Несобственные интегралы первого рода

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на [ a,¥).Рассмотрим интеграл .Вычисление несобственного интеграла можно свести к вычислению обычного определенного интеграла и нахождению предела ( ). Если предел, стоящий справа, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся и он равен значению этого предела. В противном случае интеграл называется расходящимся.

Пусть F(x) – одна из первообразных f(x), тогда .

Обозначим .

Тогда F(¥)-F(a) - обобщенная формула Ньютона - Лейбница (для вычисления несобственного интеграла).

 

75. Несобственные интегралы второго рода

Если функция не ограничена на промежутке интегрирования и промежуток интегрирования конечен, то определенный интеграл является несобственным интегралом второго рода.

1. Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на [ a,b) и в точке b функция не ограничена.

.

 

Если предел, стоящий справа, существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся и равен значению этого предела, в противном случае интеграл называется расходящимся.

Если F(x) первообразная функции, то 2.Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на [ a,c)È(c,b ], и в точке с функция терпит разрыв второго рода. .

Если оба предела, стоящие в правой части, существуют и конечны, то несобственный интеграл называется сходящимся и он равен сумме этих пределов, в противном случае – расходящимся.

Замечание 1. Несобственные интегралы могут быть комбинированного типа: первого и второго рода; или второго рода с несколькими точками разрыва второго рода.

Замечание 2. Если функция на отрезке интегрирования терпит разрыв первого рода в точке с, то определенный интеграл от нее по этому отрезку не является несобственным, т.е. его можно свести к сумме двух обычных определенных интегралов.

.

Длина дуги кривой.

Если плоская кривая задана уравнением y=f(x) её длина равна: В полярных координатах

Если дуги пространственной кривой заданы параметрически уравнениями x= x(t), y=y(t), z= z(t) при изменении t от а до b имеем:

 

Вычисление площадей в прямоугольных координатах.

Отметим,что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (ƒ(х) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

 

или Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = = fι(x) и у = ƒг(х), прямыми х = а и х = b (при условии ƒ₂(х) ≥ ƒ₁(х)) можно найти по формуле

 

Вычисление объема тела.

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ох: S = S(x), а ≤ х ≤ b.

 

Объем тела вращения.

Вычисление объема тела сводится также к вычислению определенного интеграла. Пусть рассматриваемое тело Е получается от вращения данной кривой y=f(x), заданной на сегменте [a,b], вокруг оси Ох. Обозначим через V объем данного тела. Разобьем тело поперечными сечениями, перпендикулярными к оси Ох, начиная от х=а и кончая х=b.

Очевидно поперечные сечения - круги радиуса у. Рассмотрим один из элементов Е, образованный сечениями с абсциссами х и х + х. Будем считать, что х достаточно мало и заменим объем тела Е объемом прямого цилиндра, высота которого x,а площадь основания S(x) = П f ²(x) и, следовательно, для объема V тела получим приближенное выражение (суммирование берется по всем элементам, на которые наше тело разбито поперечными сечениями). При переходе к пределу, когда число элементов беспредельно возрастает и наибольшее из , написанная сумма превращается в определенный интеграл, который дает точное значение объема V,

Теорема. Объем тела, получаемого при вращении вокруг оси Ох кривой y=f(x), заключенный между ординатами х=а и х=b, выражается формулой

Двойной интеграл.

Двойным интегралом называют кратный интеграл с d=2.

Здесь

В прямоугольных координатах: , где — элемент площади в прямоугольных координатах.