = 0.

4) Радиус кривизны эвольвенты в данной точке равен дуге основной окружности, заключённой между точкой начала эвольвенты и точкой касания этой прямой с основной окружностью, ρA = C0C.

5) Правая и левая ветви эвольвенты симметричны.

6) Все точки эвольвенты лежат снаружи от основной окружности.

 

Уравнение эвольвенты

Для получения уравнения эвольвенты обратимся к рис. 3.3. Положение произвольной точки Ay эвольвенты в полярной системе координат определяется двумя координатами относительно её начального радиус-вектора OA0 (или OC0): длиной радиус-вектора Ry и углом θy. Радиус-вектор Ry определим из прямоугольного треугольника OAyCy:

Для определения полярного угла θy сначала выразим длину дуги основной окружности через её радиус и центральный угол:

Выразим теперь противолежащий углу αy катет AyCy в ∆OAyCy:

На основании четвёртого свойства эвольвенты имеем

 

Подставляя в это равенство соответствующие выражения и решая его относительно θy, получаем

.

В этих математических выражениях и на рис. 3.3 угол αy называется профильным углом эвольвенты. Разность между тангенсом какого-либо угла и самим углом называется эвольвентной функцией и обозначается тремя первыми буквами латинского названия эвольвенты involute, т. е. inv, так что окончательно уравнение имеет вид:

θy = invαy.

В математических справочниках приводятся таблицы эвольвентной функции, в которых аргумент αy изменяется от нуля до нескольких десятков градусов.

 

Элементы зубчатого колеса

Здесь рассматриваются те элементы колеса, которые относятся к его ободу, где располагаются зубья (рис. 3.4).

Шаг колеса pэто расстояние по делительной окружности между одноимёнными профилями двух соседних зубьев, p = π·m. Шаг включает два параметра – толщину зуба s и ширину впадины e. Если s = e, то имеем колесо с равноделённым шагом, в противном случае имеем колесо с неравноделённым шагом.

Делительная окружность (её радиус , в зацеплении двух колёс имеет индекс номера колеса):

– делит зуб на головку и ножку;

– модуль m на этой окружности имеет стандартное значение;

– радиус окружности имеет величину r = 0,5m ;

– в точке на делительной окружности профильный угол эвольвенты αy = 20º и обозначается буквой α без индекса.

Основная окружность является базовой для образования эвольвенты (от неё начинается эвольвентная часть зуба). Радиус этой окружности получается из рассмотрения прямоугольного треугольника с углом при вершине O, равным α, и одним из катетов, равным b, и гипотенузой, равной : b = ·cos α.

Окружность вершин является габаритной окружностью колеса, её радиус определяется формулой

,

где – высота головки зуба, причём . Множитель перед модулем называется коэффициентом высоты головки зуба и равен по величине 1, т. е. .

Диаметр окружности вершин является диаметром заготовки для изготовления зубчатого колеса.

Окружность впадин ограничивает зуб у основания, её радиус равен

,

где – высота ножки зуба, определяемая равенством , второе слагаемое в скобках называется коэффициентом радиального зазора и имеет величину .

Контур зуба от основной окружности до окружности вершин очерчен эвольвентой, которая сопрягается с окружностью впадин переходной кривой (эквидистантой удлинённой эвольвенты).







Последнее изменение этой страницы: 2017-02-22; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.233.215.196 (0.009 с.)