Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.

Определители и их свойства

Пусть дана квадратная матрица порядка n Определение. Определителем n -го порядка матрицы А называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых равно произведению n элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем каждое слагаемое берется со знаком "+" или "-".

. Свойства определителей: 1. При транспонировании величина определителя не меняется.. 2. Если все элементы одной строки определителя умножить на одно и то же число, то и весь определитель умножится на это число. Следствие. Постоянный множитель строки можно выносить за знак определителя. 3. Если в определителе поменять местами две строки, то определитель сменит знак на противоположный. Следствие 1. Определитель, у которого две строки равны, равен нулю. Следствие 2. Если в определителе две строки пропорциональны, то такой определитель равен нулю. 4. Если строка определителя представлена в виде алгебраической суммы нескольких слагаемых, то определитель равен алгебраической сумме определителей, у которых в первом определителе в данной строке стоит первое слагаемое, во втором - второе слагаемое и т.д. Следствие. Если строки определителя линейно зависимы, то такой определитель равен нулю. 5. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

 

2. Миноры и алгебраические дополнения

Пусть дана матрица А размера m_xn Определение. Минором порядка k данной матрицы,где k min(m; n),называется определитель k -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием (m-k) строк и (n-k) столбцов. Определение. Дополнительным минором M _ij к элементу a _ij квадратной матрицы An*n называется определитель (n -1) порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием этого элемента вместе со строкой и столбцом, в которых он расположен. Определение 3. Алгебраическим дополнением A _ij к элементу a _ij квадратной матрицы An*n называется число A _ij = . Теорема 1. Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

- разложение определителя по i -й строке.

Вычисление определителей порядка n >3 сводится к вычислению определителей второго и третьего порядка с помощью теоремы 1 и свойства 5 определителя.

3. Методы вычисления определителей.

Определение 1. Определителем n -го порядка матрицы А называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых равно произведению n элементов матрицы А , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем каждое слагаемое берется со знаком "+" или "-".Определитель второго порядка. n =2, 2!=1 · 2=2 слагаемых.

. Определитель третьего порядка. n =3, 3!=1 · 2 · 3=6 слагаемых

, ₌

Системы линейных уравнений

Определение 1. Система вида

называется системой m линейных уравнений с n неизвестными, где x ₁, x ₂, …, x _n - неизвестные, a _ij, i= , j= - коэффициенты при неизвестных, b ₁, b ₂, …, b _m - свободные члены. Определение 2. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной - в противном случае. Oпределение 3. Решением системы называется совокупность из n чисел с ₁, с ₂, …, с _n, при подстановке которой в систему вместо неизвестных будет получено m числовых тождеств. Определение 4. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.При изучении систем исследуют три вопроса:1) совместна система или нет;2) если система совместна, то является ли она определенной или неопределенной;3) нахождение единственного решения в случае определенной системы и всех решений в случае неопределенной.

Метод Гаусса.

Метод Гаусса - это универсальный метод исследования и решения произвольных систем линейных уравнений. Он состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных с помощью элементарных преобразований, не нарушающих эквивалентности систем. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении системы с коэффициентом 1.

Перейдем теперь к решению систем с различным количеством неизвестных и уравнений. Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными. Если такая система совместна, то при r<n она имеет бесконечное множество решений, каждое из которых может быть получено из общего решения системы.

Для нахождения общего решения нам необходимо выбрать, какие неизвестные мы будем считать основными (базисными). Это могут быть любые r переменных, коэффициенты при которых составляют определитель, отличный от нуля. Затем выбранные основные переменные нужно выразить через свободные. Для этого с помощью элементарных преобразований необходимо расширенную матрицу системы привести к такому виду, чтобы коэффициенты при базисных переменных образовали так называемые базисные столбцы - столбцы, состоящие из нулей и одной единицы.

Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных можно оформлять в виде таблицы.

Левый столбец таблицы содержит информацию об исключенных (базисных) переменных. Остальные столбцы содержат коэффициенты при неизвестных и свободные члены уравнений.

В исходную таблицу записывают расширенную матрицу системы. Далее приступают к выполнению очередной итерации:

1. Выбирают переменную , которая войдет в число базисных, и уравнение, в котором эта переменная останется. Соответствующие столбец и строку таблицы называют ключевыми. Коэффициент , стоящий на пересечении ключевой строки и ключевого столбца, называют ключевым.

2. Элементы ключевой строки делят на ключевой элемент.

3. Ключевой столбец заполняют нулями.

4. Остальные элементы вычисляют по правилу прямоугольника: составляют прямоугольник, в противоположных вершинах которого находятся ключевой элемент и пересчитываемый элемент; из произведения элементов, стоящих на диагонали прямоугольника с ключевым элементом, вычитают произведение элементов другой диагонали и полученную разность делят на ключевой элемент.

Общее уравнение плоскости.

Определение. Плоскостью называется поверхность, все точки которой удовлетворяют общему уравнению: Ax + By + Cz + D = 0, где А, В, С – координаты вектора -вектор нормали к плоскости.

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

, .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x), то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x). , .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

, .

Замечательные пределы

Теорема 1. Предел отношения синуса малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, при стремлении величины дуги к нулю равен единице. .

Теорема 2. Предел последовательности при равен. ,.

Точки разрыва функции

Функция является непрерывной в точке, если ó = .

Определение. Точки, в которых нарушается условие непрерывности, называют точками разрыва функции.

Определение. Точка разрыва х ₀ называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы в этой точке.

Определение. Точка х ₀ называется точкой разрыва второго рода, если она не является точкой разрыва первого рода (если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен +¥(-¥)).

Асимптоты

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой.Говорят, что прямая х=а является вертикальной асимптотой графика функции , или Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде y=kx+b.

Если хотя бы один из пределов или не существует или равен бесконечности, то кривая у=ƒ(х) наклонной асимптоты не имеет. В частности, если k=0, то b=limƒ(х) при х →∞. Поэтому у=b -уравнение горизонтальной асимптоты.

46. Функции нескольких переменных (Определение, примеры).

Пусть даны множества D R ⁿ и I R. Определение. Если каждой точке множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменных у=f (x ₁, …, x _n). Множество D называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется множеством значений функции I (у)= I. Пример. -

-

Полный дифференциал.

Полным дифференциалом функции z=f (x, y) называется главная часть полного приращения функции D z, линейная относительно D х и D у, то есть dz= f’x (x, y) dx + f’y (x, y) dy или dz= dx+ dy Для функции трех переменных u=f (x, y, z) полный дифференциал находится по формуле: du= dx+ dy+ dz.

 

 

Первообразная.

Определение. Первообразной функцией F(x) дляфункции f(x) называется функция,производная которой равна исходной функции.(F (x))' = f (x).

Теорема (теоремаКоши). Любая непрерывная на некотором множестве функция имеет на этом множестве первообразную.

Теорема. Если F ₁ (x) и F ₂ (x) - две первообразные для функции f(x), то они отличаются на постоянное слагаемое.

Формула Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.

Пусть функция f (x) непрерывна на [ a; b ], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

 

Для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

73.Приложения определенного интеграла к решению геометрических и механических задач. 1. Вычисление площадей фигур, расположенных под (над) графиком функции на некотором отрезке. Это приложение вытекает из геометрического смысла определенного интеграла S = . 2. Вычисление площади фигур, ограниченных графиками двух функций на некотором отрезке. S = S ₂- S ₁= = , где S ₁ и S ₂ - площади криволинейных трапе ций под графиками функций y=f ₁(x) и y=f ₂ (x). 3. Вычисление объемов тел, полученных от вращения графика функции вокруг оси ОX. . 4. Вычисление объемов тел, полученных от вращения графика функции вокруг оси ОY.

, где x = f ^-1 (y) - обратная функция к функции y = f(x).

 

Длина дуги кривой.

Если плоская кривая задана уравнением y=f(x) её длина равна: В полярных координатах

Если дуги пространственной кривой заданы параметрически уравнениями x= x(t), y=y(t), z= z(t) при изменении t от а до b имеем:

 

Вычисление объема тела.

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси, например оси Ох: S = S(x), а ≤ х ≤ b.

 

Объем тела вращения.

Вычисление объема тела сводится также к вычислению определенного интеграла. Пусть рассматриваемое тело Е получается от вращения данной кривой y=f(x), заданной на сегменте [a,b], вокруг оси Ох. Обозначим через V объем данного тела. Разобьем тело поперечными сечениями, перпендикулярными к оси Ох, начиная от х=а и кончая х=b.

Очевидно поперечные сечения - круги радиуса у. Рассмотрим один из элементов Е, образованный сечениями с абсциссами х и х + х. Будем считать, что х достаточно мало и заменим объем тела Е объемом прямого цилиндра, высота которого x,а площадь основания S(x) = П f ²(x) и, следовательно, для объема V тела получим приближенное выражение (суммирование берется по всем элементам, на которые наше тело разбито поперечными сечениями). При переходе к пределу, когда число элементов беспредельно возрастает и наибольшее из , написанная сумма превращается в определенный интеграл, который дает точное значение объема V,

Теорема. Объем тела, получаемого при вращении вокруг оси Ох кривой y=f(x), заключенный между ординатами х=а и х=b, выражается формулой

Двойной интеграл.

Двойным интегралом называют кратный интеграл с d=2.

Здесь

В прямоугольных координатах: , где — элемент площади в прямоугольных координатах.

Числовой ряд, сумма ряда.

Пусть дана последовательность действительных положительных чисел . Определение. Выражение вида наз-тся числовым рядом с положительными членами. Определение. Сумма первых членов числового ряда называется -й частичной суммой ряда и обозначается . Определение. Если существует конечный предел частичных сумм , то числовой ряд называется сходящимся и его сумма равна значению этого предела, иначе ряд называется расходящимся. Свойства числовых рядов: Теорема 1. Если ряд сходится и с - некоторое число, то сходится и ряд , причем выполняется равенство Теорема 2. Пусть ряды и сходятся, тогда сходится ряд , причем = + . Теорема 3. Сходимость ряда не изменится, если в нем отбросить конечное число членов.

 

Формулы Крамера

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Описание метода

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

 

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов).

 

19. Параметрическое и каноническое уравнение прямой.

Пусть прямая проходит через точку M ₁ (x ₁, y ₁, z ₁) и параллельна вектору (m,n, l). Составим уравнение этой прямой. - каноническое уравнение прямой в пространстве.

Пусть прямая проходит через две точки M ₁ (x ₁, y ₁, z ₁) и M ₂(x ₂, y ₂, z ₂).Составим ее уравнение. - уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

26. Функция. Характеристики поведения. Сложная функция.

Пусть Х и Y - некоторые множества. Определение. Если каждому элементу x Î Х ставится в соответствие по некоторому правилу единственный элемент y Î Y, то говорят, что на множестве Х задана функция (отображение) со значениями в множестве Y: f: X®Y, y=f(x). Множество Х называется областью определения функции и обозначается Dom (f) или D (f), множество Y называется множеством значений функции и обозначается Im(f) или I(f).

Основные характеристики функции 1. Функция у=ƒ(х), определенная на множестве D, называется четной, если " xÎ D выполняются условия -хєD и ƒ(-х)=ƒ(х); нечетной, если " xєD выполняются условия -хєD и ƒ(-х)=-ƒ(х).График четной функции симметричен относительно оси Оу, а нечетной — относительно начала координат.2. Пусть функция у=ƒ(х) определена на множестве D и пусть D ₁єD. Если для любых значений х ₁;x₂єD₁ аргументов из неравенства x₁<x₂ вытекает неравенство: ƒ(x ₁)<ƒ(х₂), то функция называется возрастающей на множестве D ₁; f(x₁) ≤ ƒ(х₂), то функция называется неубывающей на множестве D₁; f(x₁)>ƒ(х₂), то функция называется убывающей на множестве D₁; ƒ(х₁)≥ƒ(x₂), то функция называется невозрастающей на множестве D₁.

Пусть функция у=ƒ(u) определена на множестве D, а функция u= φ(х) на множестве D₁, причем для " xÎ D₁соответствующее значение u=φ(х) є D. Тогда на множестве D ₁ определена функция u=ƒ(φ(х)), которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).Переменную u=φ(х) называют промежуточным аргументом сложной функции.

 

35. Дифференцирование тригонометрических и обратных им функций.

 

Формула Тейлора.

Пусть функция ƒ(х) есть многочлен Р_n(х) степени n:ƒ(х)=Р_n(х)=а₀+а₁х+а₂х²+...+а_nхⁿ.Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени n относительно разности х-х₀, где х₀ — произвольное число, т. е. представим Р_n(х) в видеР_n(х)=А₀+A₁(x-х₀)+А₂(х-х₀)²+...+А_n(х-х₀)ⁿ (.1)Для нахождения коэффициентов А₀, А₁,..., А_n продифференцируем n раз равенство (1):

Р'_n(х)=А₁+2А₂(х-x₀)+3A₃(x-x₀)²+...+nA_n(x-x₀)^n-1,

Р_n''(х)=2А₂+2•3А₃(х-х₀)+...+n(n-1)А_n(х-х₀)^n-2,

Р_n"'(х)=2•3А₃+2•3•4А₄(х-х₀)+...+n(n-1)(n-2)А_n(х-х₀)^n-3,

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Р_n⁽ⁿ⁾(х)=n(n-1)(n-2)...2•1А_n

Подставляя х=х₀ в полученные равенства и равенство (.1), имеем:

Подставляя найденные значения A₀,A₁,...,An в равенство (.1), получим разложение многочлена n-й степени Р_n(х) по степеням (х-х0):

 

 

54. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

Пусть функция f(x) задана в области R и имеет в R все частные производные до порядка m+1 включительно. Пусть и -- две точки области, такие что весь отрезок между ними целиком лежит в R. Тогда для некоторой точки этого отрезка имеет место равенство

При m=1 получается линейное приближение функции f:

При m=2 получается квадратичное приближение функции f:

 

Определители и их свойства

Пусть дана квадратная матрица порядка n Определение. Определителем n -го порядка матрицы А называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых равно произведению n элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем каждое слагаемое берется со знаком "+" или "-".

. Свойства определителей: 1. При транспонировании величина определителя не меняется.. 2. Если все элементы одной строки определителя умножить на одно и то же число, то и весь определитель умножится на это число. Следствие. Постоянный множитель строки можно выносить за знак определителя. 3. Если в определителе поменять местами две строки, то определитель сменит знак на противоположный. Следствие 1. Определитель, у которого две строки равны, равен нулю. Следствие 2. Если в определителе две строки пропорциональны, то такой определитель равен нулю. 4. Если строка определителя представлена в виде алгебраической суммы нескольких слагаемых, то определитель равен алгебраической сумме определителей, у которых в первом определителе в данной строке стоит первое слагаемое, во втором - второе слагаемое и т.д. Следствие. Если строки определителя линейно зависимы, то такой определитель равен нулю. 5. Если к элементам одной строки определителя прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится.

 

2. Миноры и алгебраические дополнения

Пусть дана матрица А размера m_xn Определение. Минором порядка k данной матрицы,где k min(m; n),называется определитель k -го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием (m-k) строк и (n-k) столбцов. Определение. Дополнительным минором M _ij к элементу a _ij квадратной матрицы An*n называется определитель (n -1) порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием этого элемента вместе со строкой и столбцом, в которых он расположен. Определение 3. Алгебраическим дополнением A _ij к элементу a _ij квадратной матрицы An*n называется число A _ij = . Теорема 1. Определитель равен сумме попарных произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

- разложение определителя по i -й строке.

Вычисление определителей порядка n >3 сводится к вычислению определителей второго и третьего порядка с помощью теоремы 1 и свойства 5 определителя.

3. Методы вычисления определителей.

Определение 1. Определителем n -го порядка матрицы А называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых равно произведению n элементов матрицы А , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем каждое слагаемое берется со знаком "+" или "-".Определитель второго порядка. n =2, 2!=1 · 2=2 слагаемых.

. Определитель третьего порядка. n =3, 3!=1 · 2 · 3=6 слагаемых

, ₌

Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы.

Определение. Матрица А ^-1 называется обратной к квадратной матрице А n -го порядка, если А · А ^-1= А ^-1· А = Е.

Для любой невырожденной квадратной матрицы существует единственная обратная матрица.

Доказательство. 1 часть (единственность).

Предположим, что обратная матрица существует. Докажем, что она единственная. Предположим противное, т.е. существует две обратные матрицы: А ^-1 и .Тогда А·А ^-1 =А ^-1 ·А=Е и А· = ·А=Е. Рассмотрим равенство А·А ^-1 =Е. Умножим его слева на . ·А·А ^-1 = ·Е,Е·А ^-1 = ,А ^-1 = . Получили противоречие.

2 часть (существование). Дана матрица An*n. Построим обратную матрицу. Для этого совершим ряд действий:1) заменим все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями:2) транспонируем полученную матрицу:3) разделим все элементы на число ½ А ½Проверим, будет ли полученная матрица обратной к исходной. Для этого умножим матрицу А на А ^-1. Элемент, стоящий в i -й строке и j -м столбце матрицы произведения, будет равенЭлементы матрицы-результата совпадают с элементами единичной матрицы Е. Следовательно, А · А ^-1= Е, т.е. А ^-1 - обратная матрица к А.

5.Элементарные преобразования матрицы.

Определение. Элементарными преобразования-минад матрицей называются: 1) умножение любой строки на число, отличное от нуля; 2) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой, умноженных на одно и то же число;3) перестановка строк; 4) отбрасывание строки из нулей. Определение. Две матрицы называются эквивалентными (А ~ В), если от одной можно перейти к другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.