Характеристики вариационного ряда.

1. Показатели центра распределения.

- Среднее значение признака

 

- Мода (M_o)

M_o – значение признака, наиболее часто встречающееся в изучаемой совокупности. В дискретном вариационном ряду модой является варианта с наибольшей частотой или частостью.

В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле:

(*)

Модальный интервал – это интервал, имеющий наибольшую частоту.

 

Расчет модального значения для вариационных рядов с неравными интервалами осуществляется по формуле аналогичной (*), только вместо показателей частот или частостей используются показатели абсолютной или относительной плотности распределения, которые обеспечивают сопоставимость неравных интервалов. Показатели плотности распределения находятся как отношения частот (частостей) к величине интервала.

- абсолютная плотность распределения

- относительная плотность распределения

 

- Медиана (Me, Md)

Это варианта, расположенная в середине упорядоченного вариационного ряда, делящая его на две равные части так, что половина единиц совокупности имеет значение признака меньшее, чем медиана, а половина – большее, чем медиана.

xi
Упорядоч.

Me=3

 

Если n=2k+1, Me=X_k+1;

Если n=2k, Me=(X_k+X_k+1)/2

 

Нормальный закон распределения

Функция плотности вероятности для нормального закона распределения:

 

 

График такой функции называется кривой Гаусса.

 

Правило «трех сигм»:

Площадь под кривой Гаусса в диапазоне

составляет 68.3%

составляет 95.4%

составляет 99.7%

Моменты распределения

Начальным моментом k-го порядка называется величина:

 

Центральным моментом k-го порядка называется величина:

Дисперсия – это центральный момент 2-го порядка.

Средняя арифметическая – начальный момент 1-го порядка.

Основным моментом k-го порядка называется величина:

(безразмерная величина)

- Асимметрия

µ₁=M(X-M(x))=0

 

 

-Эксцесс

Для нормального распределения показатели асимметрии и эксцесса равны 0.

 

Степень существенности (или значимости) асимметрии и эксцесса можно оценить с помощью соответствующих среднеквадратических ошибок коэффициента асимметрии и эксцесса.

 

 

; ;

Если - то значение A_s существенно (или значимо).

Если - то значение E_x существенно (значимо).

Для симметричного распределения .

Правосторонняя асимметрия:

 

Квантили распределения.

Квантиль - это значение, делящее вариационный ряд (или ряд сгруппированных частот) на две части с определенными пропорциями в каждой из них.

К квантилям относятся:

- квартили (Q₁, Q₂, Q₃). Они делят упорядоченную выборку на 4 равные части.

- децили (D₁, D₂, …, D₉). Они делят упорядоченную выборку на 10 равных частей.

- процентили (P₁, P₂, …, P₉₉). Они делят упорядоченную выборку на 100 равных частей.

 

Пример: 64 студента выполняли тест из 15 вопросов. Оценка равняется количеству правильных ответов. Определим 30 процентиль, т.е. такое значение, меньше которого получили оценку 30% испытуемых.

 

 

Интервал	Оценка	Частота ni	Накопленная частота
4,5-5,5 5,5-6,5 6,5-7,5 7,5-8,5 8,5-9,5 9,5-10,5 10,5-11,5 11,5-12,5

 

Формула для нахождения j-ой процентили:

, ;

d – длина интервала,

x_н – левая (нижняя) граница интервала, содержащего накопленную частоту k,

n* - частота этого интервала,

∑n_i – накопленная к x_н частота.

 

k=(30*65)/100=19,5

В силу того, что 11 человек имеют оценку 6 или меньше, а 24 – 7 или меньше, то частота k=19,5 лежит в интервале [6,5; 7,5] => x_н=6,5; n*=13; ∑n_i=11, d=1.

P₃₀=6,5 +1(19,5-11)/13=7,15

Следовательно, 30% всех оценок за тест лежит ниже 7,15. Me=P₅₀=D₅=Q₂

 

Показатели вариации.

Абсолютные показатели вариации:

1). Размах (Range)

R=X_max - X_min

2). Среднее линейное отклонение

3). Среднее квадратическое отклонение (Standard Deviation)

Дисперсия (Variance):

4). Квартильное отклонение применяется иногда вместо размаха вариации

 

Относительные показатели:

1). Коэффициент осцилляции

2). Относительное линейное отклонение

3). Коэффициент вариации (наиболее часто применяемый)

4). Коэффициент децильной дифференциации

Правило сложения дисперсий.

Для сгруппированной статистической совокупности возможно вычисление 3-х видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.

Общая дисперсия характеризует изменение признака во всей изучаемой совокупности и рассчитывается по формуле:

,

i – индекс суммирования по группам.

j – индекс суммирования по элементам в группе.

Для оценки изменения признака внутри каждой i-ой группы вычисляют внутригрупповые дисперсии:

Обобщенную характеристику внутригруппового изменения для внутригрупповых средних вычисляют так:

Межгрупповая дисперсия показывает вариацию групповых средних вокруг средней величины признака в совокупности:

Общая дисперсия равна сумме межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий.