Тема 18. Математическая логика

Тип 1. Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m». Для какого наименьшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, A) ® (ДЕЛ(x, 28) Ú ДЕЛ(x, 42))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Тип 2. На числовой прямой даны два отрезка: P = [15, 33] и Q = [35, 48]. Отрезок A таков, что формула

((x Î A) Ù (x Î Q)) → ((x Î P) Ú (x Î Q))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

Тип 3. Элементами множеств А, P и Q являются натуральные числа, причём P = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} и Q = { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}. Известно, что выражение

((x Î A) → (x Î P)) Ù ((x Î Q) → (x Î A))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наибольшее возможное количество элементов множества A.

Тип 4. Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение

((X & 13 ¹ 0) Ù (X & 39 ¹ 0)) ® ((X & A ¹ 0) Ù (X & 13 ¹ 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)?

Тема 19. Массивы и циклы

Тип 1. В программе используется одномерный целочисленный массив A с индексами от 0 до 9. Значения элементов равны 5; 1; 6; 7; 8; 8; 7; 7; 6; 9 соответственно, т.е. A[0] = 5; A[1] = 1 и т.д. Определите значение переменной c после выполнения следующего фрагмента программы, записанного ниже на разных языках программирования.

c:= 0; for i:= 1 to 9 do if A[i - 1] >= A[i] then begin t:= A[i]; A[i]:= A[i - 1]; A[i - 1]:= t end else c:= c + 1;

c = 0 for i in range(1, 10): if A[i - 1] >= A[i]: t = A[i] A[i] = A[i - 1] A[i - 1] = t else: c = c + 1

Тип 2. В программе описан одномерный целочисленный массив с индексами от 0 до 10. Ниже представлен записанный на разных языках программирования фрагмент одной и той же программы, обрабатывающей данный массив:

s:=0; n:=10; for i:=0 to n-3 do begin s:=s+A[i]-A[i+2] end;

s = 0 n = 10 for i in range(0,n-2): s = s + A[i] - A[i+2]

В начале выполнения этого фрагмента в массиве находились трёхзначные натуральные числа. Какое наибольшее значение может иметь переменная s после выполнения данной программы?

Тип 3. Значения двух массивов A и B с индексами от 1 до 100 задаются при помощи следующего фрагмента программы:

for i:=1 to n do A[i]:=(i-75)*(i-75); for i:=1 to n do B[101-i]:=A[i];

for i in range(1,n+1): a[i] = (i-75)*(i-75) for i in range(1,n+1): b[101-i] = a[i]

Какой элемент массива B будет наибольшим? (в ответе укажите индекс)

Тип 4. В программе описан двухмерный целочисленный массив A [1..6,1..6]. Ниже представлен фрагмент этой программы, в котором изменяются значения элементов массива.

for n:=1 to 6 do for m:=1 to 6 do A[n,m]:=A[m,n]+2*n-m;

for n in range(1,7): for m in range(1,7): a[n][m] = a[m][n] + 2*n - m

До выполнения данного фрагмента программы значение A[4,3] было равно 10, а значение A[3,4] было равно 15. Чему будет равно значение A[4,3] после выполнения этого фрагмента программы?

Тип 5. Значения элементов двухмерного массива A[1..10,1..10] сначала равны 4. Затем выполняется следующий фрагмент программы:

for i:=1 to 4 do for j:=1 to 5 do begin A[i,j]:=A[i,j]+4; A[j,i]:=A[j,i]+5; end;

for i in range(1,5): for j in range(1,6): a[i][j] = a[i][j] + 4 a[j][i] = a[j][i] + 5

Сколько элементов массива будут равны 9?

Тип 6. В программе описан одномерный целочисленный массив с индексами от 0 до 10. Ниже представлен записанный на разных языках программирования фрагмент одной и той же программы, обрабатывающей данный массив

s: = 0; n: = 10; for i: = 1 to n do begin s: = s + A[i] - A[i-1]; end

s = 0 n = 10 for i in range(1,n+1): s = s + a[i] - a[i-1]

В начале выполнения этого фрагмента в массиве находились числа 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, т.е. А[0]=0, А[1]=2 и т. д. Чему будет равно значение переменной s после выполнения данной программы?

Тип 7. В программе описан одномерный целочисленный массив с индексами от 0 до 10. Ниже представлен записанный на разных языках программирования,фрагмент одной и той же программы, обрабатывающей данный массив:

s:= 0; n:= 10; for i:=0 to n do begin if A[n - i] - A[i] > A[i] then s:= s + A[i]; end;

s = 0 n = 10 for i in range(n+1): if a[n-i] - a[i] > a[i]: s = s + a[i]

В начале выполнения этого фрагмента в массиве находились числа 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80. 90, 100, т.е. A[0] = 0, A[1] = 10 и т. д. Чему будет равно значение переменной s после выполнения данной программы?

Тип 8. В программе описан одномерный целочисленный массив с индексами от 0 до 10. Ниже представлен фрагмент программы, обрабатывающей данный массив:

s:=27; n:=10; for i:=0 to n-1 do begin s:= s + A[i] - A[i+1] end;

s = 27 n = 10 for i in range(n): s = s + a[i] - a[i+1]

Известно, что в начале выполнения этого фрагмента в массиве находилась убывающая последовательность чисел, то есть A[0] > A[1] >…> A[10]. Какое наименьшее значение может иметь переменная s после выполнения данной программы?