Модели временных рядов рассмотрим более подробно.

Модели временных рядов

В моделях временных рядов предполагается, что процесс,

порождающий значения Y, является стационарным случайным процессом. Это означает стабильность вероятностных характеристик данного процесса как в прошлом, так и в будущем. Характер поведения переменной У в будущем совпадает (статистически) с характером ее поведения в прошлом, и на этом основании можно рассчитать искомое прогнозное значение. Если предположение о стационарности случайного процесса не выполняется, то методы вычисления прогнозного значения резко усложняются.

С моделью временного ряда связано еще несколько понятий, которые широко используются в прогнозировании. Во-первых, это понятие горизонта прогнозирования и связанное с ним понятие шага, или периода, прогнозирования. Временные данные в таблице данных обычно представлены с определенным шагом времени, например, с шагом в один час, один день, одну неделю, один месяц, квартал или год.

· Этот временной шаг, с которым представлены данные в таблице данных, и называется шагом или периодом прогнозирования.

· Горизонтом прогнозирования называется количество периодов прогнозирования, на которые вперед (в будущее) будет составляться прогноз. Горизонт прогнозирования определяет краткосрочные (несколько периодов), среднесрочные (около десяти периодов) и долгосрочные (более десяти периодов) прогнозы.

· Во-вторых, додели временных рядов порождают понятия тренда и сезонных изменений.

· Трендом называется общая тенденция изменения данных в зависимости от времени.

· Сезонные изменения связаны с некоторыми повторяющимися через определенные временные интервалы факторами, периодически влияющими на процесс (систему). Термин «сезон» является «техническим» термином и никак не связан с погодными или годовыми сезонами. Как правило, сезон совпадает с периодом прогнозирования.

В зависимости от типа взаимовлияния тренда и сезонных изменений различают аддитивную модель, когда сезонные изменения добавляются к тренду, т.е. принимается, что f (t) = Т(t) + S(t) (здесь и далее через Т и S будем обозначать трендовую и сезонные составляющие функции f), и мультипликативную модель, где тренд и сезонные изменения перемножаются, т.е. f (t) = T(t) * S(t). в моделях экономических данных чаще используется мультипликативная модель, поскольку замечено, что относительные величины сезонных изменений сохраняют свои значения, несмотря даже на резко изменившиеся внешние условия.

На практике отличить аддитивную модель от мультипликативной можно по характеру сезонных; изменений. Аддитивной модели присуща практически постоянная амплитуда (размах) сезонных изменений, тогда как в мультипликативной она возрастает или убывает вместе с возрастанием или убыванием значений тренда.

Итак, функция прогнозирования будет иметь вид:

f (t;Х₁,Х₂,...,Х_m) = Т(t;Х₁,Х₂,...,Х_m) • S(t)

или

f (t;Х₁,Х₂,...,Х_m) = Т(t;Х₁,Х₂,...,Х_m) +S(t)

Теперь поговорим о факторах Х₁,Х₂,...,Х_т, влияющих на трендовую составляющую функции прогнозирования. Включать тот или иной фактор в модель данных - это дело выбора. Чтобы исключить какой-либо фактор из модели данных, достаточно вычеркнуть из таблицы данных столбец со значениями этого фактора. Чтобы включить новый фактор в модель, необходимо иметь значения этого фактора, «привязанные» к другим данным. С одной стороны, исключить из модели все факторы (т.е. перейти к «чистой» модели временного ряда) нежелательно, поскольку это настолько «обеднит» модель, что она, наверняка, будет плохо отображать реальную ситуацию.

Большое количество факторов порождает свои проблемы, в основном, вычислительного характера. Если их больше количества значений переменной Y, то, как правило, параметры b_иb₂,...,b_к функции прогнозирования f определяются неоднозначно. Кроме того, при большом количестве факторов может возникнуть проблема, которая называется мулътикотинеарностъю. Это означает существование сильной линейной (статистической) зависимости между факторами. Наличие мультиколлинеарности резко усложняет вычисление параметров функции прогнозирования, и эту проблему принято устранять.

Существуют методы, которые позволяют определить значимые факторы, т.е. выбрать те факторы, от которых действительно зависит переменная У. Выявить значимые факторы - одна из основных задач при построении модели данных.

Алгоритм прогнозирования

Алгоритм прогнозирования - это, прежде всего, алгоритм построения модели данных, где вычисление прогнозного значения является заключительным этапом построения модели. Этот алгоритм можно описать в виде следующей последовательности этапов.

1. Подготовка данных. Этап предварительного анализа имеющихся данных: анализ резко выделяющихся наблюдений, восстановление пропущенных данных, исключение факторов, явно не влияющих на прогнозируемую переменную Y.

2. Выделение трендовой составляющей - подбор функций, аппроксимирующих трендовую компоненту, и вычисление параметров этих функций, отбор значимых факторов.

3. Выделение сезонной составляющей - вычисление сезонных коэффициентов по разностям между фактическими значениями переменной Y и вычисленным значениям тренда.

4. Анализ остатков и отбор моделей. После построения функции прогнозирования (модели данных) проводится статистический анализ остатков - разностей между значениями переменной Y и вычисленным значением функции прогнозирования. На основе анализа остатков отбираются одна или несколько моделей данных, наиболее адекватно представляющих исходные данные.

5. Вычисление прогнозного значения. На основе отобранных функций прогнозирования вычисляются прогнозные значения.

На практике эти этапы могут перемежаться или накладываться друг на друга. После каждого этапа необходимо иметь законченный результат:

· после 1-го этапа - набор данных, готовый к дальнейшей обработке;

· после 2-го этапа - одну или несколько моделей трендовой составляющей;

· после 3-го этапа - сезонные коэффициенты, описывающие сезонные изменения;

· после 4-го этапа - одну или несколько моделей данных;

· после 5-го этапа - один или несколько наборов прогнозных значений и по возможности доверительных интервалов для них.

Прогнозирование - это умение строить качественные и адекватные модели данных. Построение качественных и адекватных моделей данных требует, во-первых, хорошего знания той предметной области, отображением которой являются имеющиеся наборы данных, а во-вторых, высокого уровня знаний математической статистики и умения применять их на практике.

В пособии изложен алгоритмический подход к описанию методов построения моделей и прогнозирования. Далее подробно описаны средства Ехсе1, которые наиболее часто применяются в прогнозировании.