Нелінійні регресії 1-го класу

Поліноміальна модель

Степенева функція виду Y = а₀ + а₁ Х₁ + а ₂ Х ² +... + а _т Х ^т + u, що часто характеризує ту чи іншу економічну залежність можна звести до лінійної регресійної моделі. Заміняючи X на Х₁, X² на Х₂,..., Х^т на Х_т, одержимо модель множинної лінійної регресїі із т змінними Х₁, Х₂, …, Х_т: Y = а ₀ + а ₁ Х₁ + а₂ X₂ +... + а _mX_m + u, параметри якої знаходяться за МНК (за допомогою статистичної функції «ЛИНЕЙН»).

При цьому для оцінювання тісноти лінійного зв’язку можна використовувати лінійний коефіцієнт кореляції.

· Кубічна функція Y = а₀ + а₁X + а₂ Х ² + а ₃ Х ³ + u у мікроекономіці моделює залежність загальних витрат ТС від об'єму випуску Q (рис. 3,а).

· Аналогічно квадратична функція Y = а₀ + а₁Х + а₂ Х ² + u може характеризувати залежність між об'ємом випуску Q і середніми (АС)або граничними (МС) витратами (рис.3, б); або між витратами на рекламу C і прибутком π (рис.3, в) тощо.

Рис.3

Гіперболічна модель

Гіперболічна модель у загальному випадку має та­кий вигляд: Y = a₀ + a₁ · + u.

Її можна звести до лінійної регресійної моделі, заміняючи 1/ X на Z. Графіки гіперболічних моделей визначаються знаками параметрів â_0, â₁.

· â₀ < 0, â₁ > 0: на рис. 4 зображена так звана крива Філліпса.

Модель Y = a₀ + a₁ · + u використовується для аналізу залежності між зміною заробітної плати Y та рівнем безробіття X (у %).

 

 

Рис. 4

· При â₀ > 0, â₁ > 0 крива залежності між факторними ознаками Y та X набуде вигляду:

 

Рис.5

Така залежність, що зображена на рис. кривою, має міс­це при дослідженні зв'язку між середніми фіксованими витрата­ми Y і обсягом випуску продукції X.

 

· â₀ > 0, â₁ < 0: кpива залежності між змінними Y та X набере вигляду:

 

 

Рис.6

Зображена функція – це функція Торнквіста, за допомогою якої описується залежність між попитом Y на товари першої необхідності й доходом X. Шведський економіст П.Торнквіст запропонував спеціальні функції попиту для груп товарів першої, другої необхідності, предметів розкоші (рис. 7):

 

Рис. 7. Функції Торнквіста

 

· - функція Торнквіста для товарів I необхідності: зростання попиту на першочергові товари зі зростанням доходу поступово уповільнюється і має границю (крива попиту асимптотично наближається до прямої );

· , де - функція Торнквіста на товари II необхідності має свою границю більш вищого рівня (), причому попит на групу цих товарів з’являється лише за умови досягнення доходу рівня ;

· , де - функція Торнквіста для предметів розкошу: не має границі, і попит на ці товари виникає тільки за умови підвищення доходу рівня і далі зростає дуже швидко.

Нелінійні регресії 2-го класу

Показникова моделі

Модель Y = ае^βх досить широко застосовується в економетричному аналізі. Найбільш важливим її застосуванням є ситуація, коли аналізується зміна фактора Y із постійним темпом приросту в часі: X символічно заміняється змінною t: Y = а е^βt.

Степенева модель

Нехай деяка економічна залежність моделюється формулою Y = а₀ Х ^{а1 (*)},

де а₀ і а₁ - параметри моделі, що підлягають визначенню. Ця функція може характеризувати:

· залежність попиту Y на благо від його ціни X (у цьому випадку (а₁ < 0) або від доходу X (у цьому випадку а₁ > 0); при такій інтерпретації змінних X і Y функція називається функцією Енгеля;

· залежність обсягу випуску Y від використання ресурсу X (виробнича функція), 0 < а₁ < 1.

 

Модель (*) не є лінійною функцією відносно X (похідна залежної змінної Y по X, щовказує на зміну Y щодо зміни X, буде залежати від X: ),тобто не буде константою, що властиве лише нелінійним моделям.

Стандартним підходом до аналізу функцій даного роду в економетриці є логарифмування за експонентою е: 1п Y =1п а₀ + а₁ ln X.

Після заміни 1п а₀ = β_о, а₁ = β церівняння (6) матиме вигляд 1п Y = β_о + β· lnX.

 

З метою статистичної оцінки коефіцієнтів введемо до моделі випадкову похибку u й одержимо так звану подвійну логарифмічну модель (і залежна, і пояснююча змінна задані в логарифмічному вигляді): 1п Y = β₀ + β ln Х + u.

Дане рівняння є лінійним відносно 1п Х і 1п Y, а також щодо параметрів β₀ і β. Вводячи заміни Y* = 1п Y і Х* = 1пХ, цю модель можна переписати у вигляді: Y* = β_о + β Х* + u.

Отримана модель є лінійною моделлю. Якщо всі необхідні передумови класичної лінійної регресійної моделі для неї виконуються, то за МНК («ЛIНIЙН») можна визначити незміщені оцінки коефіцієнтів β_о і β. Але при цьому коефіцієнт детермінації розраховується не для фактичних зміннихYі Х, а для їх логарифмів. Тобто для оцінювання якості розрахованої моделі потрібно додатково розрахувати коефіцієнти детермінації:

 

№ п/п	Х	Y	Y-	(Y- )^2
Σ						→ 0

R² = 1 - = , D_у = , = .

Коефіцієнт β є константою, яка характеризує сталу, тобто процентну зміну Y для даної процентної зміни X. Тому найчастіше подвійна логарифмічна модель називається моделлю постійної еластичності.

Дійсно, продиференціювавши ліву й праву частини (7) по X, отримаємо:

,

Дана модель легко узагальнюється на більшу кількість змінних. Наприклад,

1п Y = β₀ + β₁ lnX₁ + β ₂ lnX₂ + u.

Тут коефіцієнти β ₁, β₂ є еластичностями змінної Y за змінними X₁ і Х₂ відповідно.

Напівлогарифмічні моделі

Моделі виду Ln Y = βо + βХ + u, (**), Y = βо + β lnХ + u (***)

називаються напівлогарифмічними моделями.

Лог - лінійна модель

Напівлогарифмічна модель (**) легко зводиться до лінійної моделі заміною Y* = 1пY. Коефіцієнт β y моделі (**) характеризує темп приросту змінної Y по змінній X, тобто характеризує відношення відносної зміни Y до абсолютної зміни X.

Дійсно, продиференціювавши (**) по X, маємо:

,

Помноживши β на 100, одержимо процентну зміну змінної Y (темп приросту змінної Y). Тому напівлогарифмічна модель (**) зазвичай використовується для вимірювання темпу приросту економічних показників: наприклад, при аналізі банківського вкладу за первісним внеском й процентною ставкою, при дослідженні залежності приросту об'єму випуску від відносного (процентного) збільшення витрат ресурсу, бюджетного дефіциту від темпу росту ВНП, темпу росту інфляції від об'єму грошової маси тощо.

До такої моделі зводиться залежність, відомa в банківському й фінансовому аналізі:

Y_t = Y₀ (1 + r) ^t,

де Y_о - початкова величина змінної Y (наприклад, первісний внесок у банку);

r - складний темп приросту величини Y (процентна ставка);

Y_t - значення величини Y нa момент часу t (внесок дo банкy нa момент часу t).

Прологарифмувавши попередній вираз маємо: 1п Y_t = 1п Y₀ + t ·1п(1 + r).

Уведемо позначення: 1п Y ₀ = β₀ , 1п(1 + r) = β. Тоді отримаємо таку модель:

1п Y_t = β₀ + β t + u _t.

В цій моделі використали додатково випадковий доданок u _t (вразі можливої мінливості процентної ставки). Крім того, співвідношення β = 1п(1 + r) визначає темп приросту r показника Y: 1 + r = e^β, r = 1 - e^β.

При цьому коефіцієнт β визначає миттєвий темп приросту, а коефіцієнт r – узагальнений (складний) темп приросту величини Y.