D-изображения. Геометрия проецирования. Однородные координаты.

Различают три вида трехмерных моделей:

1. Каркасная

2. Поверхностная

3. Объемная (твердотельная,Solid)

При трехмерном геометрическом моделировании решается одна задача. Определить, принадлежит ли точка телу объекта или находится вне его. Решая однозначно данную задачу, можно алгоритмически построить все другие задачи, связанные с трехмерным моделированием.

1. Каркасная модель состоит из множества трехмерных точек и ребер их соединяющих. Основная задача трехмерной геометрической модели для каркасной модели сводится к тому, что мы можем не только определить, принадлежит ли точка ребру или нет.

Достоинство – простота описания. Недостаток – неоднозначное определение трехмерного объекта.

Каркасные модели, как правило, используются для быстрой визуализации.

2. Поверхностная модель может быть задана тремя способами:

2.1. Преобразование каркасной модели к поверхностной

2.2. Математический способ

2.3. Кинематический способ

В первом виде на каркасной модели через два ребра или три точки проводятся плоскости, определяющие необходимую сложную поверхность. Данная модель также носит название «плоскостная модель».

Второй метод (математический) в настоящее время представлен двумя направлениями: R-функциями и NURBS. R-функция представляет из себя полином некоторой степени от координат x и y.

R_n(x, y) =a₀+a₁x+b₁y+a₂x²+b₂y²+…+a_nxⁿ+b_nyⁿ

NURBS. Плоские или трехмерные сплайновые поверхности, полученные методом Бизье. Сплайн – плавная кривая, полученная из последовательности непрерывных точек по какому-то методу. Положение точек может быть изменено. Вводятся дополнительные точки, определяющие кривизну сплайна. Эти дополнительные точки строятся автоматически различными методами. NURBSы являются наиболее используемой моделью для построения наиболее сложных поверхностей.

Третий метод – кинематический. В данном методе сложная трехмерная поверхность строится из множества простых. Эти поверхности могут быть элементарными (плоскость, шар, тор и т. д.) или полученными сложным методом (вращение, сдвиг, вытяжка). Элементарные геометрические модели соединяются с использованием двух теоретико-множественных операций: объединения и пересечения, а также их комбинаций. В результате получается сложная поверхность, которую можно описать некоторым графом относительно точки начала (центра) плоскости.

Достоинства поверхностной модели – относительная простота описаниям в связи с этим несложные алгоритмы для ее получения. Недостатки – высокие требования к вычислительному устройству, неоднозначность.

Поверхностная модель наиболее широко используется в рекламных целях и для получения сложных поверхностей с целью получения объемной модели.

3. Объемная модель строится тремя методами:

3.1 Преобразование поверхностной модели в объемную.

3.2 Кинематический.

3.3 Восстановление объема по чертежу.

Метод преобразования поверхностной модели к объемной заключается в том, что к поверхности задается вектор по нормали, определяющий положение материала.

Достоинства: однозначное определение основной задачи 3D геометрического моделирования. Недостатки: высокая сложность алгоритмов и, как следствие, высокая стоимость ПО.

Проекция (лат. projectio — выбрасывание вперёд) — изображение трёхмерной фигуры на так называемой картинной (проекционной) плоскости.

Термин проекция также означает метод построения такого изображения и технические приёмы, в основе которых лежит этот метод.

Проекционный метод изображения предметов основан на их зрительном представлении. Если соединить все точки предмета прямыми линиями (проекционными лучами) с постоянной точкой О (центр проекции), в которой предполагается глаз наблюдателя, то на пересечении этих лучей с какой-либо плоскостью получается проекция всех точек предмета. Соединив эти точки прямыми линиями в том же порядке, как они соединены в предмете, получим на плоскости перспективное изображение предмета или центральную проекцию.

Если центр проекции бесконечно удалён от картинной плоскости, то говорят о параллельной проекции, а если при этом проекционные лучи падают перпендикулярно к плоскости — то об ортогональной проекции.

Проекция широко применяется в инженерной графике, архитектуре, живописи и картографии. Изучением проекций и методов проектирования занимается начертательная геометрия.

Однородные координаты — координаты, обладающие тем свойством, что определяемый ими объект не меняется при умножении всех координат на одно и то же число.

Однородными координатами вектора (х, у, z) является тройка чисел (x', y', z', w), где х = х' / w, у = y' / w, z = z' / w, а w — некоторое вещественное число (случай, когда w = 0 является особым).

Данные координаты не позволяют однозначно задать точку пространства. Например, (1, 1, 1, 1) и (2, 2, 2, 2) задают одну и ту же точку (1, 1, 1). При переходе к однородным координатам для точки с координатами (x, y, z) предлагается взять набор (x, y, z, 1). В процессе преобразований координата w может меняться. Обратный переход к декартовым координатам осуществляется посредством деления на w-координату.