Знайти загальний розв'язок однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

.

Розв’язання.

Елементарними перетвореннями рядків зведемо матрицю системи до еквівалентної матриці , якій відповідає рівняння , еквівалентне вихідній системі. Таким чином, загальний розв’язок може бути записаний у формі , або , . Розв’язків нескінченна множина - будь-яка пара, пов'язана зазначеною залежністю, перетворює ліві частини рівнянь даної системи в нуль. У системі - число невідомих і число рівнянь. , матриця системи, розширена матриця системи. За теоремою Кронекера-Капеллі система має незліченну кількість роз в’язків, що залежать від одного параметра . Іноді загальний розв’язок зручніше використовувати в формі

.

 

5. При яких значеннях система

має нетривіальні (ненульові) розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Розв’язання.

Однорідна система лінійних рівнянь має ненульові розвозки, коли її визначник дорівнює нулю. З цієї умови і знайдемо відповідні значення :

.

Знайдем тепер відповідні розв’язки.

1) При система має вид:

.

Визначник цієї системи дорівнює нулю. Це означає наявність лінійної залежності між рівняннями системи. Відмічаємо, що перше рівняння виходить з другого і тому його можна відкинути. Маємо

.

Оскільки визначник з коефіцієнтів при невідомих не дорівнює нулю, то в якості базисних змінних візьмемо (можна брати й інші пари змінних) і перенесемо члени з до правої частини рівнянь:

.

Одержану систему можна розв’язати за формулами Крамера:

де , , .

Тоді , . Вважаючи, що , де довільне дійсне число, одержимо розв’язок системи: , , .

2) При система має вид:

.

Можна розв’язати цю систему і методом Гаусса. Складемо розширену матрицю отриманої системи:

і зведемо її до матриці східчастого виду:

.

Відновимо систему для отриманої матриці

.

Вважаючи, що , де довільне дійсне число, отримуємо розв’язок системи: .

Відповідь: При система має нетривіальний розв’язок: , , , . При система має нетривіальний розв’язок: , .

 

Індивідуальні завдання

 

Варіант 1

 

1.1 1.2

 

1.3 1.4 1.5

 

 

Варіант 2

 

2.1 2.2

 

2.3 2.4 2.5

 

 

Варіант 3

 

3.1 3.2

 

3.3 3.4 3.5

 

 

Варіант 4

 

4.1 4.2

 

4.3 4.4 4.5

 

 

Варіант 5

 

5.1 5.2

 

5.3 5.4 5. 5

 

 

Варіант 6

 

6.1 6.2

 

6.3 6.4 6.5

 

 

Варіант 7

 

7.1 7.2

 

7.3 7.4 7.5

 

 

Варіант 8

 

8.1 8.2

 

8.3 8.4 8.5

 

 

Варіант 9

 

9.1 9.2

 

9.3 9.4 9.5

 

 

Варіант 10

 

10.1 10.2

 

10.3 10.4 10.5

 

 

Варіант 11

 

11.1 11.2

 

11.3 11.4 11.5

 

 

Варіант 12

 

12.1 12.2

 

12.3 12.4 12.5

 

Варіант 13

 

13.1 13.2

 

13.3 13.4 13.5

 

 

Варіант 14

 

14.1 14.2

 

14.3 14.4 14.5

 

 

Варіант 15

 

15.1 15.2

 

15.3 15.4 15.5

 

Варіант 16

 

16.1 16.2

 

16.3 16.4 16.5

 

 

Варіант 17

 

17.1 17.2

 

17.3 17.4 17.5

 

 

Варіант 18

 

18.1 18.2

 

18.3 18.4 18.5

 

 

Варіант 19

 

19.1 19.2

 

19.3 19.4 19.5

 

 

Варіант 20

 

20.1 20.2

 

20.3 20.4 20.5

 

 

Варіант 21

 

21.1 21.2

 

21.3 21.4 21.5

Варіант 22

 

22.1 22.2

 

22.3 22.4 22.5

 

 

Варіант 23

 

23.1 23.2

 

23.3 23.4 23.5

 

 

Варіант 24

 

24.1 24.2

 

24.3 24.4 24.5

 

 

Варіант 25

 

25.1 25.2

 

25.3 25.4 25.5

 

 

Варіант 26

 

26.1 26.2

 

26.3 26.4 26.5

 

 

Варіант 27

 

27.1 27.2

 

27.3 27.4 27.5

 

 

Варіант 28

 

28.1 28.2

 

28.3 28.4 28.5

 

 

Варіант 29

 

29.1 29. 2

 

29.3 29.4 29.5

 

 

Варіант 30

 

30.1 30.2

 

30.3 30.4 30.5 .