Плоскости пересекающиеся. Способ вспомогательных секущих

плоскостей - посредников.

Две плоскости пересекаются по прямой линии, поэтому для её построения достаточно найти две точки, принадлежащие одновременно каждой из этих плоскостей.

Легко строится линия пересечения двух плоскостей, когда одна из них является плоскостью частного положения.

 

Примеры:

 

 

 

Способ построения линии пересечения двух плоскостей общего положения состоит в следующем.

1. Заданные две плоскости пересекают третьей вспомогательной плоскостью, называемой посредником. Обычно это плоскость частного положения.

2. Находят линии, по которым эта секущая плоскость пересекает каждую из данных плоскостей.

3. Находят точку пересечения найденных линий, которая является общей точкой для данных плоскостей и, следовательно, принадлежит линии их пересечения.

Для нахождения второй точки данные плоскости пересекают второй вспомогательной секущей плоскостью и повторяют решение.

 

 

Задача: Построить линию пересечения двух плоскостей (рис.4.4):

 

a(DABC) и b(a || b)

 

Алгоритм решения.

1. Проводим: g₁ || p₁; g₁ Ç a и g₁Ç b

2. Находим: m₁=g₁ Ç a;n₁=g₁Ç b

3. Находим: k₁ = m₁ Ç n₁; k₁ Î g; k₁Î a; k₁Î b; k₁Î l

Далее повторяем алгоритм, находим: k₂Î l;

 

l(k_1, k₂); l = aÇb

Следует отметить универсальность этого способа, т.к. он применяется и для построения линии пересечения двух любых поверхностей, многогранных или кривых. Плоскость же, как известно, является простейшей поверхностью (поверхностью первого порядка).

4.2. Взаимное положение прямой и плоскости.

 

Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекается с ней.

 

4.2.1.Прямая, параллельная плоскости.

 

Аксиома стереометрии гласит:

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей плоскости.

l || a Þ {(l || m) Ù (l Ì a)}

 

Задача: Дана фронтальная проекция прямой, проходящей через точку М. Построить горизонтальную проекцию прямой, если известно, что l || a(D АВС). Решение.

1. Строим : m Ìa; m|| l; m¢¢|| l¢¢

Находим: mÌa

2. Проводим: MÎ l¢; l¢ || m¢

 

4.2.2.Прямая, пересекающаяся с плоскостью.

Определение точки пересечения прямой линии с плоскостью является позиционной задачей. Позиционными задачами называются задачи, в результате решения которых можно получить ответ на вопрос о взаимной принадлежности заданных геометрических фигур, т.е. определить их позиции.

Рассмотренная выше задача на построение линии пересечения двух плоскостей является также позиционной задачей.

Общий случай, когда плоскость и пересекающая её прямая занимают произвольное (общее) положение в пространстве.

Алгоритм решения.

1. Заключаем прямую l во вспо могательную плоскость g частного положения.

lÌg

2. Находим линию пересечения данной плоскости a и вспомо- гательной g:

m=aÇb

3. Отмечаем точку пересечения

прямой l с найденной линией пересечения m, которая будет искомой точкой пересечения прямой l с плоскостью a:

k=lÇm; k=lÇa

4.Определяем видимость участков прямой l.

 

 

Задача: Определить точку пересечения прямой l с плоскостью a (DАВС).

Решение.

1. g É l, g^p₂

2. m=aÇg

3. k¢=l¢Çm¢; k¢¢Î l¢¢; k=lÇa

4. Определяем видимость прямой l (l¢,l¢¢)

 

 

Лекция 5. Преобразование чертежа

 

 

5.1. Проецирование точки на дополнительную плоскость проекций.

Способ перемены плоскостей проекций.

В некоторых случаях, для упрощения решения задач, кроме системы плоскостей проекций p₁ , p ₂ и p₃, можно образовать новые системы, например,

в систему p₁,p₂ можно ввести новую плоскость p₄ перпендикулярно плоскости p₁ (p₄ ^ p₁) или (p₅ ^ p₂). Тогда получим новые системы плоскостей проекций: p₄, p₁ или p₂, p₅.

Плоскость p₃ в системе p₁, p ₂, p₃ можно рассматривать тоже, как дополнительную пл. проекций, перпендикулярную одновременно к пл. p₂ и к пл. p₁.

Преобразуем данный чертёж - от системы пл. пр. перейдём к новой системе: ; ® (рис.5.1.)

 

 

p₄ - новая фронтальная плоскость проекций; p₄ ^ p₁; p₄ расположена произвольно.

x₁ = p₄ Ç p₁ - новая ось проекций.

А^IV - новая фронтальная проекция точки А.

[ А_x1 А^IV ] = [ А_x А¢¢ ] - расстояние точки от точки А до плоскости остается неизменным, т.к. плоскость не изменила своего положения.

Аналогично можно произвести замену плоскости p₁ на новую p₅. т.е.

 

; p₅ ^ p₂ ; x₁ = p₂ Ç p₅ (рис.5.3)

 

 

 

А^V - новая горизонтальная проекция точки А.

[ А_x1А^V ] = [ А_x А¢ ] - расстояние точки А до плоскости p₂ остаётся неизменным, т.к. плоскость p₂ не изменила своего положения.