Результати дослідження ймовірності випадіння двох подій 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Результати дослідження ймовірності випадіння двох подій



Число кидків Число Відносна частота
орлів Решок
      0,3 0,61 0,445 0,5032

 

Результати показують, що відносна частота випадання “решки” із збільшенням дослідів прагнути до 0,5. Знаменитий статистик К.Пірсон кидав монету 24000 разів і одержав при цьому 11988 “решок”, що дає відносну частоту 0,4995, надзвичайно близьку до 0,5.

Стійке значення відносної частоти можна прийняти як об'єктивну числову міру ступеня можливості появи події А (тобто вірогідність). Позначимо це значення через Р (А). Розглянемо математичне слідство такого частотного визначення вірогідності. Використовуючи поняття межі, визначимо вірогідність як

тобто вірогідність події А можна представити як межу відносної частоти події при числі випробувань, прагнучому до нескінченності. Враховуючи, що n ніколи не може перевершити N, то для будь-якої події А його вироятность знаходиться в межах 0 £ Р (А) £ 1 і не може бути негативною.

До поняття вірогідності можна підійти і геометричним шляхом. Розглянемо як приклад двомірний випадок. Припустимо, що на площу SS впав спортивний снаряд. Визначимо вірогідність попадання снаряда на площу SА як безрозмірне відношення

Представлене таким чином відношення визначає поняття геометричної вірогідності в двовимірному просторі. Аналогічно можна ввести вірогідність для одновимірного, тривимірного і багатовимірного просторів.

Сучасних математиків не задовольняє частотне або геометричне визначення вірогідності, вони віддають перевагу іншому, абстрактнішому, але коректне, що спирається на теорію множин.

Розглянемо деякий експеримент, результат якого залежить від випадковості. Розглядатимемо результати експерименту як елементи деякої множини. Наприклад, при підкиданні гральної кістки можливими результатами можуть бути: 1, 2, 3, 4, 5, 6.., а при підкиданні монети - орел або решка.

Множина, що містить всі можливі результати деякого експерименту називається простором подій (повною групою подій) і позначається символом W.

Точки простору подій, тобто можливі результати експерименту, називаються елементарними подіями. У розглянутих прикладах множини містять в собі 6 або 2 елементу.

Будь-якій події А може відповідати деяка підмножина простору подій W, а саме безліч тих елементарних подій, при настанні яких відбудеться подія А. Наприклад, якщо А означає, що гральна кістка випаде на непарне число, то подія А відповідає підмножинам простору подій W, що містить елементи 1, 3, 5.

Засновником теоретико-множинного числення вірогідності є Колмогоров А.Н. Виділимо систему S підмножин простору подій W, для якої встановлені наступні умови:

1. Порожня множина і повний простір подій W повинні бути системи S.

2. Якщо події А1, А2,... є елементом системи S, то сума і різниці подій таких повинні бути елементами системи S. Система множин, задовольняюча цією умовою називається s - алгеброю.

Отже, подіями є такі підмножини W, які є елементами s - алгебра системи S.

В деяких випадках система S містить всі підмножини простору подій W, а в інших - лише певні підмножини W.

Аксіоматичним шляхом математичне поняття вірогідності введене таким чином. До кожного елементу s -алгебри системи S, тобто кожній події, пов'язаній з даним експериментом, наказує число Р (А), назване вірогідністю даної події, для якого встановлюються наступні обмеження:

1) 0 £ Р (А) £ 1 (вірогідність будь-якої події знаходиться в межах

від 0 до 1);

2) Р (Æ) = 0, Р(W) = 1 (вірогідність неможливої події рівна 0,

а вірогідність достовірної події рівна 1);

3) якщо Аi Î $ і Аi Aj = Æ (i ¹ j), то Р (А1 + А2 +...) = Р (А1)

+ (А2)+...

тобто вірогідність суми подій, що попарно виключають один одного, співпадає з сумою вірогідності цих подій (див. п. 3.3).

Вищеперелічені умови називаються системою аксіом теорії вірогідності по Колмогорову.

Відзначимо, представлення вірогідності через межу відносної частоти при великій кількості експериментів задовольняє справжнім аксіомам. На підставі цих аксіом вже може бути складена строга математична теорія вірогідності.

Контрольні питання до самостійної роботи

 

1. Сформулюйте основні правила обчислення вірогідності.

2. Як можна використовувати число перестановок і поєднань для обчислення вірогідності?

3. Що називається відносною частотою події?

4. У чому полягає властивість стійкості частот?

5. Що називається вірогідністю?

6. Дайте визначення поняття «простір подій» (повна група подій).

7. Сформулюйте систему аксіом теорії вірогідності по Колмогорову А.Н.

 


Питання до тестів зі змістовного модулю 5

1. Які види закономірностей описують взаємозв'язок між причиною і слідством?

2. Дайте визначення статистичним закономірностям.

3. Що називається випробуванням, випадковою подією і випадковою величиною?

4. Приведіть приклад дискретних і безперервних випадкових величин.

5. Що мають на увазі під умовною вірогідністю подій?

6. Виразіть формулу повної вірогідності і формулу Байеса через умовну вірогідність.

7. Навести формулу повної ймовірності.

8. Як розраховується ймовірність випадкових подій на прикладах зі спорту?

9. Що називається вірогідністю?

10. Що називається генеральною сукупністю і вибіркою?

11. Сформулюйте основні правила обчислення вірогідності.

12. Як можна використовувати число перестановок і поєднань для обчислення вірогідності?

13. Що називається відносною частотою події?

14. У чому полягає властивість стійкості частот?

15. Що називається вірогідністю?

16. Дайте визначення поняття «простір подій» (повна група подій).

17. Сформулюйте систему аксіом теорії вірогідності по Колмогорову А.Н.


ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ 6.



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-10; просмотров: 185; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.212.102.174 (0.01 с.)