Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

§ практика в использовании численных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений;

§ практика в разработке алгоритмов и программ, содержащих итерационные циклы;

§ получение начальных навыков использования библиотек стандартных программ и личных библиотек;

§ углубление навыков отладки программ и практической работы на ЭВМ.

 

ОСНОВЫ ТЕОРИИ

Аналитическое решение для многих нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений получить не удается. Общая форма таких уравнений ¦ (x) =0.

Алгебраические уравнения a_m+1 x^m+ a_m x^m-1 + a_m-1 x_m-2 +... +a₁ = 0 имеют m корней. Трансцендентные уравнения, включающие степенные, тригонометрические и экспоненциальные функции от некоторого аргумента Х, например arctg(x) - x=0, бесчисленное множество корней. Для решения таких уравнений используют приближенные итерационные методы. Решение уравнения обычно складывается из двух этапов: отыскание начального приближения корня, т.е. определение интервалов, в которых имеется корень уравнениями последующего уточнения начального приближения корня до достижения заданной точности.

Процесс определения интервала, содержащего только один из корней уравнения, называется отделением корня этого уравнения. Обычно процесс отделения корней проводят исходя из физического смысла задачи, графически или с помощью таблиц значений функций ¦(x). Известно, что если непрерывная функция ¦(x) на концах отрезка [a, b] принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка есть хотя бы одна точка x=u,в которой функция принимает нулевое значение ¦(u)=0.Если при этом знак первой производной ¦¢(x) на этом отрезке не изменяется, то корень x=u является единственным на данном отрезке.

Наиболее распространенным численными методами уточнения корней являются методы последовательного приближения, половинного деления, Ньютона, итерации.

Метод половинного деления.

Уточнение корня производится в следующей последовательности:

- вычисляется координата x₁ середины отрезка поиска [a, b];

- определяются знаки функции ¦(x) в точках x, а, в;

- определяется новый уменьшенный интервал поиска по результатам сравнения знаков функции ¦(x) в указанных точках (отбрасывается та половина предыдущего интервала, которая содержит на границе значения функции ¦(x) того же знака, что и в середине интервала;

- указанная последовательность действий повторяется до достижения требуемой точности | x_j- x_j-1 | £ e, где e -допустимая погрешность решения.

Алгоритм рассмотренного вычислительного процесса имеет вид:

Применение метода половинного деления проиллюстрировано на рис.1.

Рис.1. Уточнение корня методом половинного деления

Метод Ньютона

Уточнение корня может быть произведено также по методу Ньютона.

Сущность метода Ньютона заключается в том, что в интервале поиска выбирается начальное приближение корня x₀ (рис.2) и в этой точке проводится касательная к функции, и точка x₁ пересечения касательной с осью абсцисс принимается за уточненное значение корня.

 

Рис. 2. Графическая интерпретация метода Ньютона.

Повторяя построение касательных в точках x₁, x₂, x₃ ... x_n-1, x_n, получают последовательно уточнение корня. Аналитическая зависимость, описывающая такой процесс, имеет вид:

x_n = x_n-1 - ¦ (x_n-1 ) / ¦¢ (x_n-1 ).

Метод Ньютона (касательных) в отличие от метода половинного деления использует информацию о форме функции, что ускоряет процесс уточнения корня. Однако данный метод ограничен в применении, поскольку для функций с изменением кривизны и пологими участками в интервале поиска пересечение касательной с осью абсцисс может выйти за пределы интервала, и тогда уточнения корня не получится.

Алгоритм уточнения корня по методу Ньютона имеет вид:

Метод простой итерации.

Метод простой итерации (последовательных приближений) заключается в том, что исходное уравнение имеет вид j (x)= x. Если в интервале поиска выполняется условие | j¢ (x) | <1, то метод дает возможность вычислить значение корня с заданной точностью. Если это условие не выполняется, то можно перейти к обратной функции. Приближение к корню осуществляется по формуле x_õ+1 = j (x_õ). Итерационный процесс прекращается, если выполняется условие

где e - допустимая погрешность решения. Сходимость будет тем более быстрой, чем меньше величина | j¢(x) |.

a) 0 < j'(x) < 1 б) -1< j'(x) < 0

Рис. 3. Уточнение корня по методу Ньютона.

Следует отметить, что для всякого уравнения ¦(x)= можно найти большое количество соответствующих ему уравнений x= j(x), но нужно с большой осторожностью подходить к их конкретному выбору, т.к. от него зависит сходимость и скорость сходимости метода итераций.