Выпуск продукции на предприятии за 2002-2005 Годы.

Показатели
Выпуск продукции, млн. тг. (yi)
Коэффициент (темп0 роста выпуска продукции со сравнению с предыдущим годом (Ki= )	-	1,10	1,20	1,90

На основе этих данных требуется определить средний годовой коэффициент роста за 2002-2005 годы.

Использовать для расчета формулу средней арифметической нельзя, так как в этом случае будет нарушено определяющее свойство средних величин. Убедимся в этом, исчислив среднюю арифметическую и на ее основе определив объем производства в последнем году и сравнив эти расчетные данные с фактическими.

Средняя простая будет равна:

Теперь исходные данные за 2002 г. умножим на этот коэффициент, полученную цифру опять умножить на этот показатель и так до 2005 и полученный результат сравним с фактическим объемом производства продукции в 2005 г.:

200х1,4=280; 280х1,4=392; 392х1,4=548,8, а не 501, как в действительности.

Если в нашем примере выпуск продукции обозначитьyi, а коэффициенты – Ki, число коэффициентов – n, то

; ; .

Общий коэффициент роста будет равен:

.

Если теперь каждый из индивидуальных коэффициентов роста заменить средним - , то исходя из определяющего свойства получим:

отсюда .

В нашем примере или же

=1,3585 (135,85 %)

Правильность расчетов подтверждается следующими вычислениями:

200х1,3585=271,7; 271,7х1,3585=39,91; 39,91х1,3585=501, что соответствует действительности.

Если взять n коэффициентов, то формула средней, которая называется средней геометрической, имеет следующий вид:

или где П – знак произведения.

Средний коэффициент роста можно определив и по данным последнего и первого уровней ряда:

Приведенные формулы идентичны, но первая формула применяется в том случае, когда в качестве исходных данных имеется информация о текущих коэффициентах или фактических уровнях ряда динамики за каждый период или момент времени, а вторая – когда имеется данные об абсолютных значениях начального и конечного уровней ряда.

Расчет средней геометрической связан с извлечением корней. Это делается при помощи таблицы логарифмов.

Для облегчения расчетов имеется специальные таблицы средних темпов роста, прироста и снижения (см. Айрапетов А.М. Таблицы исчисления среднегодовых темпов роста, прироста и снижения. - М.: Статистика, 1967), в которых имеется готовые результаты и не требуется никаких вычислений.

В тех случаях, когда усреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратных функций, применяется средняя квадратическая, например, так определяются средние диаметры колес, труб, столбов, средние стороны квадратов. В статистических расчетах этот вид средних используется при расчете показателей вариации.

Средняя квадратическая определяется в виде корня квадратного из суммы квадратов вариант деленной на общую численность единиц совокупности. Она может быть исчислена в виде простой и взвешенной:

Например, имеется пять квадратов со сторонами А₁=2 м., А₂=5 м., А₃=6 м., А₄=8 м., А₅=9 м. Требуется определить среднею длину стороны этих квадратов.

м.

Средние величины, применяемые при расчетах динамики явлений, называется средними хронологическими, например, при расчете средней численности населения, среднего объема основного капитала за несколько периодов или моментов времени и т.д. При этом могут быть использованы различные виды средних и выбор той или иной формулы средних зависит от исходных данных. Одной из формул средних является формула собственно средней хронологической:

.

Она используется в тех случаях, когда ряд динамики приведен в виде моментных показателей и при этом интервалы между смежными датами равны между собой.

 

 

Мода и медиана

 

Наряду со средними величинами, дающими обобщающие характеристики изучаемой совокупности в статистике используется косвенные описательные величины, так называемые непараметрические, структурные средние – мода и медиана.

Модой в статистике называется величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности, в вариационном ряду – это варианта, имеющая наибольшую частоту, она обозначается Мо.

Медианой в статистике называется варианта, находящаяся в середине вариационного ряда, по обе стороны от нее находится одинаковое число единиц совокупности, обозначается Ме.

Мода применяется, когда возникает потребность определения наиболее часто встречающихся значении признака в совокупности, например, в торговле при установлении наиболее продаваемых костюмов или обуви по их размерам, в строительстве – наибольшего числа семей по количеству членов семьи и т.д. Мода может существенно отличаться от средней, например, при средней месячной заработной плате в 50 тыс. тенге, мода зачастую является меньшей величиной в связи с тем, что большая часть работающих получает заработную плату, которая ниже среднего уровня и меньшая часть - заработную плату значительно, в десяти раз превышающую ее средний уровень.

Медиана используется для характеристики той величины признака, когда, скажем, из первоначальной совокупности родившихся останется половина, к какому возрасту из поколения родившихся половина вымерла и этот возраст называется средняя медианная продолжительность жизни населения в отличии в отличии от средней арифметической, называемой средней ожидаемой продолжительностью жизни населения. Эти показатели используются для прогнозных расчетов.

Способ нахождения моды и медианы зависит от характера исходных данных.

Если вариационный ряд задан в виде определенных дискретных значений признака, то мода определяется визуальным путем – это будет варианта с наибольшей частотой.

Установим моду по условиям примера, приведенного в табл. 7.5.

 

Таблица 7.5.