Свойства средней арифметической.

1).

2). - сумма квадратов отклонений от средней арифметической меньше суммы квадратов отклонений от произвольного числа А.

3).

4). - если каждую варианту умножить или разделить на число А, то среднее увеличится в А раз.

5).

6).

То есть, если каждый весовой коэффициент в формуле средней арифметической взвешенной умножить (разделить) на некоторое число, то средняя при этом не изменится.

 

Пример: Рассчитать среднюю выработку одного рабочего по следующим данным:

 

Рабочий	Произведено за неделю	Часовая выработка

 

 

Неверный способ: (10+12+13)/3

 

Средняя величина является реальной величиной, поскольку она рассчитывается на основе фактически существующих данных, но вместе с тем она является абстрактной величиной, поскольку получена в результате расчетов.

 

Изучение вариации.

Вариация – различие значений признака у отдельных единиц изучаемой совокупности в один и тот же период или момент времени.

Статистический анализ вариации предполагает выполнение следующих основных этапов:

1.Построение вариационного ряда.

2.Графическое изображение вариационного ряда.

3.Расчет показателей центра распределения и структурных характеристик вариационного ряда.

4.Расчет показателей размера и интенсивности вариации.

5.Оценка вариационного ряда на асимметрию и эксцесс.

 

Построение вариационного ряда - это упорядоченное распределение единиц совокупности по возрастающим или убывающим значениям признака и подсчет числа единиц с тем или иным его значением.

Варианты – это значения, которые принимает исследуемый признак.

Частоты – это абсолютная численность отдельных групп с различными значениями признака.

Частости (относительные частоты) – это удельные веса (доли) отдельных групп в общей численности совокупности.

; ;

Пример: Имеются данные о проценте выполнения сменных заданий для сотрудников фирмы. Упорядочив их по возрастанию, получим вариационный ряд.

 

№

Фамилия

О

К

С

А

Е

Р

В

Ж

Г

Б

З

Л

М

Т

%, (xi)

 

 

Ю	Я	Н	Э	М	Д

 

 

Объединив одинаковые значения X_i, получим таблицу, называемую рядом частот.

 

xi

ni

 

В вариационном ряду x_i получены по сильной шкале. Можно перейти в порядковую шкалу, сопоставив каждому значению ранг. Ранг равен порядковому номеру i значения x_i в упорядоченной выборке, если частота n_i данного значения равна 1. Если же частота значения n_i >1, то ранг значения x_i равен среднему арифметическому порядковых номеров этого значения в упорядоченной выборке.

 

xi	i	ранг
	3,4,5 10,11 17,18	10,5 17,5

 

Ряд сгруппированных частот.

Такой ряд строят в случае непрерывного признака (или для дискретного признака при объеме совокупности n>50).

При этом весь отрезок [x_min, x_max] разбивается на интервалы, число которых определяется, как правило, по формуле Стерджесса (Sturgess):

 

k=1+3,32lg(n)=1+1,44ln(n).

Длина интервала: .

Середины интервалов:

y₁=x_min

y₂=x_min+d

y₃=y₂+d

…

y_k=x_max

Находим частоту каждого интервала n_i: т.е. число значений признака, попавших в данный интервал. Причем, если значение x_i с четной частотой n_i попадает на границу интервала, то половину значений n_i/2 относят к левому интервалу, а другую - к праому. Если n_i нечетное, то к левому относят (n_i+1)/2.

Построим ряд сгруппированных частот для нашего примера:

x_min=105; x_max=145; n=20;

k=1+3,32lg(20)=5,3 (k=5)

d=(145-105)/(5-1)=10

 

Интервал	Середина интервала	Частота ni	Частость mi=ni/n
100-110 110-120 120-130 130-140 140-150			0,1 0,2 0,3 0,25 0,15

 

Гистограмма частот:

 

 

Полигон частостей:

 

 

Кумулята, огива: