Врахування випадкового відхилення

Для одержання якісних оцінок істотну роль грає виконання певних передумов МНК для випадкових відхилень. Найбільш важливі з них вимагають, щоб відхилення u _і були нормально розподіленими випадковими величинами з нульовим математичним сподіванням і сталою дисперсією s², а також не корелювали один з одним. За невиконання зазначених передумов оцінки, отримані за МНК виявляться ненадійними.

У випадках, які не вимагають сукупного логарифмування з адитивним випадковим фактором, виконання передумов МНК має місце, а отже, проблем з оцінюванням не виникає.

Для опису можливих проблем із випадковим відхиленням скористаємося моделлю

Y = аХ^β,

доповнивши її випадковим фактором, який може входити у співвідношення по-різному. Розглянемо три можливих випадки:

Y = аХ ^βu ^е (#) Y = аХ ^βu (##) Y = аХ ^β + u (###)

Дані моделі є нелінійними щодо параметрів (точніше, параметра β) При логарифмувавши кожне із цих співвідношень, відповідно одержимо:

1п Y = β₀ + β 1пХ + u, (#)

1п Y = β₀ + β 1пХ + 1п u, (# #)

1п Y = 1п (аХ ^β + u). (# # #).

· Використання (#) для оцінки параметрів в (*) не викликає ускладнень, пов'язаних із випадковим відхиленням.

· Перетворення (**) до (# #) призводить до перетворення випадкових відхилень u _і у 1п u _і. Використання МНК в (# #) вимагає, щоб відхилення 1п u _і задовольняли передумовам МНК: N(0, s²). Але це можливо тільки у випадку логарифмічно нормального розподілу СВ u _і з М(u _і) = і D (u_і) = ( - 1).

· Логарифмування співвідношення (***) не призводить до лінеаризації співвідношення щодо параметрів. У цьому випадку для знаходження оцінок необхідно використовувати певні ітераційні процедури оцінки нелінійних регресій.

 

 

Приклад. «Оцінювання параметрів нелінійної моделі»

Завдання:

1. Розрахувати різні види економетричних моделей між факторами Y, Х_1, Х₂:

• однофакторна: лінійна, поліноміальна, показникова;
• багатофакторна: лінійна, показникова.

 

2. Провести аналіз отриманих результатів на статистичну значущість.

3. Обрати кращу модель для прогнозування значень залежного фактора.

 

Y – обсяг молочної продукції (тис. т), запропонованої на ринку,

3,600
3,800
3,800
5,300
5,600
5,700
5,800
6,300
6,600
7,100
7,600
8,100
8,600
9,100
9,600

Х₁ – витрати на податки(ум. гр. од.), Х₂ – ціна за 1 л молока (ум. гр. од.)

X1	X2
1,470	1,200
1,200	1,000
1,140	0,900
1,080	1,200
1,050	1,300
0,900	1,400
0,840	1,500
0,780	1,600
0,750	1,200
0,630	1,100
0,580	1,100
0,570	1,200
0,570	1,000
0,540	2,000
0,510	1,900

 

	X	Y	Yл
	1,47	3,600	2,556
	1,20	3,800	4,222
	1,14	3,800	4,592
	1,08	5,300	4,963
	1,05	5,600	5,148
	0,90	5,700	6,074
	0,84	5,800	6,444
	0,78	6,300	6,814
	0,75	6,600	7,000
	0,63	7,100	7,740
	0,58	7,600	8,049
	0,57	8,100	8,111
	0,57	8,600	8,111
	0,54	9,100	8,296
	0,51	9,600	8,481
ЛІНIЙН	-6,172	11,629
	0,620	0,550
	0,884	0,676
	99,144	13,000
	45,332	5,944

1. Лінійна модель парної регресії: Ŷ = x + û

 

1. Лінійна модель парної регресії: Ŷ = x + û = 11,629 – 6,117 х + û,

2. Коефіцієнт детермінації R² = 0,884: на 88,4% зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки, 11,6 % припадає на невраховані фактори.

3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:

F = > F_таб =4,67 − модель є статистично значущою.

4. Перевірка статистичної значущості оцінки параметрів ậ₀ та ậ₁ моделі за Т- критерієм: t _ậ0 = 11,63 / 0,55 = 21,145, t ậ₁ =6,172 / 0,62 = 9,95 > t_таб =2,160

 

− оцінки параметрів моделі ậ₀ та ậ₁ є статистично значущими.

 

2. Квадратична модель парної регресії: Ŷ = Х + Х² + û,

Х	Z=X^2	Y	Yм	u =Y- Ŷ	u^2	Y-Yс	(Y-Yс)^2
1,47	2,161	3,600	3,652	-0,052	0,003	-2,840	8,066
1,20	1,440	3,800	4,141	-0,341	0,116	-2,640	6,970
1,14	1,300	3,800	4,357	-0,557	0,310	-2,640	6,970
1,08	1,166	5,300	4,611	0,689	0,474	-1,140	1,300
1,05	1,103	5,600	4,753	0,847	0,718	-0,840	0,706
0,90	0,810	5,700	5,607	0,093	0,009	-0,740	0,548
0,84	0,706	5,800	6,017	-0,217	0,047	-0,640	0,410
0,78	0,608	6,300	6,466	-0,166	0,027	-0,140	0,020
0,75	0,563	6,600	6,704	-0,104	0,011	0,160	0,026
0,63	0,397	7,100	7,757	-0,657	0,431	0,660	0,436
0,58	0,336	7,600	8,241	-0,641	0,411	1,160	1,346
0,57	0,325	8,100	8,341	-0,241	0,058	1,660	2,756
0,57	0,325	8,600	8,341	0,259	0,067	2,160	4,666
0,54	0,292	9,100	8,648	0,452	0,204	2,660	7,076
0,51	0,260	9,600	8,964	0,636	0,404	3,160	9,986
					3,291		51,276
5,393	-16,211	15,830	ЛІНIЙН
1,734	3,263	1,416
0,936	0,524	#Н/Д
87,488	12,000	#Н/Д	Y cер	6,440		R^2	0,936
47,985	3,291	#Н/Д

Проводимо лінеаризацію моделі - вводиться заміна Х² = Z, в результаті чого модель матиме вигляд: Ŷ = Х + Z + û, яку можна розрахувати за допомогою функції «ЛИНЕЙН».

 

 

 

1. Квадратична модель парної регресії: Ŷ = 15,83 -16,21∙Х + 5,393∙Х² + û,

2. Коефіцієнт детермінації R² = 0,936: на 93,6 % зміна обсягу молочної продукції (тис. т)

формується зміною витрат на податки (ум. гр. од.), 6,4 % припадає на невраховані фактори.

 

Причому значення коефіцієнта детермінації, розраховані за означенням і за допомогою функції «ЛИНЕЙН») співпадають.

 

3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:

F = > F_таб = 3,89 − модель є статистично значущою.

4. Перевірка статистичної значущості оцінки параметрів ậ₀, ậ₁ та ậ₂ моделі

за Т- критерієм: t_ậ0 = 15,83 / 1,416 = 11,179,

tậ₁ =16,211 / 3,263 = 4,97,

tậ₂ = 5,393 /1,734 = 3,11 > t_таб=2,179

− оцінки параметрів моделі ậ₀, ậ₁ та ậ₂ є статистично значущими.

 

5. Показникова модель: Ŷ =

· Для дослідження моделі Ŷ = проводиться лінеаризація − логарифмування залежності: .

· Для використання функції ЛIНIЙН, робиться заміна: Z = lnŶ, = , = , = , отримуємо модель простої регресії Z = , За МНК (функцією «ЛИНЕЙН») можна визначити незміщені оцінки коефіцієнтів і .

· Але коефіцієнт детермінації розраховується не для фактичних змінних Y і Х, а для їхлогарифмів. Тобто для оцінювання якості розрахованої моделі потрібно додатково розрахувати коефіцієнт детермінації:

 

№ п/п	Х	Y	Y-	(Y - )^2
Σ						→ 0

R² = 1 - = , D_у = , = .

· При цьому функція «ЛИНЕЙН» виводить значення змінних та і тому потрібно знайти значення та , де , а .

· Коефіцієнт є константою, яка характеризує сталу, тобто процентну зміну Y для даної процентної зміни X. Тому найчастіше подвійна логарифмічна модель називається моделлю постійної еластичності.

 

X	V = ln x	Y	Z = ln Y	Y	Yм	u^ =Y-Yл	(u^)^2	Y - Yс	(Y-Yс) ^2
1,47	0,385	3,600	1,281	3,600	3,536	0,064	0,004	-2,840	8,066
1,20	0,182	3,800	1,335	3,800	4,249	-0,449	0,202	-2,640	6,970
1,14	0,131	3,800	1,335	3,800	4,451	-0,651	0,424	-2,640	6,970
1,08	0,077	5,300	1,668	5,300	4,675	0,625	0,391	-1,140	1,300
1,05	0,049	5,600	1,723	5,600	4,796	0,804	0,647	-0,840	0,706
0,90	-0,105	5,700	1,740	5,700	5,514	0,186	0,035	-0,740	0,548
0,84	-0,174	5,800	1,758	5,800	5,870	-0,070	0,005	-0,640	0,410
0,78	-0,248	6,300	1,841	6,300	6,277	0,023	0,001	-0,140	0,020
0,75	-0,288	6,600	1,887	6,600	6,505	0,095	0,009	0,160	0,026
0,63	-0,462	7,100	1,960	7,100	7,617	-0,517	0,268	0,660	0,436
0,58	-0,545	7,600	2,028	7,600	8,210	-0,610	0,372	1,160	1,346
0,57	-0,562	8,100	2,092	8,100	8,340	-0,240	0,058	1,660	2,756
0,57	-0,562	8,600	2,152	8,600	8,340	0,260	0,067	2,160	4,666
0,54	-0,616	9,100	2,208	9,100	8,759	0,341	0,116	2,660	7,076
0,51	-0,673	9,600	2,262	9,600	9,225	0,375	0,141	3,160	9,986
							2,739		51,276
	ЛІНIЙН
-0,906	1,612		a0	5,012
0,068	0,027		a1	-0,906
0,932	0,085		R^2	0,947
179,075	13,000
1,307	0,095

 

1. Показникова модель парної регресії: Ŷ = 5,112 ∙Х ^-0,906 ∙ ,

2. Коефіцієнт детермінації R² = 0,947: на 94,7 % зміна обсягу молочної продукції. формується зміною витрат на податки (ум.гр.од.), 5,3 % припадає на невраховані фактори.

3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:

F = > F_таб = 3,89 − модель є статистично значущою.

4. Коефіцієнт = - 0,906 є константою, яка характеризує сталу, тобто процентну зміну Y для процентної зміни фактора Х₁ – витрат на податки.

 

 

4. Лінійна економетрична багатофакторна модель: Y = а₀ + а₁ X₁ + а₂X₂ + u.

1,09	-5,69	9,80
0,55	0,61	1,05
0,91	0,61	#Н/Д
62,53	12,00	#Н/Д
46,79	4,49	#Н/Д

За МНК (функцією «ЛИНЕЙН») можна визначити незміщені оцінки коефіцієнтів цієї моделі

 

 

1. Лінійна модель множинної регресії:

Ŷ = Х₁ + Х₂ + û = 9,80 – 5,69 Х₁ + 1,09 Х_{2 +} û,

2. Коефіцієнт детермінації R² = 0,91: на 91% зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки і ціною молока, 9 % припадає на невраховані фактори.

3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:

F = > F_таб =3,89 − модель є статистично значущою.

4. Перевірка статистичної значущості оцінки параметрів моделі ậ₀, ậ₁ та ậ₂ моделі за Т- критерієм: t_ậ0 = 9,80 / 1,05 = 9,33, tậ₁ =5,69 / 0,61 = 9,32 7 > t_таб =2,179,

tậ₃ = 1,09 /0,55 = 1,98 < t_таб =2,179

− оцінки параметрів моделі ậ₀ та ậ₁ є статистично значущими,

оцінка параметру ậ₂ є статистично незначущою.

5. Нелінійна економетрична багатофакторна модель Ŷ =.

Для дослідження моделі Ŷ = , проводиться лінеаризація − логарифмування залежності: , а для використання функції ЛIНIЙН, робиться заміна: Z = lnŶ, = , = , = , = , = .

Отримуємо модель лінійної множинної регресії і визначаємо незміщені оцінки коефіцієнтів , і . Аналогічно проводимо зворотну заміну: , , а .Коефіцієнти , є константами, які характеризує сталу, тобто процентну зміну Y для процентної зміни відповідних факторів X₁ і Х_2.

 

Але коефіцієнт детермінації розраховується не для фактичних змінних Y і X₁ і Х₂, а для їхлогарифмів. Тобто для оцінювання якості розрахованої моделі потрібно додатково розрахувати коефіцієнти детермінації:

R² = 1 - = , D_у = , = .

 

 

X1	X2	V1 = lnX1	V2 =lnX2	Y	Z = ln Y	Ŷ	u^ = Y- Ŷ	(u^)^2	Y - Yс	(Y-Yс)^2
1,470	1,200	0,385	0,182	3,600	1,281	3,610	-0,010	0,000	-2,840	8,066
1,200	1,000	0,182	0,000	3,800	1,335	4,138	-0,338	0,114	-2,640	6,970
1,140	0,900	0,131	-0,105	3,800	1,335	4,233	-0,433	0,187	-2,640	6,970
1,080	1,200	0,077	0,182	5,300	1,668	4,695	0,605	0,365	-1,140	1,300
1,050	1,300	0,049	0,262	5,600	1,723	4,887	0,713	0,508	-0,840	0,706
0,900	1,400	-0,105	0,336	5,700	1,740	5,657	0,043	0,002	-0,740	0,548
0,840	1,500	-0,174	0,405	5,800	1,758	6,083	-0,283	0,080	-0,640	0,410
0,780	1,600	-0,248	0,470	6,300	1,841	6,564	-0,264	0,070	-0,140	0,020
0,750	1,200	-0,288	0,182	6,600	1,887	6,407	0,193	0,037	0,160	0,026
0,630	1,100	-0,462	0,095	7,100	1,960	7,305	-0,205	0,042	0,660	0,436
0,580	1,100	-0,545	0,095	7,600	2,028	7,838	-0,238	0,057	1,160	1,346
0,570	1,200	-0,562	0,182	8,100	2,092	8,095	0,005	0,000	1,660	2,756
0,570	1,000	-0,562	0,000	8,600	2,152	7,805	0,795	0,632	2,160	4,666
0,540	2,000	-0,616	0,693	9,100	2,208	9,391	-0,291	0,085	2,660	7,076
0,510	1,900	-0,673	0,642	9,600	2,262	9,759	-0,159	0,025	3,160	9,986
	ЛІНIЙН							2,205		51,276
0,200	-0,852	1,576		a0	4,834
0,096	0,065	0,030		a1	-0,852
0,950	0,076	#Н/Д		a2	0,200
115,108	12,000	#Н/Д		R^2	0,957
1,332	0,069	#Н/Д

 

1. Показникова модель множинної регресії: Ŷ = 4,834 ∙Х₁ ^-0,852 ∙ Х₂^0,200 ,

2. Коефіцієнт детермінації R² = 0,957: на 95,7 % зміна обсягу молочної продукції (тис. т) формується зміною витрат на податки і ціною молока (ум. гр. од.), 4,3 % припадає на невраховані фактори.

3. Перевірка загальної статистичної значущості моделі за F- критерієм:

F = > F_таб = 3,89 − модель є статистично значущою.

4. Коефіцієнти = - 0,852, = 0,200 є константами, яка характеризують сталу, тобто процентну зміну Y для процентної зміни фактора Х₁ – витрат на податки і Х₂ – ціни молока.

Висновок: Результати лабораторної роботи вказують на те, що найдоцільнішою для використання є нелінійна економетрична багатофакторна модель, коефіцієнт детермінації якої є найбільшим, він дорівнює 0,957.