Статистические индексы и их роль в анализе

Тема: Индексы

1. Статистические индексы и их роль в анализе социально-экономических явлений

2. Индивидуальные индексы и их свойства

3. Агрегатная форма общего индекса

4. Средние формы общего индекса

5. Последовательное индексирование

6. Взаимосвязи общих индексов

7. Индексы переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов

8. Важнейшие экономические индексы, применяемые в статистике

 

Статистические индексы и их роль в анализе

Индивидуальные индексы и их свойства

Индивидуальный индекс представляет собой отношение величины индексируемого показателя в текущем периоде к его величине в базисном периоде. Он является обычной относительной величиной.

Используя общепринятую символику, можно записать формулы расчета индивидуальных индексов физического объема и цен:

Индивидуальный индекс физического объема:

, (1)

где – количество товара, реализованного в текущем периоде;

– количество товара, реализованного в базисном периоде.

Индивидуальный индекс цен:

, (2)

где – цена единицы товара в текущем периоде;

– цена товара в базисном периоде.

Следует обратить внимание на то, что индивидуальные индексы строят одинаково для качественных показателей (индекс цен) и количественных показателей (индекс физического объема).

Если имеются данные не за два, а за несколько последовательных периодов времени, то строят систему, состоящую из ряда индексов, характеризующее последовательное изменение изучаемого явления во времени. Возможны два варианта построения такой системы.

1. Базисные индексы, т.е. индексы с постоянной базой сравнения. За базу сравнения обычно принимается начальный уровень.

2. Цепные индексы, т.е. индексы с переменной базой сравнения. В этой системе каждый индекс имеет свою базу сравнения, за которую принимается уровень предшествующего периода.

Пусть известны объемы производства определенного вида продукции за лет: . Тогда системы индивидуальных индексов физического объема будут иметь следующий вид (табл. 1).

Таблица 1 – Системы индивидуальных индексов физического объема

Показатель	Система индексов
Базисных	цепных
Индекс физического объема	.	.

Аналогично им строятся системы индивидуальных индексов и для других показателей.

Базисные индексы показывают изменения явления за последовательно возрастающие периоды времени. Они дают наиболее отчетливое представление об общей тенденции изменения изучаемого явления.

Цепные индексы показывают, как изменяется явление от одного периода к другому. С их помощью можно получить детальную картину изменения изучаемого явления во времени.

Уяснив различие экономического смысла цепных и базисных индексов, можно перейти к рассмотрению трех свойств индивидуальных индексов и областей их применения.

1. Произведение последовательных цепных индексов равно соответствующему базисному индексу. Это свойство позволяет вычислять базисные индексы на основе цепных.

2. Частное от деления последующего базисного индекса на предшествующий равно соответствующему цепному индексу. Это свойство позволяет рассчитывать цепные индексы на основании базисных.

3. Индекс произведения двух или нескольких сомножителей равен произведению индексом этих сомножителей. Так, если , то , где s – стоимость товара, p – цена единицы товара, q – количество проданного товара.

Это свойство позволяет вычислить любой из трех взаимосвязанных индексов, если известны два других. Оно распространяется на случай не только двух, а любого числа сомножителей.

 

Таблица 2 – Цены и объемы продаж двух товаров за два периода

Товары	Единица измерения	Количество проданных товаров	Цена единицы товара, ден. ед.
базисный период	текущий период	базисный период	текущий период
А	кг			10,0	8,5
Б	л			3,9	3,6

Для определения общего индекса цен рассмотрим применение формулы (3):

Это значит, что цены на два вида товаров снизились в среднем на 14,0%.

Существует и другой агрегатный индекс цен – индекс с базисными весами (формула Ласпейреса):

. (5)

Разность числителя и знаменателя данного индекса (с базисными весами) покажет не фактическую, а условную экономию, которую население получило бы от изменения цен на товары, купленные в базисном периоде.

При этом:

. (6)

Общий индекс физического объема имеет следующий вид:

. (7)

В этом индексе индексируемой (переменной) величиной является количество товаров (q), весами (постоянной величиной) – цены базисного периода .

Аналогично можно построить индексы других качественных и количественных показателей.

Наряду с индексом цен и индексом физического объема рассчитывают индекс стоимости или индекс товарооборота в фактических ценах:

. (8)

В этом индексе фактическая стоимость товаров в текущем периоде сравнивается с фактической стоимостью товаров в базисном периоде .

Таблица 3 – Реализация видео и бытовой техники в техномаркете

Товары	Реализация в базисном периоде, млн. ден. ед.	Изменение количества реализованных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
Видео техника	1,5
Бытовая техника	1,8	-12

Определите индивидуальные и общий индексы физического объема товарооборота.

Решение.

Индивидуальные индексы физического объема товарооборота будут рассчитаны для двух категорий товаров следующим образом:

Для нахождения индекса физического объема товарооборота по двум товарам одновременно мы будем использовать среднюю форму общего индекса – среднеарифметический индекс физического объема товарооборота, т.к. выполняется следующее условие: известны индивидуальные индексы физического объема товарооборота () и стоимость товаров, реализованного в базисном периоде в ценах базисного периода ().

или 98,0%.

Физический объем реализации данных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным в среднем снизился на 2% ().

 

Таблица 4 – Системы общих индексов цен

Индексы	Веса
постоянные	переменные
Базисные
Цепные

 

Какую систему следует использовать в каждом конкретном случае? Выбор базы сравнения зависит от поставленной задачи. Базисные индексы лучше характеризуют общую тенденцию развития, а цепные индексы дают детальную характеристику изменения изучаемого явления от периода к периоду.

Выбор характера весов определяется типом индексируемого показателя. Если показатель качественный, то применяют, как правило, систему индексов с переменными весами. Если показатель количественный, то обычно используют систему индексов с постоянными весами.

Рассматривая вопрос о свойствах общих индексов, нужно обратить внимание на то что первые два свойства индивидуальных индексов сохраняют силу только для индексов с постоянными весами. В этом случае возможен точный переход от цепных индексов к базисным и наоборот.

Для индексов с переменными весами эти два свойства не выполняются и точный переход от цепных индексов к базисным и обратно невозможен.

 

Взаимосвязи общих индексов

Рассмотрим взаимосвязи общих индексов на примере индекса стоимости товаров, индекса цен и индекса физического объема.

(13)

т.е.

(14)

Индекс стоимости равен произведению индекса цен на индекс физического только при соблюдении следующего условия: индексы-сомножители взвешиваются по весам разных периодов (один по весам текущего периода, а другой по весам базисного периода). Если это условие не выполняется, взаимосвязь теряет силу.

Взаимосвязь индексов широко применяется в экономическом анализе. На ее основе можно вычислить любой из трех взаимосвязанных индексов, если известны два других.

С помощью взаимосвязи индексов можно изучать роль отдельных факторов в изменении сложных (результативных) показателей. Так, стоимость товара (результативный показатель) представляет собой произведение двух факторов-сомножителей цены единицы товара и количества товара). Стоимость товара может меняться как за счет изменения цены товара, так и за счет изменения его количества. Задача статистики – определить влияние каждого фактора. Используя данные таблицы 2, определим влияние факторов на изменение стоимости товаров.

Общее изменение стоимости товаров за счет двух факторов в текущем периоде по сравнению с базисным отражает индекс стоимости:

или 98,6%.

В текущем периоде по сравнению с базисным стоимость товаров уменьшилась на 1,4%.

Абсолютное изменение стоимости определим как разность числителя и знаменателя индекса стоимости:

(15)

ден. ед.

Стоимость товаров в текущем периоде по сравнению с базисным уменьшилась на 80 ден. ед.

Индекс цен покажет влияние изменения цен на стоимость товаров (в индексе цен второй фактор – количество товаров – зафиксирован на постоянном уровне).

или 86,0%.

Это значит, в результате снижения цен стоимость товаров уменьшилось на 14,0%.

Абсолютное изменение стоимости за счет изменения цен равно:

(16)

ден. ед.

В результате снижения цен стоимость реализованных товаров уменьшилась в текущем периоде по сравнению с базисным на 975 ден. ед.

Влияние изменения количества реализованных товаров покажет индекс физического объема товарооборота:

или 114,7%.

Стоимость товаров увеличилась на 14,7% за счет увеличения количества реализованных товаров.

В абсолютном выражении это составит:

(17)

ден. ед.

В результате увеличения количества реализованных товаров их стоимость увеличилась на 895 ден. ед.

Общий прирост результативного показателя (стоимости) равен сумме приростов за счет отдельных факторов:

(18)

т.е.

–80 = –975 + 895.

Используя результаты расчетов, можно проиллюстрировать и взаимосвязь между индексами:

т.е. .

И структурных сдвигов

 

Следующий вопрос, который следует изучить – это индекс переменного состава, индекс постоянного (фиксированного) состава и индекс структурных сдвигов. Не следует путать системы общих индексов с постоянными и переменными весами и индексы постоянного и переменного состава. Необходимо уяснить экономический смысл, область применения каждого из трех индексов, а также взаимосвязь между ними.

Прежде всего важно понять, что эти индексы используют для характеристики изменения во времени средней величины качественного показателя (средней цены, средней себестоимости, средней урожайности и т.д.) в однородной совокупности. Например, если один и тот же вид продукции продается на нескольких рынках, можно определить, как изменилась средняя цена этого товара в текущем периоде по сравнению с базисным. Если несколько коммерческих организаций выпускают один и тот же вид продукции, но с разной себестоимостью, можно определить, как изменилась средняя себестоимость единицы продукции в текущем периоде по сравнению с базисным.

Индекс переменного состава представляет собой отношение средней величины изучаемого показателя в текущем периоде к средней величине этого показателя в базисном периоде.

Формула индекса переменного состава в общем виде можно записать следующим образом:

, (19)

где – средняя величина показателя в текущем периоде;

– средняя величина показателя в базисном периоде;

– доля отдельной части совокупности в ее общем объеме в текущем периоде;

– доля отдельной части совокупности в ее общем объеме в базисном периоде.

Индекс переменного состава показывает, как изменилось среднее значение показателя в текущем периоде по сравнению с базисным в результате совместного изменения двух факторов:

1. изменение уровня индексируемого показателя в отдельных частях совокупности (x);

2. изменение доли этих частей в общем объеме совокупности (d), т.е. изменение структуры совокупности, структурных сдвигов.

Изменение структуры изучаемой совокупности может привести к так называемому парадоксу индекса переменного состава, суть которого заключается в том, что индекс переменного состава выходит за границы индексов изучаемого показателя в отдельных частях совокупности.

Чтобы охарактеризовать изменение среднего значения показателя за счет каждого фактора отдельно, нужно устранить влияние второго фактора, зафиксировав его на постоянном уровне.

Так, чтобы определить, как повлияло на изменение средней только изменение уровня изучаемого показателя в отдельных частях совокупности, рассчитывают индекс фиксированного состава. В этом индексе структурный фактор фиксируется на уровне текущего периода ().

Индекс фиксированного состава может быть записан в следующем виде:

. (20)

Этот индекс показывает изменение средней величины показателя только за счет изменения уровня показателя в отдельных частях совокупности.

Чтобы определить как повлияло на изменение средней изменение структуры совокупности, нужно первый фактор (х) зафиксировать на уровне базисного периода. Полученный при этом индекс называется индексом влияния структурных сдвигов и записывается так:

(21)

Этот индекс показывает, как изменилась средняя величина показателя только за счет изменения структуры совокупности.

Между тремя рассмотренными индексами существует взаимосвязь: индекс переменного состава равен произведению индекса фиксированного состава, и индекса структурных сдвигов:

. (22)

В приведенной записи взаимосвязи индексы представлены в таком виде, который наилучшим образом отражает их экономическое содержание и название.

Используя эту взаимосвязь, можно по двум известным индексам вычислить третий.

Рассматривая разность числителя знаменателя каждого индекса, можно определить абсолютное изменение средней величины изучаемого показателя за счет различных факторов:

– за счет изменения двух факторов:

(23)

– за счет изменения уровня показателя в отдельных частях совокупности:

(24)

– за счет изменения структуры совокупности:

(25)

Между перечисленными выше абсолютными изменениями средней величины существует взаимосвязь:

(26)

Для закрепления вопроса об индексах переменного состава, постоянного состава и влияния структурных сдвигов рекомендуется самостоятельно записать эти индексы для конкретного показателя (средней цены, средней себестоимости, средней урожайности), используя формулы этих индексов, записанные в этом виде.

Пример.

Проведем анализ изменения средних цен реализации кондиционеров МВ 3.2 в двух регионах (табл. 5).

Таблица 5 – Реализация кондиционеров МВ 3.2 в двух регионах

Регион	I квартал	II квартал
цена, тыс. руб	продано, шт.	цена, тыс. руб.	продано, шт.
	19,8		20,2
	20,4		20,6

Решение.

Так как на один и тот же товар – кондиционеры, продается в нескольких регионах, то индекс средней цены, или индекс переменного состава запишется следующим образом:

или 101,5%.

Изменение средней цены может быть вызвано влиянием двух факторов:

1. изменением цены в каждом регионе (p);

2. изменением доли каждого региона в общем объеме продаж (d).

Влияние первого фактора покажет индекс фиксированного состава:

или 102,5%.

Влияние второго фактора отразит индекс влияния структурных сдвигов, который можно определить исходя из взаимосвязи этих индексов - по двум известным индексам можно найти третий:

или 99,0%.

Средняя цена реализации кондиционеров МВ 3.2 во II квартале по сравнению с I возросла в 1,015 раза, или на 1,5%, в том числе за счет изменения цен в регионах средняя цена возросла на 2,5%. Благодаря изменению структуры совокупности (увеличению доли реализации 1-го региона) средняя цена реализации кондиционеров снизилась на 1%.

 

Таблица 5 – Экономические индексы

Показатели	Индексы
Индивидуальные	Общие
Себестоимость
Урожайности
Производительности труда:
– прямой
– обратный

Необходимо научиться правильно писать формулы индексов и объяснять экономический смысл каждого из них. Поскольку все перечисленные индексы являются индексами качественных показателей, они строятся аналогично индексу цен (с весами текущего периода).

При изучении индекса производительности труда следует обратить внимание на прямые и обратные показатели уровня производительности труда, которые являются взаимообратными величинами, а также на особенности построения индексов производительности труда на основе обратных показателей.

Как видно из формул, особенность индексов, построенных с помощью обратных показателей, состоит в том, что в них периоды, к которым относятся индексируемые величины, меняются местами: в числителе индексов стоит трудоемкость базисного периода, а в знаменателе – текущего периода.

Территориальные индексы сопоставляют сложные показатели, относящиеся к одному и тому же периоду времени, но к разным территориям (городам, районам, областям, государствам).

Территориальный индекс товарооборота: – отношение суммы выручки от продажи в одном из районов к аналогичному показателю в другом. Один из районов например Б берется за базу сравнения:

(27)

Территориальный индекс физического объема товарооборота:

(28)

где – средняя межрайонная цена товара каждого вида.

Территориальный индекс цен:

(29)

где – суммарный по двум районам объем продаж каждого вида товара.

Тема: Индексы

1. Статистические индексы и их роль в анализе социально-экономических явлений

2. Индивидуальные индексы и их свойства

3. Агрегатная форма общего индекса

4. Средние формы общего индекса

5. Последовательное индексирование

6. Взаимосвязи общих индексов

7. Индексы переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов

8. Важнейшие экономические индексы, применяемые в статистике

 

Статистические индексы и их роль в анализе