Угол между прямыми на плоскости.

Определение. Углом между двумя прямыми I и II называется угол, отсчитываемый в положительном направлении от прямой I к прямой II.

Пусть даны две прямые, заданные уравнениями с угловыми коэф. y = k ₁ · x + b ₁, y = k ₂ · x + b ₂.

Найдем угол между первой и второй прямыми. Обозначим углы наклона прямых j ₁ и j ₂. Тогда k ₁ = tg j ₁ , k ₂ = tg j ₂.

 

- формула для вычисления угла между двумя прямыми.

 

23.Эллипс. Каноническое уравнение. Геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется эллипсом. - каноническое уравнение эллипса.

Гипербола. Каноническое уравнение.

Геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется гиперболой. - каноническое уравнение гиперболы.

Парабола. Каноническое уравнение.

Геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой, именуется параболой. - каноническое уравнениепараболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси OX.

Пределы функций, их свойства.

Число A называется пределом функции f (x) при x → x 0 (или в точке x 0), если для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что для всех x, для которых 0 < | x − x 0| < δ, справедливо неравенство | f (x) − A | < ε, т.е. Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

, .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x), то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x). , .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

, .

Замечательные пределы

Теорема 1. Предел отношения синуса малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, при стремлении величины дуги к нулю равен единице. .

Теорема 2. Предел последовательности при равен. ,.