Поняття про лінію на площині та її рівняння

Означення. Рівнянням лінії на площині відносно певної системи координат називається рівняння , якому задовольняють координати і кожної точки цієї лінії і не задовольняють координати жодної точки, яка не лежить на цій лінії.

Змінні і в рівнянні лінії називаються змінними координатами її точок.

Лінія є геометричним місцем точок площини, координати яких задовольняють рівнянню .

Класифікація ліній в аналітичній геометрії відбувається за виглядом виразу в рівнянні лінії.

Означення. Лінія, задана рівнянням називається алгебраїчною, якщо функція є многочленом з дійсними коефіцієнтами. Степінь многочлена називається порядком алгебраїчної лінії.

Лінія, яка не є алгебраїчною, називається трансцендентною.

Ми вивчатимемо лише алгебраїчні лінії першого і другого порядку. Зазначимо, що лише для цих ліній розв’язується друга основна задача аналітичної геометрії. Загальний метод дослідження ліній, заданих рівнянням, розглядається в математичному аналізі.

 

Різні форми рівняння прямої на площині

 

 

Назва рівняння	Вид рівняння	Основні параметри	Зауваження
Канонічне рівняння прямої			точка, напрямний вектор
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки		,	дві точки прямої
Рівняння прямої у відрізках на осях		,	відрізки на координатних осях
Параметричні рівняння прямої; векторне рівняння прямої	;	,	точка, напрямний вектор
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом		,	кутовий коефіцієнт, відрізок на осі
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом ‘‘з точкою’’		,	точка прямої, кутовий коефіцієнт
Рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора (Загальне рівняння прямої‘‘з точкою’’)		,	точка прямої, нормальний вектор
Загальне рівняння прямої			нормальний вектор

Приклад. Пряма задана точкою і напрямним вектором .

А) Записати канонічне рівняння прямої: ;

Б) Записати загальне рівняння: , ,

В) Записати рівняння у відрізках на осях: ;

Г) Записати рівняння з кутовим коефіцієнтом: .

 

Взаємне розташування прямих на площині

 

Назва рівняння	Параметри прямих	Умова паралельності	Умова перпендикулярності	Кут між прямими
Загальні
Канонічні		,
З кутовим коефіцієнтом	,	=	, або
Загальне і канонічне			,

Відстань між паралельними прямими і на площині визначається формулою:

,

де – нормальний вектор прямої , – деяка точка прямої .

Можна поміняти ролями прямі і . За цією ж формулою обчислюється відстань від даної точки до даної прямої.

Приклад. Знайти відстань від початку координат до прямої .

Розв’язання. (у.о.)