Варіація ознак та показники їх вимірювання

 

Після встановлення середньої величини (Х, Мо, Ме) виникає питання, в якій мірі індивідуальні значення ознаки відрізняються між собою та від середньої. Для цього розраховують показники варіації.

Варіація – розбіжності у значеннях будь-якого ознаки. Середній розмір дає гаранти лише узагальнюючі характеристиці сукупності, але її розкриває будова сукупності, тобто не показує, як розташовуються близько середньої варіанти цієї ознаки. Для вимірювання, і оцінки варіації використовуються абсолютні (варіантний розмах, середнє лінійне і квадратичне відхилення, дисперсії) і відносні (коефіцієнти варіації, нерівномірності, локалізації, концентрації) характеристики.

Варіацією ознаки називають різницю у числових значеннях ознак одиниць сукупності та коливання навколо середньої величини, що характеризує сукупність. Чим менша варіація, тим одноріднішою є сукупність і більш надійною (типовою) є середня величина.

Варіація може бути альтернативною, якщо набуває протилежних значень і систематичною, якщо якісна ознака змінюється в певному напрямку. Варіація, яка немає явно вираженої тенденції, називається випадковою.

До основних абсолютних і відносних показників, що характеризують варіацію, є такі: розмах варіації; середнє лінійне відхилення; дисперсія; середнє квадратичне відхилення; коефіцієнт варіації тощо.

Розмах варіації - це різниця між найбільшим та найменшим значеннями ознаки.

R= X _max- X _min (2.4.1)

Середнє лінійне відхилення (d)являє собою середню арифметичну абсолютних значень усіх відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної величини.

а) просте: (2.4.2)

б) зважене: , (2.4.3)

де x – варіанта, - середнє значення ознаки, n – кількість варіант, f – частота.

Основним недоліком середнього лінійного відхилення є те, що в ньому не враховуються знаки відхилень, тобто їх спрямованість. Тому цей показник варіації використовується рідко (аналіз складу працюючих, ритмічність виробництва, обертання коштів у зовнішній торгівлі тощо). Показниками варіації, які б усунули недоліки середнього лінійного відхилення, є дисперсія та лінійне квадратичне відхилення.

Дисперсією () називають середню арифметичну квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки. В залежності від вихідних даних дисперсія може обчислюватись за формулами середньої арифметичної простої або зваженої.

а) проста: (2.4.4)

б) зважена: (2.4.5)

Дисперсія – це один із найбільш розповсюджених в економічній практиці узагальнюючих показників розміру варіації у сукупності. Дисперсію використовують не лише для оцінки варіації, а й для вимірювання зв’язків між

досліджувальними факторами: розклад дисперсії на складові дозволяє оцінити вплив різних факторів, які обумовлюють варіацію ознаки.

Середнє квадратичне відхилення, як і дисперсія, виступає в якості широко використовуємого узагальнюючого показника варіації. Його обчислюють, здобувши квадратний корінь із дисперсії:

А) просте: (2.4.6)

Б) зважене: (2.4.7)

Смислове значення середнього квадратного відхилення таке саме, як і лінійного відхилення: воно показує, на скільки в середньому відхиляються індивідуальні значення ознаки від їх середнього значення. Перевага цього показника порівняно із середнім лінійним відхиленням полягає у відсутності умовного припущення з підсумування відхилень без врахування їх знаків, бо відхилення використовуються у квадратній степені. Крім зазначеного, перевагою даного показника у зрівнянні з дисперсією є те, що середнє квадратичне відхилення виражається в тих же одиницях вимірювання, що і значення досліджувальної ознаки (грн., кг, га, тощо). Тому цей показник називають також стандартним відхиленням.

В статистичній практиці часто виникає необхідність порівняння варіацій різних ознак.

Для здійснення такого роду порівнянь, а також при зіставленні ознаки у декількох сукупностях з різними середніми арифметичними використовують відносний показник варіації – коефіцієнт варіації.

Коефіцієнтом варіації називають процентне відношення середнього квадратного відхилення до середньої арифметичної величини ознаки:

(2.4.8)

Чим більший коефіцієнт варіації, тим менш однорідна сукупність і тим менш типова середня для даної сукупності.

Проведемо відповідні розрахунки для визначення коефіцієнта варіації по виручці від реалізації худоби і птиці, тис. грн... (Таблиця 2.4.1)

Таблиця 2.4.1

Вихідні та розрахункові дані для визначення коефіцієнта варіації по виручці від реалізації худоби і птиці, тис. грн..

Межі інтервалів по виручці від реалізації, тис. грн..	Кількість областей, f	Середина інтервалу, х	х*f
15,74 - 118,26				-102,49	10504,20	1127,39	115546,20
118,26 - 220,78		169,52	1356,16	0,03	0,0009	0,24	0,01
220,78 - 323,30		272,04	816,12	102,55	10516,50	307,65	31549,51
323,30 - 425,25		374,28	374,28	204,79	41938,94	204,79	41938,94
425,25 - 528,32		476,79	953,58	307,30	94433,29	614,60	188866,58
-		-	4237,14	-	-	2254,67	377901,24

 

 

1. Розмах варіації.

R= x _max-x _min = 528,32 – 15,74 = 512,58

 

 

2.Дисперсія.

3.Середнє квадратичне відхилення.

4.Середнє лінійне відхилення.

5.Коефіцієнт варіації.

Отже, розмах варіації становить 512,58 тис. грн.., чим менша варіація, тим менше середнє лінійне і середнє квадратичне відхилення. Дисперсія – 15116,05, середнє квадратичне відхилення – 122,95, середнє лінійне відхилення – 90,19. Дисперсія і середнє квадратичне відхилення призначені вимірювати варіацію ознаки. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим повніше середня арифметична відображує всю сукупність. Вважають, що сукупність є однорідною, а середня – типовою, коли коефіцієнт варіації не перевищує 33%. В даному випадку коефіцієнт варіації дорівнює – 72,54 %, це свідчить про те, що середня характеризує сукупність за ознакою, яка суттєво змінюється в окремих одиниць. Типовість такої середньої сумнівна, тобто невелика.

Проведемо відповідні розрахунки для визначення коефіцієнта варіації по ціні реалізованої худоби і птиці, тис. грн. за 1 т. живої ваги. (Таблиця 2.4.2)

 

Таблиця 2.4.2

Вихідні та розрахункові дані для визначення коефіцієнта варіації по ціні реалізованої худоби і птиці, тис. грн. за 1 т. живої ваги.

Межі інтервалів по ціні, тис. грн. за 1 т. живої ваги.	Кількість областей, f	середня величина, х	х*f
3,67 - 3,93		3,80	7,60	-0,60	0,36	1,20	0,72
3,93 - 4,19		4,06	40,60	-0,34	0,12	3,40	1,16
4,19 - 4,45		4,32	4,32	-0,08	0,01	0,08	0,01
4,45 - 4,71		4,58	9,16	0,18	0,03	0,36	0,06
4,71 - 4,97		4,84	48,40	0,44	0,19	4,40	1,94
-		4,4	110,08	-	-	9,44	3,88

 

1. Розмах варіації.

R= x _max-x _min = 4,97 – 3,67 = 1,3

 

2.Дисперсія.

 

3.Середнє квадратичне відхилення.

4.Середнє лінійне відхилення.

5.Коефіцієнт варіації.

Отже, розмах варіації становить 1,3 тис. грн. за 1 т. живої ваги, дисперсія – 0,16, середнє квадратичне відхилення –0,39, середнє лінійне відхилення –0,38. Дисперсія і середнє квадратичне відхилення призначені вимірювати варіацію ознаки. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим повніше середня арифметична відображує всю сукупність. В даному випадку коефіцієнт варіації – 8,86 %, це свідчить про однорідність ціни на реалізовану худобу і птицю по областях.

Проведемо відповідні розрахунки для визначення коефіцієнта варіації по кількості реалізованої худоби і птиці. (Таблиця 2.4.3)

Таблиця 2.4.3

Вихідні та розрахункові дані для визначення коефіцієнта варіації по кількості реалізованої худоби і птиці у живій вазі, тис. грн..

Межі інтервалів по кількості у живій вазі, тис. грн..	Кількість областей, f	Середина інтервалу, х	х*f
3,40 - 24,40		13,82	138,2	-23,34	544,76	233,40	5447,56
24,40 - 45.08		34,66	277,28	-2,50	6,25	20,00	50,00
45,08 - 65,92		55,50	166,5	18,34	336,36	55,02	1009,07
65,92 - 86,76		76,34	152,68	39,18	1535,07	78,36	3070,14
86,76 - 107,60		97,18	194,36	60,02	3602,40	120,04	7204,80
-		-!!!	929,02	-	-	506,82	16781,57

 

1. Розмах варіації.

R= x _max-x _min = 107,6 - 3,4 = 102,2

 

2.Дисперсія.

 

3.Середнє квадратичне відхилення.

4.Середнє лінійне відхилення.

 

 

5.Коефіцієнт варіації.

 

Отже, розмах варіації становить 104,2 тис. т., дисперсія – 671,26, середнє квадратичне відхилення – 25,91, середнє лінійне відхилення – 20,27. Дисперсія і середнє квадратичне відхилення призначені вимірювати варіацію ознаки. Чим менше середнє квадратичне відхилення, тим повніше середня арифметична відображує всю сукупність. Коефіцієнт варіації – 62,72 %. Даний коефіцієнт варіації свідчить, що середня характеризує сукупність за ознакою, яка суттєво змінюється в окремих одиниць. Типовість такої середньої невелика.