Методичні вказівки по виконанню індз з дисципліни «економетрика»

Тема 1. Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія.

Задача 1

По 12 підприємствам регіону вивчається залежність вироблення продукції на одного працівника Y (тис. грн.) від запровадження в дію нових основних фондів Х(% від вартості на кінець року).

1. Побудувати лінійне рівняння парної регресії Y_x.

2. Порахувати коефіцієнт кореляції та середню похибку апроксимації.

3. Оцінити статистичну залежність параметрів регресії та кореляції за допомогою F - критерія Фішера та t - критерія Стьюдента.

4. Виконати прогноз вироблення продукції Y (тис. грн.) при прогнозному значенні Х^*=1,05Х_ср.

5. Оцінити точність прогнозу, розрахувавши помилки прогнозу і його довірчий інтервал.

6. На одному графіку побудувати вихідні дані та теоретичну пряму. Для всіх розрахунків параметрів вибрати рівень значущості α=0,05.

Х	0,9	1,2	1,8	1,5		2,2		1,5	2,6	3,3	3,8	2,9
Y	1,2	3,1	5,3	4,7	6,5	7,4	6,3	4,8	9,6	14,5	18,7	11,8

 

Рішення:

1) По даним задачі будуємо варіаційний ряд:

Х	0,9	1,2	1,5	1,5	1,8			2,2	2,6	2,9	3,3	3,8
Y	1,2	3,1	4,7	4,8	5,3	6,3	6,5	7,4	9,6	11,8	14,5	18,7

Для розрахунків даних задачі побудуємо таблицю:

N	X	Y	XY	X^2	Y^2	Yx	Y-Yx	IY-YxI	A:IY-YxI/Y	(Y-Yx)^2	Yср	Yх- Yср	(Yх- Yср)^2
	0.9	1.2	1,08	0,81	1,44	0.72	0.48	0.48	0.4	0.23	7.83	-7,105	50.48
	1.2	3.1	3,72	1,44	9,61	2.43	0.67	0.67	0.21	0.44	7.83	-5,395	29.11
	1.5	4.7	7,05	2,25	22,09	4.15	0.55	0.55	0.12	0.3	7.83	-3.675	13.51
	1.5	4.8	7,2	2,25	23,04	4.15	0.65	0.65	0.14	0.42	7.83	-3.675	13.51
	1.8	5.3	9,54	3,24	28,09	5.87	-0.57	0.57	0.11	0.32	7.83	-1.955	3.82
		6.3	12,6		39,69	7.01	-0.71	0.71	0.11	0.51	7.83	-0.815	0.66
		6.5			42,25	7.01	-0.51	0.51	0.08	0.26	7.83	-0.815	0.66
	2.2	7.4	16,28	4,84	54,76	8.16	-0.76	0.76	0.1	0.58	7.83	0.335	0.11
	2.6	9.6	24,96	6,76	92,16	10.45	-0.85	0.85	0.09	0.72	7.83	2.625	6.89
	2.9	11.8	34,22	8,41	139,24	12.17	-0.37	0.37	0.03	0.13	7.83	4.345	18.87
	3.3	14.5	47,85	10,89	210,25	14.46	0.04	0.04			7.83	6.635	44.02
	3.8	18.7	71,06	14,44	349,69	17.32	1.38	1.38	0.07	1.91	7.83	9.495	90.15
Σ	25,7	93,9	248,56	63,33	1012,31				1,47	5.84			271.81
Середнє значення	2,14	7,83	20,71	5,28	84,36
σ	0.83	4.81
σ^2	0.69	23.13

Розрахуємо параметри лінійного рівняння парної регресії Y_x=a+bx. Для чого скористаємось формулами:

b= = , a= =7.83-5.73*2.14=-4.44.

Y_x=a+bx=-4,44+5,73х – рівняння лінійної парної регресії.

σ(x)²= , σ(x)=0.83

σ(y)²= , σ(y)=4.81

Рівняння лінійної регресії завжди доповнюється показником тісноти зв’язку парної кореляції Пірсона:

r_xy=b 0.989

Близкість коефіцієнта кореляції к 1 показує на тісний лінійний зв'язок між признаками х та у.

Коефіцієнт детермінації 0,978 показує, що рівняння регресії пояснює 97,8% дисперсії результативного признаку, а на долю інших факторів приходиться лише 2,2%.

Оцінемо якість рівняння регресії в цілому за допомогою F – критерія Фішера:

F= = F_факт= або F=

Табличне значення (k₁=1, k=n-2=10, α=0.05) F_табл=4,96.

Так, як F_факт> F_табл, то визнаємо статичну значимість рівняння регресії в цілому.

Для оцінки статичної значимості коефіцієнтів регресії та кореляції розрахуємо t – критерій Стьюдента і довірчі інтервали кожного з показників.

Розрахуємо випадкові похибки параметрів регресії та коефіцієнта кореляції:

В парній регресії оцінюють не тільки рівняння в цілому а і по його параметрах а та в. Для цього по кожному з параметрів визначається його стандартна похибка m(a) i m(b).

Стандартна похибка коефіцієнта регресії m(b) визначається по формулі:

m(b)=

Стандартна похибка параметра а визначається по формулі:

m(a)= S_зал

Стандартна похибка коефіцієнта кореляції Пірсона m(r) визначається по формулі:

m(r)= 0.046

Для оцінок сущності коефіцієнтів t_a, t_b, t_r визначаємо іх фактичні значення і порівнюємо з табличним t(α,k) значенням при k=n-2 ступенях вільності:

t_b=b/m(b)=5.73/0.266=21,5

t_a=а/m(a)=-4.44/0.624=-7,11

t_r=r/m(r)=0.989/0.046=21.5

t(0.05,10)=2.2281

Табличне значення t- критерія Стьюдента при α=0,05 та числі ступенів вільності k=n-2=10 дорівнює t_таб=2,2281. Так як, |t_b|> t_таб, |t_a|> t_таб, |t_r|> t_таб, то визнаємо статичну значимість параметрів регресії а та в і показника r.

a± t_табm(a)=-4.44±2.2281*0.624=-4.44±1.39

b± t_табm(b)=5.73±2.2281*0.266=5.73±0.59

Получаємо,що а є[-5,83;-3,05], b є[5.14;6.22]

 

 

Розрахуємо середню похибку апроксимації:

А= *100%=(1,47*100%)/12=12,24% - середня похибка апроксимації.

Цє, свідчить за те, що по даних задачі підбір лінійної моделі відхиляється більш ніж на 10%.

Розрахуємо прогнозне значення Y_x(x_p), де x_p=1.05* :

X_p=1.05*2.14=2.25.

Y_x(x_p)=Y_x(2.25)=8.44

Оцінемо точність прогнозу, розрахувавши похибку прогнозу та його довірчий інтервал:

Y_x(x_p) ±∆_p

∆_p=t_таб*m(x_p)=2,2281* m(x_p)

m(x_p)= S_зал(1+1/n + )^1/2=0.79

∆_p=2.2281*0.79=1.76

Y_x(x_p) ±∆_p=8.44 ±1.76

Y_x(x_p)є[6.68,10.2]

Побудуємо на одному графіку вихідні дані та теоретичну пряму:

 

 

Додаток Е