Расчет дисперсии методом «моментов»

№ групп п.п	x	f			f1 (f:Б)	1	1
			-5 -4 -3 -2 -1				-20 -32 -39 -32 -20
				-

 

В качестве произвольных величин А, I, Б примем следующие числа:

А=180, i=20, Б=5.

Дисперсия по способу моментов определяется по формуле

где

- момент первого порядка

 

- момент второго порядка

Момент первого порядка определяется следующим образом:

.

Момент второго порядка определяется следующим образом:

( - ср. квадр.)

После этого определим дисперсию:

.

Среднее квадратическое отклонение будет равно:

тыс.тг.

Колеблемость значений изучаемого признака зависит от множества факторов - от признака, положенного в основу группировки, и от ряда других. Для выявления роли группировочного и других факторов на колеблемость значений изучаемого признака исчисляются следующие показатели:

- внутригрупповая дисперсия ;

- межгрупповая дисперсия ;

- коэффициент детерминации ;

- корреляционное отклонение .

Внутригрупповая дисперсия характеризует колеблемость значений признака внутри отдельных групп в отношении средней групповой и определяется следующим образом:

 

(прост.);

(взвеш.).

 

На основе внутригрупповых дисперсий исчисляется средняя внутригрупповая дисперсия:

Внутригрупповая дисперсия показывает степень колеблемости признака под влиянием всех факторов, кроме фактора, положенного в основу группировки.

Влияние фактора, положенного в основание группировки, на колеблемость изучаемого признака определяется межгрупповой дисперсией - .

- простая;

- взвешенная.

 

Правило сложения дисперсий:

 

.

 

Коэффициент детерминации показывает долю вариации признака (х), обусловленную фактором, положенным в основу группировки.

.

Эмпирическое корреляционное отношение показывает тесноту связи между группировочными и результативным признаком:

 

.

 

Методику расчета этих показателей рассмотрим на примере.

Пример. Имеются следующие данные о сборе урожая со 125 опытных участков (площадью на 1 м²), на 70 из которых были внесены удобрения и на 55 участках – не внесены.

В качестве группировочного признака применяется фактор внесения или невнесения удобрений, а в качестве результативного - урожайность (в граммах) с 1 м² (см. табл. 7.9).

 

Таблица 7.9.

Исходные и расчетные данные для исчисления показателей влияния факторов на колеблемость уровней урожайности

№ п/п	Группы участков по уровню урожайности гр/м^2	х	Число участков f	В т.ч. участки где	А=135 i=10 х1			I массив	I массив
внесены удобр. f1	не внесены удобр. f2
	90-100				-	-4	-8		-8		-	-
	100-110				-	-3	-15		-15		-	-
	110-120					-2	-26		-24		-2
	120-130					-1	-17		-15		-2
	130-140
	140-150
	150-160
	160-170
	170-180			-					-	-
Всего						+65		-46		+111

;

;

 

;

 

;

.

 

 

Расчет для I массива

;

 

;

;

 

.

 

Расчет для II массива

;

 

;

;

 

 

Результаты расчетов изложим в следующей таблице:

					v (%)
I массив – без удобрений		126,64	235,4	15,34	12,1
II массив – с удобрениями		150,86	155,6	12,47	8,3
Все участки		140,20	335,36	18,31	13,1

 

Из этих данных видно, что внесение удобрений привело к росту урожайности. Но, кроме того, на уровень урожайности оказывает влияние и множество других факторов.

Исчислим среднюю внутригрупповую дисперсию

 

.

 

Разделив среднюю внутригрупповую дисперсию на общую дисперсию

(56,9%), делаем вывод о том, что колеблемость урожайности на 56,9% была обусловлена всеми другими факторами, кроме фактора внесения – не внесения удобрений.

Остальная часть общей дисперсии обусловлена группировочным фактором.

Межгрупповая дисперсия :

Коэффициент детерминации равный (43%), говорит о том, что на 43% вариация урожайности обусловлена внесением удобрений.

Корреляционное отношение (эмпирическое) равно

Теснота связи между урожайностью и внесением или не внесением

удобрений равна 0,66, достаточна высока.

Закономерности изменения частот в зависимости от значений признака в вариационных рядах называются закономерностями распределения.

На вид распределения влияют причины (условия) общего и частного, случайного характера. Для выявления закономерностей распределения, что является следствием общих причин, надо строить вариационные ряды для большого, массового числа наблюдений (единиц), а также правильно выбрать интервалы и число групп.

При изучении закономерностей распределения фактические данные сопоставляют с тои или иной теоретической кривой распределения, под которой понимают графическое изображение в виде непрерывной линии изменение частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариант. Теоретическая кривая распределения характеризует тип распределения.

Различает симметричное и асимметричное распределения.

Симметричное называется нормальным распределением.

В статистике часто пользуются этим типом распределения, которая описывается следующей кривой:

 

где у_t – ордината кривой нормального распределения,

t – нормированное отклонение:

.

 

е - основание натуральных логарифмов

и – постоянные числа.

Данные распределения предполагает, что максимальная частота соответствует , а значениям большим или меньшим соответствуют меньшие частоты, причем в обе стороны от они изменяются – уменьшаются, причем равномерно и при и они приближаются к нулю.

Эту теоретическую кривую можно изобразить следующим образом:

 

 

у

 

 

А1 А2

х

Рис 7.1. Кривая нормального распределения

 

 

Кривая имеет точки перегиба (А1 и А2) при , то есть при таких значениях х, когда отклонение от средней равно . В этих пределах при нормальном распределении заключается 68,3% членов распределения (единиц наблюдения), 95,4% всех членов распределения находится в пределах и 99,7% - в пределах

В статистике часто обращаются к этому типу распределения, потому что в нем выражается закономерность, возникающая при взаимодействии и воздействии на результативный признак множества факторов, что имеет место при развитии общественных явлений и процессов.

В зависимости от высоты кривой распределения различают высоковершинную и низковершинную кривую. Высоковершинность означает положительный эксцесс и характеризует скопление частот (членов ряда) в середине значения «х» хоть и отличаются от , но незначительно, низковершинность – отрицательный эксцесс, характеризует большую разбросанность ряда, т.е. большое влияние множества случайных факторов.

В симметричном распределении равна Мо и Ме. Если этого равенства нет, то такое распределение асимметричное. Судить о симметричности распределения можно на основе коэффициента асимметрии:

.

Если положительные но имеет место правосторонняя асимметрия, если отрицательное – то левосторонняя асимметрия (см. рис. 7.2).

 

 

 

 

Левостороння Правосторонняя

асимметрия асимметрия

 

 

Рис. 7.2. Виды рядов распределения

 

 

Вопросы для самостоятельной работы и самопроверки знаний студента

1. Значение средних величин в статистике.

2. Определение «средняя величина».

3. Виды средних.

4. Общая формула средних (степенных величин).

5. Какова будет формула средней, если m=1, m=2, m=0, m-1.

6. Виды структурных (непараметрических) средних (перечислить).

7. Формулы средней арифметической простой и взвешенной.

8. Математических свойств средней арифметической (в соответствии с нумерацией важнейших свойств средних, данных в секции).

9. Формула момента первого порядка.

10. Формула расчета средней арифметической по способу моментов.

11. На каких свойствах средней арифметической основан метод моментов.

12. Формула средней гармонической, в каких случаях она применяется.

13. Определение понятий «мода» и «медиана».

14. Нахождение моды и медианы в дискретном вариационном ряду.

15. Показатели вариации (перечислите).