Тема 2. Принципи побудови економетричних моделей.

Парна та множинна лінійна регресія

 

Метод найменших квадратів (МНК) та передумови його використання для лінійних економетричних моделей. Оператор оцінювання МНК. Властивості оцінок параметрів.

Парна лінійна регресія.

Множинна лінійна регресія.

Перевірка достовірності моделі та оцінок її параметрів:

· розрахунок та аналіз значень коефіцієнтів детермінації та кореляції;

· перевірка загальної якості моделі;

· перевірка статистичної значущості оцінок параметрів моделі та побудова довірчих інтервалів для оцінок параметрів моделі;

Економічний аналіз побудованої моделі: середня ефективність впливу чинників, гранична ефективність та коефіцієнти еластичності.

Прогнозування на основі економетричних моделей: точковий та інтервальний прогноз.

 

Тема 3: Нелінійні економетричні моделі

Нелінійні моделі:

*поліноміальні,

* гіперболічні,

*показникові моделі.

Виробнича функція Кобба-Дугласа.

Лінеаризація нелінійних моделей.

Оцінка параметрів лінеаризованої моделі МНК.

Приклади застосування нелінійних функцій в економіці.

 

Тема 4. Фіктивні змінні в економетричних моделях

Врахування якісних факторів в лінійних економетричних моделях за допомогою фіктивних змінних.

Моделі з фіктивними незалежними змінними:

- моделі, що містять тільки якісні незалежні змінні;

- моделі в яких незалежні змінні носять як якісний так і кількісний характер.

 

Тема 5. Мультиколінеарність

 

Моделі з порушенням передумов використання МНК: мультиколінеарність.

Мультиколінеарність: її суть та наслідки.

Тестування наявності мультиколінеарності в моделі. Алгоритм Фаррара-Глобера.

Методи усунення мультиколінеарності.

 

Тема 6. Автокореляція залишків

Моделі з порушенням передумов використання МНК: автокореляція залишків.

Суть та наслідки автокореляції залишків.

Методи виявлення автокореляції залишків в моделі.

Методи знаходження оцінок параметрів моделі з автокорельованими залишками.

 

Тема 7. Гетероскедастичність залишків

Моделі з порушенням передумов використання МНК: гетероскедастичність залишків.

Гетероскедастичність, її суть та наслідки.

Тестування наявності гетероскедастичності стохастичної складової моделі.

Методи оцінювання параметрів моделі з гетероскедастичними залишками.

 

 

Приклади типових завдань

1. Розрахувати економетричну модель парної регресії між факторами Х і У:

Ŷ = ǎ₀ + ǎ₁·х. Охарактеризувати економічний зміст оцінок параметрів моделі ǎ_0, ǎ_1.

_· Розрахувати за нею прогнозоване значення залежного фактора У_пр

· Побудувати графік моделі парної регресії в кореляційному полі – “хмарі розсіювання”.

· Розрахувати коефіцієнт детермінації R² і коефіцієнт кореляції R. ^. Який зміст цих коефіцієнтів?

· Оцінити якість отриманої моделі за F-, t – критеріями з рівнем значущості α = 0,05.

.

у
х

 

 

Х – витрати на маркетинг, (тис. грн..), У – прибуток, (млн. грн.).

 

2. В результаті дослідження чинників економічного зростання побудовано таку модель (обсяг вибірки – 73 країни):

Y = 1,4 – 0,52X + 0,17 X + 11,16 X – 0,38 X – 4,75 X + и,

(5,9) (4,34) (3,91) (0,79) (2,7)

де Y – темп росту середнього значення ВВП на душу населення у % до базового періоду;

X – реальні середні значення ВВП на душу населення, %;

X – бюджетний дефіцит у % до ВВП;

X – обсяг інвестицій, % до ВВП;

X₄ – зовнішній борг, % до ВВП;

X – рівень інфляції, %.

В дужках вказані спостережувані значення t-критерія. Відомий також коефіцієнт детермінації R² = 0,78.

1) Перевірити загальну якість даної моделі.

2) Перевірити значущість параметрів моделі при рівні значущості a = 0,05 та записати, враховуючи зроблені висновки, теоретичну модель.

3) Побудувати довірчі інтервали для параметрів теоретичної моделі при рівні надійності g = 0,95.

4) Визначити частинні коефіцієнти еластичності.

5) Охарактеризувати економічний зміст оцінок параметрів моделі ǎ_0, ǎ_1.

3. Побудовано модель залежності середньомісячної ринкової ціни акцій підприємства (Y, грн./акція) від обсягу сплачених дивідендів на акцію (Х₁, грн./місяць) та обсягу коштів, спрямованих підприємством на розширення виробництва (Х₂, сотні тис. грн. /місяць):

y_i = 2,4 + 1,6 х_i1 + 0,9 х_i2 + е_i.

Відомо також, що = 10,5, , n = 20.

1) Охарактеризувати економічний зміст оцінок параметрів моделі ǎ_0, ǎ_1.

2) Побудувати точковий та інтервальні прогнози для залежної змінної, якщо х_пр.1 = 10, х_пр.2 = 2, а рівень надійності g = 0,95.

4. Розрахована регресійна модель залежності прибутку (У) від інвестицій (Х₁), основного фонду виробництва (Х₂ ), фонду робочого часу (Х₃) за 20 спостереженнями:

 

0,140967	-0,41125	0,882323	-21,1336
0,076457	0,289052	0,215299	9,011057
0,973764	1,188204	# н/д	# н/д
148,4617		# н/д	# н/д
628,808	16,94196	# н/д	# н/д

.

1. Перевірити загальну якість даної моделі.

2. Перевірити значущість параметрів моделі при рівні значущості a = 0,05 та записати, враховуючи зроблені висновки, теоретичну модель.

3. Побудувати довірчі інтервали для параметрів теоретичної моделі.

4. Визначити частинні коефіцієнти еластичності.

5. Охарактеризувати економічний зміст оцінок параметрів моделі ǎ_0, ǎ_1.

5. Аналізується прибуток підприємства Y (млн.$) в залежності від витрат на рекламу Х (млн.$). За спостереженнями на протязі 9 років отримані наступні дані:

 

Y	5	7	13	15	20	25	22	20	17
X	0,8	1	1,8	2,5	4	5,7	7,5	8,3	8,8

 

1) Побудуйте кореляційне поле і висуньте гіпотезу, щодо виду залежності між показниками.

2) Оцініть за МНК параметри лінійної регресії Y = .

3) Оцініть якість побудованої регресії.

4) Знайдіть за допомогою МНК оцінки параметрів квадратичної регресії Y = .

5) Оцініть якість побудованої моделі. Яку з моделей варто обрати для подальшого дослідження?

 

 

6. Для двох видів продукції А і В моделі залежності питомих постійних витрат від об’єму випущеної продукції мають вигляд: Y_А = 80 + 0,7х, Y_В= 40

1) Визначити коефіцієнти еластичності по кожному виду продукції та пояснити їх зміст.

2) Порівняти еластичність затрат для обох видів продукції при х =1000.

3) Визначити, яким повинен бути об’єм випущеної продукції, щоб коефіцієнти еластичності для продукції А та В стали рівними.

 

7. Нехай Y = , де С – фіктивна змінна, що відображає стать суб’єкта дослідження (С=0 для жінок і С =1 для чоловіків).

Середнє значення змінної Y для 15 чоловіків дорівнює 5, для 25 жінок – 3. При цьому відомо, що дисперсія залишків становить 64.

 

Визначте оцінку коефіцієнтів та .

 

8. При аналізі залежності заробітної плати (S) 70 співробітників фірми (45 чоловіків і 25 жінок) від стажу роботи (Т) на фірмі отримані наступні регресійні моделі:

S = 50+ 0,12 Т, R² = 0,63, t = (5,23) (9,35).

S = 30 + 0,092 T + 25D, R² = 0,72, t = (4,63) (4,3) (6,23).

S = 25 + 0,078 T+32D + 0,07T ·D, R² = 0,912, t = (3,07) (3,73) (2,93) (1,98)

де D - фіктивна змінна, що відображає стать співробітника.

 

а) Яка з регресій (1 або 2), (2 або 3) з вашого погляду є більш раціональною?

б) Які похибки при виборі регресії 1 допускаються?

в) Поясніть зміст кожного з коефіцієнтів у рівнянні ре­гресії.

г) Якою буде середня зарплата співробітника – чоловіка і жінки зi стажем роботи у 15 років?

 

 

9. В нижченаведеній таблиці Y – місячний обсяг попиту на товари першої необхідності сім’ї з трьох чоловік (ум.гр.од.), Х – місячний рівень доходу сім’ї (ум.гр.од.):

Х	2,5	1,4	0,9	2,7	1,8	2,2	2,4	1,9	1,6	1,2
Y	0,8	1,1	0,7	0,9	1,0	1,2	0,9	0,6	0,7	0,5

 

Перевірити, яка з моделей краще наближає емпіричні дані: лінійна, степенева чи гіперболічна. Перевірити статистичну значущість зв’язку в кожній з цих моделей.

 

10.. За даними 15 років побудовані два рівняння регресії:

1) Y = 3,435 - 0,5145Х+ ε, R² = 0,6748; t = (20,5) (4.3)

2) 1n Y = 0,851 - 0,2514Х+ ε, R² = 0,7785, t = (43,6) (5,2)

де Y - щоденне середньодушове споживання кави (у чашках 100г),

X - середньорічна ціна кави (грн/кг).

а) Проаналізуйте коефіцієнти кожної з моделей.

б) Чи можна за визначеними моделями визначити, чи є попит на каву еластичним?

в) Яка модель, з вашого погляду, є переважнішою? Чи можна обґрунтувати висновок за коефіцієнтами детермінації?

 

11. Для 3-х пояснюючих змінних обчислено кореляційну матрицю r. Чи існує в масиві змінних мультиколінеарність? За оберненою до неї матрицею оцінити попарну мультиколінеарність змінних для 15 спостережень і 95% надійності:

12. Відомі дані щодо місячного обсягу прибутку 15 підприємств галузі – Х (млн.грн), та обсягу дивідендів, сплачених цими підприємствами за місяць – Y (млн.грн):

Х	3	5	8	10	12	14	7	6	9	10	5	7	4	12	15	18
Y	0,2	1,2	4,0	1,5	2,0	3,5	0,8	2,2	1,4	5,0	2,1	1,8	2,3	8	1,6	10

Побудувати модель парної лінійної регресії. Перевірити за тестом Гельдфельда-Квандта, Спірмена чи виконується умова гомоскедастичності залишків.

 

13. Обчислити коефіцієнт автокореляції залишків першого порядку:

-0,58

-0,97

-0,02

0,04

-0,02

0,31

-0,25

0,86

-0,42

0,37

0,68

 

Зробити висновки щодо наявності автокореляції за критерієм Дарбіна-Уотсона.

ТЕМА: Соціально – економічні системи, методи дослідження та моделювання

1. Соціально-економічні системи – це складні ймовірнісні динамічні системи, що охоплюють процеси виробництва, обміну, розподілу й споживання.

Основним методом дослідження систем є метод моделювання – спосіб теоретичних і практичних дій, спрямованих на створення та використання моделей. Моделювання - це метод наукового пізнання, який полягає в тому, що досліджуваний об’єкт або процес відтворюється за допомогою його найістотніших властивостей. Найбільш ефективними для вивчення економіки є економіко-математичні моделі-інструмент, дослідження закономірностей, математичне описання економічного процесу чи об’єкту. Цей метод ґрунтується на принципі аналогії – можливостях вивчення реального об’єкта не безпосередньо, а шляхом дослідження подібного йому й більш доступного дослідженню об’єкта – його моделі:

 

Модель – це уявний або реальний об’єкт, який у процесі свого вивчення замінює об’єкт – оригінал. Вона може повністю або частково відтворювати структуру модельованої системи та її функції.

Математична модель – це абстракція реальної дійсності, в якій відношення між реальними елементами замінюються відношеннями між математичними категоріями. Зазвичай ці відношення подаються у формі рівнянь або (і) нерівностей, логічних співвідношень, які характеризують функціонування реальної системи, що моделюється.

Економіко – математична модель включає в себе систему математичних та логічних співвідношень опису економічних процесів і явищ.

Особливістю нинішнього етапу розвитку української економіки в умовах переходу до ринкових відносин є збільшення інтересу фахівців до наукового вирішення проблем з використанням економіко – математичних методів і побудованих на їх основі моделей. Ці методи і моделі вимагають ретельного врахування всіх можливих ситуацій та альтернативних варіантів розв’язання проблем, що робить управлінські рішення науково – обґрунтованими, динамічними для забезпечення збалансованого та стійкого господарського механізму. Використання сучасних методів дослідження економічних процесів і явищ дозволяє повніше і глибше обґрунтовувати темпи і пропорції на макро – і мікрорівні, вибір оптимального серед альтернативних рішень.

Взагалі для наукового пізнання якогось процесу чи явища можна використовувати теоретичний аналіз, спостереження, наукові експерименти та моделювання. Економічні процеси, на відміну від фізичних, є достатньо тривалими (для теоретичного аналізу статистичного матеріалу часто необхідні десятки років), що ускладнює вияв діючих закономірностей та вплив багаточисельних факторів. А для достовірності та надійності економічний експеримент має бути тривалим і масштабним.