Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Умова колінеарності двох векторів. Поділ відрізка в даному відношенні ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
1. Нехай ненульові вектори колінеарні, , тобто існує таке число , що . В координатній формі: (1) Отже, умовою колінеарності двох векторів є пропорційність їх відповідних координат. Приклад. Чи колінеарні вектори ? Розв’язання. За умовою =(1,2,-3), =(-3,-6,9), а за формулою (1) маємо , або ще можна записати . 2. Поділ відрізка в даному відношенні. Знайти координати точки М(х,у,z), яка ділить відрізок в заданому відношенні (рис. 14), якщо відомі координати точки і , тобто:
М
Рис.14
Розглянемо вектори і . Оскільки і , то згідно з умовою (1) колінеарності векторів маємо
Зокрема, якщо точка М ділить відрізок пополам, то і координати середини відрізка: Задача. Знайти координати центра мас трикутника АВС, у вершинах А(4,0,-2), В(-2,6,4), С(7,-3,4) якого зосереджені одиничні точкові маси.
Розв’язання. Побудуємо вершини трикутника за їх координатами (див. рис.) А(4,0,-2), В(-2,6,4), С(7,-3,4). Знайдемо середину відрізка АВ, це точка М – основа медіани: , M(1,3,1). Відомо, що центр трикутника має знаходитись на перетині медіан, а медіани, перетинаючись, діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини, тобто , , . Отже, Р(3,1,2)- центр мас трикутника АВС.
Задачі для самостійного розв’язання 1. Довести, що чотирикутник з вершинами А(3,2,-3), В(2,4,6), С(8,3,4), D(9,1,-5) є паралелограм. 2. Показати, що точки А(3,4,1), В(1,0,-1) і С(-2,-6,-4) лежать на одній прямій. 3. Дані точки А(-3,6,1) і В(7,-9,-4). Знайти координати точок С, D, Е, i F, які ділять відрізок АВ на п’ять рівних частин. 4. Знайти координати кінців P і Q відрізка, який точками М(3,1,3) і N(6,-1,1) розділений на три рівні частини. Відповіді: 3. С(-1,3,0), D(1,0,-1), E(3,-3,-2), F(5,-6,-3) P(0,3,5), Q(9,-3,-1). 2.7. Кут між векторами. Проекція вектора на вісь. Властивості проекцій
1. Кут між векторами. Нехай задані ненульові вектори . Зведемо ці вектори до спільної точки О і в напрямках векторів проведемо з точки О промені (див. рис. 15). Менший з кутів, які утворені цими променями називається кутом між векторами і позначається . Кут між вектором і нульовим вектором не означається. Очевидно, що якщо , то ; Якщо ж то . Вправи. 1). Знайти , , . 2). Нехай . Знайти .
Рис. 15
3). Розглянемо рівнобедренний прямокутний трикутник АВС, де . Знайти
Відповіді:
2. Проєкцію вектора на вісь (позначається ) називається довжина відрізка, який сполучає проекції на цю вісь початку і кінця вектора, взята зі знаком «+», якщо кут між вектором і віссю гострий і знаком «-», якщо цей кут тупий (рис. 16). Очевидно, що коли , то =0, і навпаки. Основні властивості проекцій: 1. = (рис. 16); 2. = (рис. 17); 3. = + (рис. 18). Властивість 3 виконується для суми скінченного числа векторів.
Скалярний добуток векторів
Означення. Скалярним добутком двох векторів (позначається ) називається число рівне добуткові модулів цих векторів, помноженому на косинус кута між ними: . (1) На основі властивості 1 проекцїї вектора рівність (1) запишеться: (2) У фізиці робота А сталої сили при прямолінійному переміщенні вздовж вектора шляху знаходиться як скалярний добуток цих векторів: Основні властивості скалярного добутку. Скалярний добуток комутативний . Випливає із (1). Числовий множник можна виносити за знак скалярного добутку: . Для довільних векторів . Скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю () тоді і тільки тоді, коли один із них є нульовим вектором, або коли ці вектори перпендикулярні . Таблиця скалярного множення ортів. Згідно означення (1) , аналогічно , а за властивістю (4) . Отже, скалярний добуток одноіменних ортів дорівнює одиниці, а різноіменних - 0. Скалярний добуток векторів в координатній формі. Якщо , то . Дійсно, за допомогою властивостей маємо Оскільки добуток одноіменних ортів дорівнює 1, а різноіменних – 0, то отримуємо формулу скалярного добутку у координатній формі: . (3) Приклад 1. Знайти скалярний добуток векторів і . Розв’язання: За формулою (3) маємо: . Приклад 2. Задані точки А(3,2,3), В(1,-4,3), С(-4,5,1). Знайти скалярний добуток векторів . Розв’язання. Спочатку знайдемо вектори За формулою (3) маємо . Довжина вектора. Якщо в (1) , то Відстань між двома точками. і знаходиться як довжина вектора за формулою (4): Косинус кута між двома векторами отримаємо із формули (1) із врахуванням (3) і (4): Приклад 3. Задані точки . Для паралелограма, побудованого на векторах і обчислити: 1)довжини сторін, тобто і ; 2) косинус та синус, кута ; 3) площу.
Розв’язання. Знаходимо вектори тоді: 1) , . 2) (кут - тупий), . 3) . Приклад 4. Знайти модуль вектора , якщо . Розв’язання. За формулою (4) . Знаходимо
, тоді .
Умова перпендикулярності двох ненульових векторів випливає із властивості 4° і формули (3) Проекція вектора на вектор знаходиться із врахуванням (3) і (4): Теорема. Декартові прямокутні координати вектора в базисі є його проекціями на відповідні осі координат. Дійсно, згідно з (9) маємо Напрямними косинусами вектора називаються косинуси кутів , утворених між вектором та координатними осями ОХ, ОУ, ОZ (див. рис. 19) Приклад. Знайти напрямні косинуси вектора та значення виразу . Розв’язання. . Рис. 19 Легко перевірити, що для довільного вектора Напрямні косинуси вектора повністю визначають напрямок вектора і є координатами одиничного вектора , що збігається за напрямком з , тобто:
|
|||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-16; просмотров: 212; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.1.158 (0.039 с.) |