Случайные величины и их числовые характеристики.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ:.

1. СОБЫТИЕ -результат испытаний; 2.ИСПЫТАНИЕ -комплекс условий, при которых появляется данное случайное событие; 4.Случайным называют событие, наступление которого нельзя достоверно предвидеть; 5. МАССОВЫМИ называются случайные события, если они происходят одновременно в большом числе случаев, или многократно повторяются; 6. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА СОБЫТИЯ F(A) = m/n – это отношение числа m случаев, благоприятствующих данному событию к общему числу n испытаний; 7. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ P(A) = m/n - отношение числа m случаев благоприятствующих появлению события А, к общему числу возможных событий n - это классическое определение вероятности; 8. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ: Р(А) = lim m/n®¥ - вероятность случайного события есть ПРЕДЕЛ, к которому стремится относительная частота его появления при неограниченном увеличении числа наблюдений. Вероятность и относительная частота события А принимают значения в интервале от 0 до 1; 9. ДОСТОВЕРНЫЕ

события, которые происходят всегда (обязательно), или вероятность которых равна единице; 10. НЕВОЗМОЖНЫЕ события, которые не происходят никогда, или вероятность которых равна нулю; 11. НЕСОВМЕСТИМЫЕ события, когда при каждом испытании появление одного из возможных событий исключает появление остальных, т.е. они не могут происходить одновременно; 12. СОВМЕСТИМЫЕ события, которые могут происходить одновременно; 13. НЕЗАВИСИМЫЕ события, вероятность появления которых не зависит от наступления других событий; 14. ЗАВИСИМЫЕ события, это те вероятность наступления которых меняется в зависимости от наступления других событий; 14. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Р(В / А) означает вероятность события В при условии, что событие А произошло до этого; 15. ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ А₁ А₂..., А_n - это когда при каждом испытании обязательно наступает одно (и только одно) из этих событий, сумма вероятностей событий, составляющих полную группу РАВНА 1: Р(А1) + Р(А2) +... + Р(Аn) = 1; 16. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ события - это два единственно возможных несовместимых события называют, когда при каждом испытании обязательно происходит одно из них, или Р(А) + Р(`А) = 1; 17. СЛОЖНЫЕ – это события, состоящие из ОДНОВРЕМЕННОГО наступления нескольких простых событий; 18. ПРОСТЫЕ события – это те, которые состоят из наступления одного события.

ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: 1. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ: Вероятность появления при испытании одного (любого) из нескольких несовместимых событий Р (А или В) равна сумме их вероятностей: P(A или B) = P(A) + P(B); 2. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ: Р(А и В) = Р(А)· Р(В) -вероятность Р(А и В) сложного события, состоящего из совпадения двух независимых простых событий А и В, равна произведению вероятностей этих событий; 3. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ДЛЯ ЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ: Р(А и В) = Р(А)·Р(В / А) -вероятность Р(А и В) сложного события, состоящего из совпадения двух зависимых простых событий А и В (причем В зависит от А), равна произведению вероятности первого из них Р(А) на условную вероятность второго в предположении, что первое уже произошло; 4. ТЕОРЕМА О ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ: Р(А) = SP(H_i)· P(A/H_i) - вероятность события А, которое может произойти с одной из образующих полную группу гипотез (Н) равна сумме произведений вероятностей этих гипотез на вероятность события при каждой гипотезе; 5. ТЕОРЕМА БАЙЕСА: P(H_i/A) = [P(H_i)· P(A/H_i)]/ P(A) -вероятность гипотезы в результате которой могло произойти данное событие равна отношению произведения вероятности гипотезы на вероятность события при данной гипотезе к вероятности события.

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ И ЕГО СВОЙСТВА. УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ.

1. Информация – это совокупность сведений, сообщений о явлениях, процессах, предметах, привносящих новые знания об этих явлениях; 2. ИНФОРМАЦИОННАЯ ЭНТРОПИЯ - мера неопределенности событий; 3. КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ, которое численно равно уменьшению энтропии в результате наступления какого-либо события или после получения сообщения.

Информационная энтропия имеет одинаковую размерность с информацией. В качестве единицы количества информации наиболее широко используют БИТ - это количество информации, заключенное в сообщении о том, что произошло одно из двух равновероятных событий. 1000 байт называется килобайтом. Количество информации, соответствующее наступлению какого-либо одного из N равновероятных событий, рассчитывается по формуле Хартли: Н = log N = - logР. (Так как Р = 1/ N = N ^-1), а неравновозможные, то по формуле К.Шеннона: Н = - S Pi×logPi, где P_i – вероятность i -того события.

25.

Биореология.

БИОРЕОЛОГИЯ - учение о деформациях и текучести жидких сред организма.

Основной причиной, передвижения реальной жидкости по сосудам является разностью давлений в начале и в конце сосудов. В кровеносной системе эту разность давлений обеспечивает работа сердца.

Течение крови зависит как от свойств крови, так и от свойств кровеносных сосудов. Механические свойства кровеносных сосудов определяются главным образом свойствами коллагена, эластина и гладких мышечных волокон.

Деформация кровеносного сосуда как результат действия давления изнутри на упругий сосуд определяется уравнением Ламе:

d = pr/h, где d - механическое напряжение, p - давление, r - радиус внутренней части сосуда, h - толщина сосуда. Считая, что при растяжении сосуда объем его стенки не изменяется (площадь стенки возрастает, а толщина убывает), можно записать, что:

d = pr/h = prr/rh = pr ² / b, где rh = b - площадь сечения стенки сосуда.

 

Автоколебания.

Автоколебательными называются незатухающие колебания, существующие в какой – либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия.

Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы. Во многих случаях автоколебательные системы состоят из собственно колебательной системы, источника энергии и регулятора поступления энергии.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

Физика слуха.

Звуковая волна, пройдя наружное ухо, наталкивается на барабанную перепонку, приводя её в движение. Барабанная перепонка через систему слуховых косточек передаёт колебания во внутреннее ухо - улитку. Движение жидкости в вестибулярном и базилярном каналах внутреннего уха заставляет колебаться базилярную мембрану, стимулируя рецепторные клетки.

Среднее ухо системой косточек усиливает давление в 17 раз (или на 25дБ).

Внутреннее ухо заполнено жидкостью. Длина развёрнутой улитки 35мм. Благодаря неоднородным механическим свойствам базилярной мембраны, волны разной частоты приводят в движение различные её участки.

Слуховой аппарат очень чувствителен: пороговые колебания барабанной перепонки составляют 10^-11м.

Локализация источника звука основана на двух механизмах:

При низких частотах ухо улавливает разность фаз звуковой волны в левом и в правом ухе.

При высоких частотах ухо реагирует на разность интенсивностей звука, достигших левого и правого уха. Вокруг головы образуется звуковая тень и если разница будет в 1дБ то можно локализовать источник звука (с точностью + 10⁰).

Флюоресцентный анализ.

Основная формула дифракционной решетки может быть использована не только для определения длины волны, но и для решения обратной задачи – нахождения постоянной дифракционной решетки по известной длине волны.

Метод рентгеноструктурного анализа основан на определении параметров кристаллической решетки по дифракции монохроматических рентгеновских лучей.

Дифракция рентгеновских лучей имеет место как при прохождении их через кристалл, так и при отражении от него. Условие, необходимое для дифракции рентгеновских лучей: 2d·sinj=nl; где d –расстояние между атомными плоскостями; j - угол скольжения; n – порядок максимума (n=1,2,3,…).

Электронная микроскопия. В 1923 году французский физик де-Бройль высказал гипотезу о том, что вещество подобно свету должно обладать волновыми и корпускулярными свойствами. В частности, всякой движущейся частице должна соответствовать волна длиной: l = h/mv; где: m – масса микрочастицы; v – скорость микрочастицы; h – постоянная Планка. Весьма существенно то, что формула для дифракции рентгеновских лучей справедлива и в случае дифракции электронов. Значение длины волны, расчитанное по этой формуле совпадает с ее значением, найденным по формуле де-Бройля. Рассчитаем длину волны соответствующую электронным лучам, используемым в электронном микроскопе:

l = h/mv = 6,62·10^-34 дж·с/ 9,1·10^-31 кг·1,4·10⁸ м/с =» 5·10^-6 мкм

Электронный парамагнитный резонанс это явление резкого возрастания поглощения энергии электромагнитной волны системой парамагнитных частиц (электронов с некомпенсированными спинами), помещенных во внешнее магнитное поле, при резонансной частоте волны n_рез.

Ядерный магнитный резонанс - это явление резкого возрастания поглощения энергии электромагнитной волны системой атомных ядер, обладающих магнитным моментом, помещенных во внешнее магнитное поле, при резонансной частоте волны n_рез.

Флюоресцентный анализ дает возможность исследовать подвижность фосфолипидных молекул в мембране, оценить вязкость липидной фазы мембраны (так называемую микровязкость). Он основан на том, что так как в нормальном состоянии мембраны не флюоресцируют, то в мембрану вводят молекулы или полярные группы, способные к флуоресценции.

Электродиффузия. Уравнение Нернста – Планка.

Поскольку в диффузии участвуют не только нейтральные вещества, но и ионы разной полярности, Нернст и Планк предложили формулу:

Ф = -uRT (dc/dx) - cuz F (dj/dx)

где: u = D/RT (называется подвижностью молекул)

R - универсальная газовая постоянная;

T - абсолютная температура;

с - концентрация вещества;

z - валентность;

F - число Фарадея;

(dc/dx), (dj/dx) - градиент концентрации и градиент потенциала (то же, что электрическая напряжённость).

Это уравнение выведено из уравнения Теорелла: Ф = -cu (dm/dx), где m - электрохимический потенциал.

БИОПОТЕНЦИАЛЫ.

Измерение биопотенциалов является объективным, универсальным точным показателем течения физиологических функций различных органов.

Векторэлектрокардиография.

Электрический вектор сердца за один сердечный цикл описывает сложную пространственную кривую. Метод электрокардиографии состоит в регистрации электрического вектора сердца на протяжении кардиоцикла. Траектория перемещения конца электрического вектора сердца в трехмерном пространстве в течение кардиоцикла называется векторэлектрокардиограммой. Векторкардиограмма может быть представлена набором кривых, описываемых концом проекции вектора дипольного момента эквивалентного диполя на какую-либо плоскость в течении кардиоцикла. Если сделать запись ЭКГ в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (например, саггитальной и фронтальной) то они будут отличаться по форме и направлению, т.к. являются разными проекциями одного процесса. При их сложении (это делает прибор вектор-электрокардиограф) образуется сложная фигура по типу фигуры Лиссажу, которая может отражать функциональное состояние сердца, его проводящих и возбудимых тканей. Измеряя потенциалы f₀ на поверхности тела и определяя соответствующим образом r и a, легко определить электрический вектор сердца D₀, хотя действительные значения этого вектора остаются неизвестными. По данным таких измерений максимальное значение модуля вектора сердца составляет около 2 · 10^-5 А · м. В векторной электрокардиографии регистрируют два вида кривых, характеризующих вектор дипольного момента эквивалентного диполя сердца: 1) пространственная векторная электрокардиограмма (ВЭКГ), представляющая собой траекторию конца вектора D₀ в трехмерном пространстве в течение кардиоцикла; 2) плоские векторные электрокардиограммы (петли) - кривые, описываемые в течение кардиоцикла концом проекции вектора дипольного момента эквивалентного диполя на какую - либо плоскость. На практике обычно имеют дело с плоскими ВЭКГ. Для исследования ВЭКГ разработано несколько систем отведений, отличающихся по числу и расположению отводящих электродов на поверхности тела, выбору плоскостей для получения плоских ВЭКГ. Плоские ВЭКГ чаще всего анализируют в декартовой системе координат с началом, расположенным в геометрическом центре желудочков сердца или в центре среднего горизонтального (трасверсального) сечения грудной клетки. Направление осей относительно тела испытуемого: х - справа налево; у - сверху вниз; z - спереди назад. Плоские ВЭКГ получают в проекциях на горизонтальную, фронтальную и сагиттальные плоскости. При многих болезнях сердца форма плоских ВЭКГ резко изменяется, поэтому это используется в диагностических целях.

Интерференция света.

Интерференцией света называется такое сложение световых волн, в результате которого образуется устойчивая картина их усиления и ослабления. В обычных условиях часто встречается наложение световых волн от различных источников, но интерференция не наблюдается. Обязательным условием получения интерференции является когерентность источников световых волн. Когерентными называются такие источники света, для которых сдвиг фаз между испускаемыми ими волнами остается неизменным. Когерентные волны получают, “расщепляя” световую волну, идущую от источника. Такой способ применяется в методе Юнга, который состоит в том, что на пути сферической волны, идущей от источника S, устанавливается непрозрачная преграда с двумя щелями. Точки волновой поверхности, дошедшей до преграды становятся центрами когерентных вторичных волн, поэтому щели можно рассматривать как когерентные источники.

Чтобы понять каким образом возникает интерференционная картина, рассмотрим рисунок 1. На нем изображены волны длиной l, проходящие через щели S₁ и S₂ на расстоянии d одна от другой. За щелями волны распространяются по всем направлениям, но на рисунке показаны только в одном направлении. Из рисунка видно, что дополнительное расстояние, проходимое нижним лучом, равно d·sinq.

Усиливающая интерференция наблюдается на экране, если величина d·sinq равна целому числу длин волн: d·sinq = ml, m=0,1,2,…(усиливающая интерференция).

Значение m называется порядком интерференционной полосы.

Ослабляющая (гасящая) интерференция наблюдается в том случае, когда разность хода

d·sinq равна 1/2; 3/2, и т.д длин волн:

d·sinq = (m + ½)l, m=0,1,2,…(ослабляющая интерференция).

Рисунок 1. Интерференция света от двух щелей.

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ:.

1. СОБЫТИЕ -результат испытаний; 2.ИСПЫТАНИЕ -комплекс условий, при которых появляется данное случайное событие; 4.Случайным называют событие, наступление которого нельзя достоверно предвидеть; 5. МАССОВЫМИ называются случайные события, если они происходят одновременно в большом числе случаев, или многократно повторяются; 6. ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ЧАСТОТА СОБЫТИЯ F(A) = m/n – это отношение числа m случаев, благоприятствующих данному событию к общему числу n испытаний; 7. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ P(A) = m/n - отношение числа m случаев благоприятствующих появлению события А, к общему числу возможных событий n - это классическое определение вероятности; 8. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ: Р(А) = lim m/n®¥ - вероятность случайного события есть ПРЕДЕЛ, к которому стремится относительная частота его появления при неограниченном увеличении числа наблюдений. Вероятность и относительная частота события А принимают значения в интервале от 0 до 1; 9. ДОСТОВЕРНЫЕ

события, которые происходят всегда (обязательно), или вероятность которых равна единице; 10. НЕВОЗМОЖНЫЕ события, которые не происходят никогда, или вероятность которых равна нулю; 11. НЕСОВМЕСТИМЫЕ события, когда при каждом испытании появление одного из возможных событий исключает появление остальных, т.е. они не могут происходить одновременно; 12. СОВМЕСТИМЫЕ события, которые могут происходить одновременно; 13. НЕЗАВИСИМЫЕ события, вероятность появления которых не зависит от наступления других событий; 14. ЗАВИСИМЫЕ события, это те вероятность наступления которых меняется в зависимости от наступления других событий; 14. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Р(В / А) означает вероятность события В при условии, что событие А произошло до этого; 15. ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ А₁ А₂..., А_n - это когда при каждом испытании обязательно наступает одно (и только одно) из этих событий, сумма вероятностей событий, составляющих полную группу РАВНА 1: Р(А1) + Р(А2) +... + Р(Аn) = 1; 16. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ события - это два единственно возможных несовместимых события называют, когда при каждом испытании обязательно происходит одно из них, или Р(А) + Р(`А) = 1; 17. СЛОЖНЫЕ – это события, состоящие из ОДНОВРЕМЕННОГО наступления нескольких простых событий; 18. ПРОСТЫЕ события – это те, которые состоят из наступления одного события.

ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: 1. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ: Вероятность появления при испытании одного (любого) из нескольких несовместимых событий Р (А или В) равна сумме их вероятностей: P(A или B) = P(A) + P(B); 2. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ДЛЯ НЕЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ: Р(А и В) = Р(А)· Р(В) -вероятность Р(А и В) сложного события, состоящего из совпадения двух независимых простых событий А и В, равна произведению вероятностей этих событий; 3. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ДЛЯ ЗАВИСИМЫХ СОБЫТИЙ: Р(А и В) = Р(А)·Р(В / А) -вероятность Р(А и В) сложного события, состоящего из совпадения двух зависимых простых событий А и В (причем В зависит от А), равна произведению вероятности первого из них Р(А) на условную вероятность второго в предположении, что первое уже произошло; 4. ТЕОРЕМА О ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ: Р(А) = SP(H_i)· P(A/H_i) - вероятность события А, которое может произойти с одной из образующих полную группу гипотез (Н) равна сумме произведений вероятностей этих гипотез на вероятность события при каждой гипотезе; 5. ТЕОРЕМА БАЙЕСА: P(H_i/A) = [P(H_i)· P(A/H_i)]/ P(A) -вероятность гипотезы в результате которой могло произойти данное событие равна отношению произведения вероятности гипотезы на вероятность события при данной гипотезе к вероятности события.

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.

1. СЛУЧАЙНЫМИ называют величины, принимающие различные численные значения в зависимости от тех или случайных обстоятельств; 2. ДИСКРЕТНЫМИ называют случайные величины, которые принимают счетное множество числовых значений; 3. НЕПРЕРЫВНЫМИ называют величины, принимающие любые значения в определенном интервале. Случайные величины обычно обозначают как Х, У и т.д., а их возможные значения: х₁, х₂,..., х_n. Законом распределения случайной величины называют совокупность всех значений этой величины и соответствующих этим значениям вероятностей. Он может быть задан в табличной, графической или математической форме. Графическая форма закона распределения дискретной случайной величины называется ПОЛИГОНОМ ЧАСТОТ, который представляет собой ломаную линию, соединяющую точки с координатами (Хi,Pi). Графическая форма закона распределения непрерывной случайной величины называется ГИСТОГРАММОЙ, которая представляет собой совокупность смежных прямоугольников, основания которых равны между собой и расположены вдоль одной прямой, а их высоты равны отношению относительной частоты к основанию. ЧИСЛОВЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ дискретных случайных величин являются:

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ M(х) = x₁P₁ + x₂P₂ + x₃P₃ + … + x _n P_n =å x_iP_i – это сумма произведений всех возможных ее значений (Х_i) на вероятности этих значений P_i;

2. ДИСПЕРСИЯ случайной величины: D(x) = М [ X – M(x)]² = å[ X_i – M(x)]²·Pi - это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

3. СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ: d(х) =ÖD(x) - оно равно корню квадратному из дисперсии.

3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ:

1. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ - большая статистическая совокупность, из которой отбирается часть объектов для обследования (например, студенты института);

2. ВЫБОРКА ( выборочная совокупность ) – это множество объектов, случайныи образом отобранных из генеральной совокупности;

3. СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (вариационный ряд) - совокупность вариант (значений случайной величины) и соответствующих им частот;

4. ПОЛИГОН ЧАСТОТ – это ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (Xi,mi);

5. ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ – это значение вероятности, признанное достаточным для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании известных выборочных показателей;

6. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ х_В - e < m< х_В + e, гдеположительное число e характеризуетточностьоценки и оно равно: e = t s /Ön., где t – коэффициент Стьюдента, – это интервал, в котором с заданной (доверительной) вероятностью р находится генеральная средняя (истинное значение измеряемой величины):

7. ОШИБКА СРЕДНЕГО: m= S / Ö n