Измерения. Соотношения неопределенности

 

45. Сформулируйте постулат об измерении.

46. Пусть частица находится в состоянии y. Какова должна быть эта функция, чтобы некоторая физическая величина в результате измерения не давала разброса значений?

47. Как узнать теоретически, дает ли в состоянии y величина L разброс значений?

48. Пусть при единичном измерении интересующей нас величины L мы получили значение L=L_k. Можно ли на основании этого утверждать, что до этого измерения частица находилась в таком состоянии, что L равнялась L_k?

49. Пусть частица находится в состоянии y(x,t), а функции íjn(x)ý являются собственными функциями некоторого оператора . Запишем разложение:

. (1)

Ответьте:

а) зависят ли коэффициенты С_n от х?

б) зависят ли коэффициенты С_n от t?

в) какой физический смысл имеют коэффициенты С_n?

г) как из (1) выразить С_n?

д) каковы математические основы записи (1)?

е) что является физической основой записи (1)?

50. Частица находится в состоянии

,

где - собственные функции оператора .

Ответьте:

а) какие величины будут получаться при измерении L?

б) какова вероятность получить при измерении значения L₁, L₂, L₃, L₄, L₅, L₆, L₇?

51. Волновая функция частицы не удовлетворяет уравнению

.

Может ли в результате измерения получиться величина L_k? С какой вероятностью?

52. Общей собственной функцией операторов и электрона в атоме является функция:

.

Каковы следствия этого факта? Что это значит? Каков будет результат измерения и ?

53. Пусть величина в некотором состоянии может принимать два значения - L1 и L2. Будут ли вероятности их одинаковы?

54. Можно ли одновременно точно измерить полную энергию частицы Е и ее потенциальную энергию U? Кинетическую энергию Т и потенциальную U?

55. Могут ли одновременно точные значения иметь величины x и p_х?

56. Показать, что измерение координаты x частиц с помощью узкой щели шириной b вносит неопределенность в их импульсы Dр_х такую, что Dх · Dр_x ³ h.

Решение. Измерение координаты x частиц путем сужения щели b приводит к дифракции частиц (рис. 3), при которой появляется неопределенность в импульсе Dр_х вдоль оси x: Dр_х» , где Dl - неопределенность в де бройлевской длине волны частицы, имеющая порядок Dl»b. Чем меньше шири-

Х р’

Dр_х

р j

	ü ý þ

b

Рис. 3.

на щели, тем меньше Dl и больше Dр_х» . Неопределенность в координате частицы Dl» b. Отсюда:

Dх · Dр_х» h.

 

 

57. Плоский поток частиц падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, образуя на экране дифракционную картину (рис. 4). Показать, что попытка определить, через какую щель прошла та или иная частица (например, с помощью введения индикатора И), приводит к разрушению дифракционной картины. Для простоты считать углы дифракции малыми.

 

Х

 

 

q

z I(x)

 

И

 

 

Рис. 4.

 

Решение. Сравним неопределённость Dp_x, вносимую при измерении индикатором И, с той (Dp^’_x), которая необходима, чтобы дифракционная картина не разрушилась. Чтобы установить, через какую щель прошла частица, ее x-координата должна быть определена индикатором И с погрешностью Dх < , где d - расстояние между щелями. Это значит, что в соответствии с принципом неопределенности измерение вносит неопределенность Dp_x в p_x- проекцию импульса

Dр_х ³ . Но условие того, что дифракционная картина не разрушится, состоит в следующем: Dр¢_х << pQ, где Dр¢_х» h/l, а l - де Бройлевской длина волны частицы; причём Q = l/d. Таким образом, Dр¢_х<<h/d, а вносимая индикатором неопределенность - Dр_х >> Dр¢_х, то есть много больше той, при которой дифракционная картина сохранилась бы.

58. Сравнить скорость электрона на первой Боровской орбите с неопределенностью скорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома порядка 0,1 нм.

Решение. Неопределенность в координате электрона Dх £ 1 = 0,1 нм, тогда Dv_х ³ h/ml» 10⁶ м/с. Скорость же электрона найдем из условия Бора о том, что в первой орбите электрона должна укладываться одна длина волны, т. е. l = 2pr = h/mv; v = h/mr @ 106м/c, т. е. v» Dv.

59. Оценить минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером l = 0,1 нм.

Решение.

,

» 150 Эв.

60. Электрон с кинетической энергией Т = 10 Эв локализован в области размером l = 1 мкм. Оценить относительную неопределенность скорости электрона.

61. Оценить минимальную энергию Е_min гармонического осциллятора, имеющего массу m (потенциал U=kx²/2, частота w=(k/m)^1/2), используя соотношение неопределенности.

62. Оценить с помощью соотношения неопределенности энергию связи электрона в основном состоянии атома водорода и соответствующее расстояние электрона до ядра.

Решение. Энергия электрона Е = .

Так как r - размер области локализации электрона, для оценки р имеем р~h/r.

Е @ .

Найдем min этого выражения: (¶Е/¶r) = 0.

; r_min = =a=0,529 - радиус первой Боровской орбиты.

Е_св ~-mе⁴/2h² = - 13,6 Эв.

63. Оценить минимальную возможную энергию электронов в атоме Не и соответствующее расстояние от электрона до ядра.

Решение. Обозначим заряд ядра Ze, а размеры областей локализации электронов - r₁ и r₂. Тогда для оценки импульсов имеем: p₁ ~ h/r₁; p₂ ~ h/r₂, так что кинетическая энергия электрона -

.

Примечание:

Минимальная возможная энергия электрона будет тогда, когда минимальна энергия кулоновского отталкивания электронов, т.е. когда электроны атома будут находиться на максимально возможном расстоянии друг от друга. Эта энергия отталкивания соответствует оценке

.

Для полной энергии электронов, поэтому справедлива оценка.

Е(r₁; r₂) =

Считая r₁ = r₂ и используя (¶ Е /¶ r₁) = 0, находим:

13,6 эВ,

где величина 13,6эВ= постоянная Ридберга. Так как Z=2,то

эВ. Эксперимент даёт -79 эВ.

Ответ: -83,3 эВ

64. Атом испустил фотон с длиной волны l=600 нм за время t=18^-8 с. Оценить неопределенность Dх, с которой можно установить координату фотона в направлении его движения, а также относительную неопределенность его длины волны.

Решение. Dх~сt = 3 м; (Dl/l) = сt/l; DЕDt = hct/Dl ³ h; Dl £ сt.

65. Монохроматический параллельный пучок электронов нормально падает на диафрагму с энергией Е=100 Эв, в которой узкая щель (рис. 5). На расстоянии L=100 см от диафрагмы расположен экран. Оцените ширину щели, при которой ширина изображения на экране будет минимальной.

Решение. Пусть b - ширина щели, а D¢ - уширение, связанное с неопределенностью импульса Dр_у, вызванного дифракцией прохождения через щель. Положив Dу» b,имеем:

 

 

p = ; Dр» h/b,

D¢ = Lq = L ,

D = D¢ + b = b + » 2b = 8,8 мкм,

= 0; = 1 - ; b = » 4,4 мкм.

 

D’

Dр р q D

ü ý þ

Е b b

 

L

 

 

Рис. 5.

 

 

66. Проверьте принцип неопределенности на примере основного состояния электрона в одномерной прямоугольной яме с бесконечно высокими стенками.

67. Пользуясь принципом неопределенности, оцените энергию основного состояния иона Li⁺.

68. Какая возникает неопределенность в энергии частицы массой m при ее локализации в области размером l см?

69. Частица массой m движется в одномерной прямоугольной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Неопределенность в координате частицы Dх = l, импульс же частицы известен точно из ее полной энергии. Не противоречит ли это неравенству Гейзенберга?

70. Не противоречит ли принципу неопределенности состояние электрона в атоме с нулевым моментом количества движения?

Указание. Чтобы ответить на вопрос, запишите выражение для оператора кинетической энергии электрона, движущегося в поле центральных сил, в сферической системе координат.

71. Оцените величину кулоновского отталкивания электронов в атоме Не.

72. Два атома водорода сближаются из бесконечности на конечное расстояние. Как изменяются уровни энергии в системе?