Статистическое оценивание параметров распределения

Проведены результаты тестирования студентов по математике (ответы на 50 вопросов программы).

№	№ тестируемого
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

Требуется:

1) построить интервальный статистический ряд распределения частот и наблюдаемых значений;

2) определить точечные оценки неизвестных параметров распределения в предположении, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение;

3) найти доверительные интервалы параметров нормального распределения (математического ожидания и среднего квадратичного отклонения) с заданной доверительной вероятностью .

Пример выполнения задания

Получены результаты измерения (в см.) 50 объектов:

Требуется:

1) построить интервальный статистический ряд распределения частот и наблюдаемых значений;

2) определить точечные оценки неизвестных параметров распределения в предположении, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение;

3) найти доверительные интервалы параметров нормального распределения (математического ожидания и среднего квадратичного отклонения) с заданной доверительной вероятностью .

Решение:

1) построить интервальный статистический ряд распределения частот и наблюдаемых значений

Согласно формуле Стерджеса рекомендуемое число интервалов , а величина интервала (интервальная разность, ширина интервала)

где – — разность между наибольшим и наименьшим значениями признака.

Группы	Частота,
6,0 – 7,33
7,33 – 8,66
8,66 – 9,99
9,99 – 11,32
11,32 – 12,64
12,64 – 14

2) определить точечные оценки неизвестных параметров распределения в предположении, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение

Таблица для расчета показателей

Группы		Частота,		Накопленная частота, S
6,0 – 7,33	6,67		33,33		58,87
7,33 – 8,66			39,98		22,08
8,66 – 9,99	9,33		74,6		4,76
9,99 – 11,32	10,66		245,07		7,18
11,32 – 12,64	11,99		71,91		21,4
12,64 – 14	13,32		39,95		31,08
Итого			504,82		145,37

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия и характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего)

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия (состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия)).

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 10,1 в среднем на 1.71
Оценка среднеквадратического отклонения.

3) найти доверительные интервалы параметров нормального распределения (математического ожидания и среднего квадратичного отклонения) с заданной доверительной вероятностью .

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами –концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью покрывает заданный параметр.

1. Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенного количественного признака по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал

где – точность оценки, – объем выборки, — значение аргумента функции Лапласа , при котором ;

при неизвестном (и объеме выборки ()

где – «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, – табличное значение которое находят по заданным и .

Поскольку , то определяем значение по таблицам функции Лапласа.

По таблице функции Лапласа найдем, при каком значение .

 

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.

 

2. Интервальной оценкой (с надежностью ) среднего квадратического отклонения а нормально распределенного количественного признака X по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению служит доверительный интервал

где табличное значение по заданным и .

Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью γ = 0,95 и объему выборки n = 50.

По таблице

С вероятностью 0,95 можно утверждать, что среднеквадратическое отклонение не выйдет за пределы интервала ).

Проверка гипотез