Вычисление средней арифметической

В общем виде расчет проводится по формуле:

,

где - средняя арифметическая величина;

- знак суммирования;

- сумма всех показателей;

- варианта (отдельное значение изучаемого признака);

- количество этих показателей (вариант).

Контрольный пример

 

Вычисление взвешенной средней арифметической

Для случая, если показатели повторяются, и они сгруппированы т.е. результаты измерений представлены в виде вариационного ряда – ранжированного ряда вариант с указанием их частоты.

В общем виде расчет проводится по формуле:

,

где - средняя арифметическая величина (взвешенная);

- сумма произведений каждой величины (варианты) xi на их количество pi;

- общее количество вариант.

Вычисление взвешенной средней арифметической по средним величинам небольших рядов, содержащих разное количество вариант .

Тогда формула приобретает вид:

,

где - сумма произведений каждой средней величины на количество вариант из которых она выведена;

- общее количество всех вариант.

Контрольный пример

Оценку точности полученной средней величины производят с помощью производного показателя отношения стандартной ошибки среднего значения m к среднему значению , который вычисляется по формуле:

Этот показатель в определенной мере может характеризовать репрезентативность (представительность) исследуемой выборки.

Если показатель Т_с будет менее 5%, то можно с достаточной уверенностью утверждать, что полученная выборка хорошо отражает центральную тенденцию генеральной совокупности, из которой эта выборка взята.

Если прирост результатов в спортивной тренировке оценивают по отношению к некоторому уровню в процентах, в этом случае вычисляется средняя геометрическая по формуле:

,

где П – знак произведения

Контрольный пример:

Прирост результатов за три периода тренировки составил 40%, 25% и 8%.

Однако вычисление средних величин еще не полностью характеризует изучаемую группу испытуемых. Предположим, что были получены одинаковые средние результаты в подтягивании – 10 раз. в двух группах испытуемых. Однако в первой группе результаты колебались в пределах от 7 до 18, а в другой с 12 до 18. Естественно предположить, что вторая группа более однородна по своей подготовке, а в первой группе имеется значительное число лиц слабо подготовленных в этом упражнении. Средние результаты в данном случае маскируют качество проведенной работы, не показывают разнообразия результатов, которое присуще анализируемой совокупности. То есть, часть информации о совокупности теряется.

Кроме средних величин, для полной характеристики совокупности, необходимо использовать и показатели разнообразия полученных результатов. Наиболее полную характеристику степени разнообразия (или вариативности) можно получить при помощи среднеквадратического отклонения.

В общем виде расчет проводится по формуле:

исходя из этой формулы, для вычисления среднего квадратичного отклонения необходимо последовательно провести следующие вычисления:

а) найти среднюю квадратичную по уже известной нам формуле;

б) вычислить отклонение каждой варианты от средней арифметической и затем возвести все эти отклонения в квадрат - ;

в) суммировать все квадраты отклонений от средней арифметической -

г) разделить полученную сумму на число вариант без одной и извлеч квадратный корень - .

При распределении близком к нормальному в интервале + 0,67 от среднего значения, как правило располагается 50% возможных значений признака, в интервале располагается 68,3% вариаций, а в интервале располагается 95,% и в интервале - 99,7% вариант. Минимальное и максимальное значения признака не удаляется от среднего значения больше, чем на три .

Контрольный пример:

Для быстрого, но приближенного вычисления сигмы можно использовать формулу С. И. Ермолаева и Р. Н. Бирюковой (1962):

,

где - размах варьирования

- наибольшее значение варианты

- наименьшее значение варианты

к – табличный коэффициент, соответствующий определенному числу вариант.

Например при:

N = 10 – 20 –30 – 40 –50 – 60 – 70 – 80 – 90 - 100

к = 3,08 – 3,74 –4,09 –4,30 – 4,50 – 4,64 - 4,76 – 4,85 – 4,94 – 5,02.

 

В практике исследований по физической подготовке широкое распространение получило выражение экспериментальных данных в 9 – балльной шкале оценок, которая может быть основана на показателях стандартного отклонения.

 

Таблица 39