Расчет показателей вариации по данным о распределении рабочих по уровню месячной производительности труда

№ гр.	Группы рабочих по произв. труда,тыс. тг.	Число рабочих, чел. f	х
А	Б
	70-90 90-110 110-130 130-150 150-170 170-190 190-210 210-230 230-250 250-270 270-290			-114 -94 -74 -54 -34 -14 +6 +26 +46 +66 +86
	Итого

 

Размах вариации R=280-80=200 тыс. тг.

Среднее линейное отклонение определяется по формуле

Для этого в графе 3 исчислим значения отклонений и в графе 4 эти абсолютные значения умножим на частоты, затем эти произведения сложим и запишем в итоговой строке графы 4. На основе этой цифры и суммы частот исчислим d:

тыс. тг.

Среднее квадратическое отклонение и дисперсия исчисляется по формулам Для этого исчислим и и просуммируем данные и запишем эти данные в графы 5 и 6 и в итоговую строку графы 6 и сделаем расчет и .

Дисперсия будет равна:

.

Среднее квадратическое отклонение равно:

тыс. тг..

Коэффициент вариации будет равен

%.

Расчеты показателей вариации, особенно среднего квадратического отклонения и дисперсии, являются достаточно трудоемкими.

Эти расчеты можно несколько упростить. Для этого необходимо знать и использовать некоторые математические свойства дисперсии. Расчет дисперсии с использованием ее свойств называется методом «моментов».

Рассмотрим основные математические свойства дисперсии:

1. Если из всех значений вариант вычесть какое-либо постоянное

число, которое можно обозначить любым символом, например, буквой А, то средний квадрат отклонений (дисперсия) от этого не изменится:

.

Из этого свойства следует, что дисперсию можно исчислить не только по исходным данным, но и по отклонениям их от какого-либо постоянного числа.

2. Если все значения вариант разделить на какое-либо постоянное число

А, то новая дисперсия будет меньше дисперсии, исчисленной по исходным данных в раз, а среднее квадратическое отклонение в А раз.

или

3. Средний квадрат отклонений значений переменной х от любой величины А, отличающегося по своему значению от средней арифметической , будет больше средней квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической, на квадрат разности между средней арифметической и произвольно взятой величиной А: , или .

Значит всегда меньше от любой другой величины, обладает свойством минимальности.

В случае, когда А=0, формула имеет вид:

или

Значит средний квадрат отклонений равен среднему квадрату значений признака минус квадрат среднего значения признака.

Используя математические свойства дисперсии, среднее квадратическое отклонение можно исчислить упрощенным методом, сокращающим число вычислений и уменьшающим значения исчисляемых промежуточных показателей, называемым методом «моментов».

Методику расчета рассмотрим на том же примере распределения рабочих в зависимости от размера заработной платы.

 

Таблица 7.8.